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統計学 第 12 回– 1 / 28

統計学 第

12

回：平均の差・分散に関する検定

担当者： 高木 真吾

講義資料等は，

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質問等は，

[email protected]

までお願いします．

統計学 第 12 回– 2 / 28

帰無仮説と対立仮説

帰無仮説：調べたい内容，等号で指定する

対立仮説：帰無仮説を棄てた後，成立するもっともらしい状態

棄却域，

分布表の

α

，

2

α

，片側検定と両側検定

対立仮説が

6

=

なら両側，不等号なら片側．

表をはみ出す自由度

ｔ分布の場合，正規分布で十分

カイ二乗，

分布の場合，

で計算可能（下から

％点の場合）

=CHISQ.INV(0.95,

自由度

，  

自由度１

自由度２

平均の差，比率の差，分散，分散の比

統計学 第 12 回– 3 / 28

二つのグループからの標本が以下のようにあらわされるとする

グループ１： {X1, X2, . . . , Xn}

グループ２： {Y1, Y2, . . . , Ym}

すなわち，グループ１は大きさ n の標本であり，グループ２は大きさ m の標本で ある．

それぞれのグループでの標本平均・標本分散を以下のように表す

¯

X = 1

n n

X

i=1

Xi, S_X2 =

1

n ₋ 1

n

X

i=1

(Xi − X¯)2

¯

Y = 1

m m

X

j=1

Y_j, S_Y2 = 1

m ₋ 1

m

X

j=1

平均の差，比率の差，分散，分散の比

統計学 第 12 回– 4 / 28

このとき，グループ１の母集団平均を µX，グループ２の母集団平均を µY とする と，中心極限定理により，近似的に以下の関係が成り立つ．

Z = ( ¯X_p− µX) − ( ¯Y − µY )

S_X2 /n + S_Y2 /m =

¯

X ₋ Y¯ ₋ (µ_{X −} µ_Y ) p

S_X2 /n + S_Y2 /m ∼ N(0,1) (1)

比率を問う問題の場合も，グループ１の母集団比率が pX，グループ２の母集団比率 が pY ならば，近似的に以下の関係が成り立つ．

Z = _p ( ¯X − pX) − ( ¯Y − pY ) ¯

X _· (1 ₋ X¯)/n + ¯Y _· (1 ₋ Y¯)/m =

¯

X ₋ Y¯ ₋ (pX − pY )

p _¯

X _· (1 ₋ X¯)/n + ¯Y _· (1 ₋ Y¯)/m ∼ N(0,1)

平均の差，比率の差，分散，分散の比

統計学 第 12 回– 5 / 28

双方の母集団分布が正規分布であると考えられ，かつ双方の母集団分散が等しい

(σ2 = σ_X2 = σ_Y2 ) と考えらえるとき，

T = ( ¯X −_pµX) − ( ¯Y − µY )

S2_{/(n + m)} ∼ t(n + m − 2)

= {( ¯X − Y¯) − (µX − µY )}/{σ

2_{/(n + m)}}

p

{(n + m ₋ 2) _· S2_/σ2_{}/(n + m − 2)} =

N(0,1) p

χ2_{(n + m − 2)/(n + m − 2)} ∼ t

where

S2 = 1

n + m ₋ 2 



n

X

i=1

(Xi − X¯)2 + m

X

j=1

(Yj − Y¯)2





平均の差，比率の差，分散，分散の比

統計学 第 12 回– 6 / 28

分散と分散比に関して，

(n ₋ 1) _· S_X2

σ_X2 =

n

X

i=1

Xi − X¯ σ_X

2

∼ χ2(n ₋ 1) (4)

S_X2 /σ_X2

S_Y2 /σ_Y2 =

S_X2 S_Y2 ·

σ_Y2 σ_X2 =

{(n ₋ 1) _· S_X2 /σ_X2 _}/(n ₋ 1)

{(m ₋ 1) _· S_Y2 /σ_Y2 _}/(m ₋ 1) ∼ F(n − 1, m −(5)1)

