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計量経済学II ハンドアウト 8 – 不均一分散 1/ 2

8 ^{不均一分散}

A. 古典的仮定において、誤差項の分散は次のようなもの

1. 誤差項の分散は観測点を問わず ⁽¹⁾ (Var(ϵi) = σ²) B. 古典的仮定が満たされなければ次のような ^{(2) という}

1. 誤差項の分散は未知でかつ観測点で ^{(3) する}(Var(ϵi) = σ_i²) 2. あまり目立たないが、真の分散が σ^{2ではなく、 (4) になっている}

8.1 ^{何が問題なのか}

A. 最小二乗推定量を得るのに利用しないので、 ^{(5) に問題ない} B. よほど特殊な状況でない限り、 ^{(6) にも問題ない}

C. 推定値の分散が広がるので、 ^{(7) がなくなる}(⇔ よりよい推定量)

Var( ˆ^β) =

N

∑

i=1

σ_i²(xi_{− ¯}x)² { _N

∑

i=1

(xi_{− ¯}x)²

}^{2 (8.1)}

D. 推定された誤差項の分散^σˆ^2が母数σ_i^{2と異なる} E. 次のように分散に関する諸統計量に影響を与える

1. 推定量の分散を用いる ^{(8) で悪影響を及ぼす}

2. ソフトウェア等は ⁽⁹⁾ が前提ゆえ、分散の推定値が歪んでいる

8.2 どのように検出したらいいのか

A. 一番簡単な方法は説明変数と誤差項の値を軸とするデータを ^{(10) にする} B. この判断は「目の子」で、正しくは ⁽¹¹⁾ で不均一分散を検出する C. 「 ⁽¹²⁾ 」という帰無仮説で、棄却できるかどうかを見る

H0 _{: δ1}^∗ _{= δ2}^∗ = · · · = δk^{∗ = 0}

H1 _{: H}0ではない

Ver. 1.3 Masumi Kawade, 2009

計量経済学II ハンドアウト 8 – 不均一分散 2/ 2 D. 各観測地点の誤差項の分散の推定量を得るため、最小二乗残差を求める

y_i = ˆα+ ˆβ1x1_,i+ ˆβ2x2_{,i· · · + ˆ}β_Kx_K,i+ ˆϵi (8.2) E. 残差の二乗ˆϵ²_i ^{を、主に (13) やそれを加工}(たとえば、√x_n,i)

した分散に影響を与える可能性のある変数で回帰

ˆϵ²_i = ˆδ0_{+ ˆ}δ1z1_{,i+ ˆ}δ2z2_{,i· · · + ˆ}δ_kz_k,i+ ˆu_i (8.3) F. (8.3) 式の回帰係数のいずれかが有意で 0 ではないなら、分散には何かの傾向

がある(不均一分散がある) と考えられるので、 ^{(14) を利用する} G. (8.3) 式の決定係数 R^{2を標本数}(N ) でかけた N R^2が、(8.3) 式の定数項以外

の説明変数数_{k を自由度の χ}

2

分布_(χ

2(k)) に従うという容易な検定法がある H. ブルーシュ＝ペーガンの ^{(15) とよぶ}

8.3 どのように対処したらよいか

A. 観測点の真の分散がもし ⁽¹⁶⁾ なら誤差項を補正して最小二乗推定する

∑ ₁ σ²_i^ϵ

2 i ⁼

∑ ₁

σ²_i^{(yi− ( ˆαwls+ ˆβwls,1x1,i+ ˆβwls,2x2,i· · · + ˆβwls,KxK,i))}

2

(8.4) 1. 既知の真の分散で割った説明変数の回帰分析を行うのに等しい¹

y_i

σ_i ^{= ˆαwls} 1

σ_i ^{+ ˆβwls,1} x1_,i

σ_i ^{+ ˆβwls,2} x2_,i

σ_i ^{· · · + ˆβwls,K} x_K,i

σ_i ⁺ ϵ_wls,i

σ_i ^(8.5)

= ˆα_wlsx^′0_,i+ ˆβ_wls,1x^′1_,i+ ˆβ_wls,2x^′2_{,i· · · + ˆ}β_wls,Kx^′_K,i+ ϵ^′_wls,i (8.6)

2. ⁽¹⁷⁾ がなくなっていることに注意

B. (8.3) 式の分散の推定値 (理論値)ˆˆϵi^を先のσiの代わりに代入して使う

ˆˆϵ²_i = ˆδ0_{+ ˆ}δ1z1_{,i+ ˆ}δ2z2_{,i· · · + ˆ}δ_kz_k,i (8.7)

1. ⁽¹⁸⁾ (Weighted Least Squares: WLS) とよび効率的

1実際のパソコン上の操作はこちらが容易。

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