平均，比率の差に関する検定

平均の差，比率の差， 分散，分散の比

平均，比率の差に関 する検定

平均の差：例１の 問題

平均の差：例１の問 題：図解

平均の差：例１の 問題

比率の差：例２の 問題

比率の差：例２の問 題：図解

比率の差：例２の 問題

補足 1：グループ間 での等分散を仮定し た平均差の検定

補足 2：比率の差

補足：平均の差・分 散の比に関する信頼 区間

母集団分散に関する 検定

演習問題

統計学 第 12 回– 7 / 28

平均の差：例１の問題

統計学 第 12 回– 8 / 28

子供のいるワーキングマザーを無作為に 150 人調査し，一日あたりの食費平均値が

2431 円，分散値が 1600 円であった．また，同年代の子供のいる専業主婦を無作為

に 150 人調査したところ，一日あたりの食費平均値が 2807 円，分散値が 2000 円で

あった．ワーキングマザー世帯と専業主婦世帯とで統計的にも有意な食費の差はあ

るか？有意水準５％で検定してください．

1 帰無仮説（H0 : 両方の世帯の食費平均が等しい µX = µY ），対立仮説（H1 : 食 費平均が等しくない µX 6= µY ）

2 有意水準５％

3 検定統計量は（1）式を用いて，Z =

¯

X−Y¯

√ S2

X/n+SY2 /m

とする．

帰無仮説が正しいとき，Z は（1）式から標準正規分布に従う．

対立仮説が正しいとき，Z は０よりも大きい値か，小さい値のどちらかをと

平均の差：例１の問題：図解

統計学 第 12 回– 9 / 28

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 x H

0:µ = µ0

が正しい

z = 1.96 z = -1.96

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 H 1

が正しい：µ < µ 0 H

1

が正しい：µ << µ 0

H 1

が正しい：µ > µ 0 H

1

が正しい：µ >> µ 0

-6 -4 -2 0 2 4 6

平均の差：例１の問題

統計学 第 12 回 – 10 / 28

子供のいるワーキングマザーを無作為に 150 人調査し，一日あたりの食費平均値が

2431 円，分散値が 1600 円であった．また，同年代の子供のいる専業主婦を無作為

に 150 人調査したところ，一日あたりの食費平均値が 2807 円，分散値が 2000 円で

あった．ワーキングマザー世帯と専業主婦世帯とで統計的にも有意な食費の差はあ

るか？有意水準５％で検定してください．

4 棄却域は，図より [−∞,−1.96] あるいは [1.96, ∞] となる．

5 検定統計量の値は -76.75 なので棄却域に含まれる．

z = _p x¯ − y¯

s2_X/n + s2_Y /m =

2431 ₋ 2807 p

1600/150 + 2000/150 = −76.75

比率の差：例２の問題

統計学 第 12 回 – 11 / 28

年末に放映される紅白歌合戦の 2006 年度における視聴率は 39.8 ％となった．これ

は 2005 年度の 42.9 ％と比べ見かけ上減少しているが統計的にも有意な差はあるか？

有意水準５％で検定してください（視聴率は 600 人で調査 されているものとする）．

1 帰無仮説（H0 : 両方の年度で視聴率が等しい pX = pY ），対立仮説（H1 :2005 年の方が高い pX > pY ）

2 有意水準５％

3 検定統計量は（2）式を用いて，Z =

¯

X−Y¯

√ _¯

X_·(1₋X¯)/n+ ¯Y_·(1₋Y¯)/m

とする．ただし，

¯

X を 2005 年度，Y¯ を 2006 年度の標本平均とする．

帰無仮説が正しいとき，Z は（2）式から標準正規分布に従う．

比率の差：例２の問題：図解

統計学 第 12 回 – 12 / 28

-4 -2 0 2 4 6 8

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x H

0:µ = µ0

が正しい

z = 1.64

-4 -2 0 2 4 6 8

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 H 1

が正しい：µ > µ 0 H

1

が正しい：µ >> µ 0 H

1

が正しい：µ >>> µ 0

-4 -2 0 2 4 6 8

0.0

0.1

0.2

0.3

比率の差：例２の問題

統計学 第 12 回 – 13 / 28

年末に放映される紅白歌合戦の 2006 年度における視聴率は 39.8 ％となった．これ

は 2005 年度の 42.9 ％と比べ見かけ上減少しているが統計的にも有意な差はあるか？

有意水準５％で検定してください（視聴率は 600 人で調査 されているものとする）．

4 棄却域は，図より [1.64,∞] となる．

5 検定統計量の値は 1.091 なので棄却域に含まれない．

z = _p x¯ − y¯ ¯

x _· (1 ₋ x¯)/n + ¯y _· (1 ₋ y¯)/m

= _p 0.429 − 0.398

0.429 _· 0.571/600 + 0.398 _· 0.602/600 = 1.091

補足

1

：グループ間での等分散を仮定した平均差の検定

統計学 第 12 回 – 14 / 28

平均の差の問題：両方のグループで分散が等しいという状態を最初から取り込んで

S2 = 1

n + m ₋ 2 



n

X

i=1

(X_{i −} X¯)2 +

m

X

j=1

(Y_{j −} Y¯)2 



= n − 1

n + m ₋ 2S

2

Y +

m ₋ 1

n + m ₋ 2S

2

Y

統計量の分母の S2

X と S2

Y を 上の S2 で置き換えて，

¯

X ₋ Y¯ ₋ (µ_{X −} µ_Y ) p

S2_{/n + S}2_/m ∼ t(n + m − 2)

とすると，母集団分布が正規分布で，上述の通り，グループ間で母分散が等しいと

補足

2

：比率の差

統計学 第 12 回 – 15 / 28

比率の差の問題：両方のグループで比率が等しいという状態を最初から取り込んで

ˆ

P = 1

n + m

 



n

X

i=1

X_i +

m

X

j=1

Y_j

 



= nX¯ + mY¯

n + m

をもちいて

Z = _q X¯ − Y¯ ˆ

P(1 ₋ Pˆ)/n + ˆP(1 ₋ Pˆ)/m

∼ N(0, 1)

としている．

補足：平均の差・分散の比に関する信頼区間

統計学 第 12 回 – 16 / 28

母集団平均（µ）に関する信頼区間の構成

母集団分散に関する検定

平均の差，比率の差， 分散，分散の比

平均，比率の差に関 する検定

母集団分散に関する 検定

母集団分散に関する 検定

練習問題１

エクセルによる統計 表の代用

練習問題１

演習問題

母集団分散に関する検定

統計学 第 12 回 – 18 / 28

正規母集団（母集団平均 µX, 母集団分散 σ2

X）からの無作為標本（大きさ n） {X1, X2, . . . , Xn}, Xi ∼ N(µ, σ2)

別の正規母集団（母集団平均 µY , 母集団分散 σ2

母集団分散に関する検定

統計学 第 12 回 – 19 / 28

標本分散 S2

X, SY2

S_X2 = 1

n ₋ 1

n

X

i=1

(Xi − X¯)2, S_Y2 =

1

m ₋ 1

m

X

j=1

(Yj − Y¯)2

標本分散 S2

X, SY2 の分布特性

(n ₋ 1) _· S_X2 σ_X2 =

n

X

i=1

(Xi − X¯)2

σ_X2 ∼ χ

2_(n

− 1)

つまり，自由度 n − 1 のカイ二乗分布に従う．同様に

(m−1)·S_Y2

σ2

Y ∼

χ2(m ₋ 1)

標本分散の比に関する分布特性

{(n ₋ 1) _· S_X2 /σ_X2 _}/(n ₋ 1)

{(m ₋ 1) _· S_Y2 /σ_Y2 _}/(m ₋ 1) =

S_X2 S_Y2

σ_Y2

σ_X2 ∼ F(n − 1, m − 1)

母集団分散に関する検定

統計学 第 12 回 – 20 / 28

母集団分散に関する検定

帰無仮説 H0 : σ2

X = s, H1 : σX2 6= s 検定統計量として

X(s) = (n − 1) · S

2

X s

= (n − 1) · S

2

X σ_X2 ×

σ_X2 s

この統計量は，

帰無仮説が正しい（σ2

X = s）とき，X(s) ∼ χ2(n − 1)

対立仮説が正しい（σ2

X 6= s）とき，X(s) は 自由度 n − 1 のカイ二乗分布に 従う確率変数よりも大きい値，あるいは小さい値が出やすい分布に従う

（

σ_X2

母集団分散に関する検定

統計学 第 12 回 – 21 / 28

二つの母集団分散の比に関する検定

帰無仮説 H0 : σ2

X = σY2 , H1 : σX2 > σY2 検定統計量として

F(1) = S

2

X

S_Y2 · 1 =

S_X2 S_Y2

σ_Y2 σ_X2

F(n−1,m−1)

×σ 2

X σ_Y2

この統計量は，

帰無仮説が正しい（σ2

X = σY2 ）とき，F(1) ∼ F(n − 1, m − 1)

対立仮説が正しい（σ2

X > σY2 ）とき，F(1) は 自由度 n− 1 のカイ二乗分布に 従う確率変数よりも大きい値が出やすい分布に従う（σ2

X/σY2 > 1 なので）．

H₁ : σ_X2 < σ_Y2 なら F(1) は F 分布に従う変数より小さく０に近い値

練習問題１

統計学 第 12 回 – 22 / 28

実験動物 15 匹を二群に分け，８匹には飼料 A，残り７匹には飼料 B を与えて生育し

た．一定期間後に体重を計測したところ，以下のような結果を得た．

平均値 分散値

飼料 A 46.9 46.2 47.1 45.0 48.7 46.8 47.6 48.6 47.1 1.30

エクセルによる統計表の代用

統計学 第 12 回 – 23 / 28

○ 通常の教科書等についているｔ分布表，カイ二乗分布表，F 分布表は限られた範囲

でしか利用できないが，エクセルで詳細な情報が入手可能

100 _× p パーセント点 点 z 以下となる確率

標準正規分布 =NORM.S.INV( p ) =NORM.S.DIST( z , TRUE)

自由度 m のｔ分布 =T.INV( p, m ) =T.DIST( z, m, TRUE )

練習問題１

統計学 第 12 回 – 24 / 28

平均的な体重という観点から二つの飼料に差があるといえますか

H0;µA = µB, H1;µA 6= µB 有意水準１％

検定統計量

T = _p X¯A − X¯B

S_A2 /8 + S_B2 /7

中心極限定理が適用できると知れば，仮説 H0 の下で検定統計量 T は標準正規 分布に従い，仮説 H1 の下では０から離れた，負値あるいは正値が出やすい傾向 にある

棄却域：(−∞,−2.57] ∪ [2.57,∞)

検定統計量の値：

t = _p 47.1 − 49.3

練習問題１

統計学 第 12 回 – 25 / 28

資料 A を与えた時の体重の散らばり（分散）が１以上であるといえますか

H0 : σ_A2 = 1.00, H1 : σ_A2 > 1.00 （対立仮説を 6= とした場合については練習 問題）

有意水準５％

検定統計量

X = (8 − 1) · S

2

A

1.00

母集団分布が正規分布に従うとき，仮説 H0 の下で検定統計量 X は自由度７の カイ二乗分布に従い，仮説 H1 の下ではより大きい値が出やすい傾向にある．

棄却域

1

：[14.0671,∞)（対立仮説が σ2

A 6= 1.00 のとき，

[0,1.68987] _∪ [16.0128,_∞)）

検定統計量の値：

x = (8 − 1) · 1.30

1.00 = 9.1

1

以下の臨界点のうち，数表で利用できないものは，MS EXCEL を用いて，「=CHISQ.INV(0.95,7)」，

練習問題１

統計学 第 12 回 – 26 / 28

散らばりという観点から二つの飼料に差があるといえますか

H0 : σ_A2 = σ_B2 , H1 : σ_A2 6= σ_B2 （対立仮説を > とした場合については練習問題）

有意水準５％

検定統計量

F = (8 − 1) · S

2

A

(7 ₋ 1) _· S_B2

母集団分布が正規分布に従うとき，仮説 H0 の下で検定統計量 F は自由度 (7,6) の F 分布に従い，仮説 H1 の下では，自由度 (7,6) の F 分布に従う確率変数に比 べ，０に近い値か，より大きい値が出やすい傾向にある．

棄却域

2

：[0,0.19537] ∪ [5.695,∞)（対立仮説が σ2

A > σB2 のとき，大きい値が出 やすいので [4.207,∞)）

検定統計量の値：

x = 1.30

1.12 = 1.160714

2

以下の臨界点のうち，数表で利用できないものは， を用いて，「 」，

演習問題

平均の差，比率の差， 分散，分散の比

平均，比率の差に関 する検定

母集団分散に関する 検定

演習問題

演習問題（解答例）

演習問題（解答例）

統計学 第 12 回 – 28 / 28

科目 受験者数 平均点 標準偏差

H24 英語 519,867 62.07 21.02

H23 英語 519,538 61.39 20.62

H24 中国語 389 77.04 18.99

H23 中国語 392 67.07 19.05

以下の問題で，標本サイズが大きければ，小さい差ですら統計的に有意に出やすいこと