学外講義資料 前田研究室 maedalab JGS 20061027

1

地盤工学会中部支部

地盤力学・ 工学講習会（ 理論編⑤）

動的挙動１

動的挙動１

１ ０ 月２ ７ 日（ 金）

名古屋工業大学 前田健一・ 研究室一同

（ http://www.cm.nitech.ac.jp/maeda-lab/）

2

講義内容

1. 1. ^{振動論の復習 振動論の復習 （ 固有周期，} 減衰定数などについて，

複素数も 怖く ない）

2. 2. ^{波動伝播の基礎 波動伝播の基礎 （ 波を差分法で理解し てみる）}

3. 3. 地盤材料の動的性質の整理 地盤材料の動的性質の整理

4. 4. ^{地盤はどのよう 地盤はどのよう に揺れ， に揺れ， 被害をも 被害をも たら たら すのか すのか （ 事}

例と 解析結果， 解析パラ メ ータ の設定）

5. 5. 現地調査結果にみる地盤の動的特性 現地調査結果にみる地盤の動的特性 （ 液状化対

策前後の地盤の特性の変化なども 含む）

3

基本方針

9 ^{簡単なモデル（ 弾性体） で理解する。}

9 物理的な意味を考えてみる。

9 ^{計算方法の理解と 現象の見方。}

4

１ ． 振動論の復習 _{振動論の復習}

（ 固有周期， 減衰定数，

複素数も 怖く ない）

5

波の成分： フ ーリ エ級数 _{/スペクトル}

( )

N

m

A N

N

B lm

N

A lm

A

x

N

l

l l

m

2

cos 2

2 2

2 sin

cos

2

1 2

1 0

π

π

π ₊

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ ₊

+

= _∑

=

いろんな周期の波を

抽出する

a

a

a

a

f

Hz

f

Hz

f

Hz

Frequency，（Hz）

f

Hz

AmplitudeSpectrum

6

0 2 4 6 8 10

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

1. 0*sin(T =5)+1. 0*sin(T =1)+1. 0*sin(T =0. 5)+1.0*sin(T =0.01) No Phase Difference

T ime, (sec.)

Fourier Transform

Fourier Transform

周波数（周期）領域 時間領域

Spectrum

0.01 0.1 1 10

0.01 0.1 1 10

Amplitude

Period, (sec. )

0.01 0.1 1 10

0.01 0.1 1 10

Amplitude

Period, (sec. )

0.01 0.1 1 10

0.01 0.1 1 10

Amplitude

Period, (sec. )

0 2 4 6 8 10

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

1.0*sin(T =1)+1.0*sin(T =0.5)+1. 0*sin(T =0.01) No Phase Difference

Time, (sec.)

0 2 4 6 8 10

- 1. 5 - 1. 0 - 0. 5 0. 0 0. 5 1. 0 1. 5

1.0*sin(Period, T =1), No Phase Difference

Time, (sec.)

パルス的波は？

0 0.5 1 1.5 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

time (s)

0 5 10 15 20

0 0.1 0.2 0.3

Frequency (Hz)

Fourier Amplitude

サイ ン波の重ね合わせ

7

地震動のスペク ト ル例

Fourier amplitude = T/2 × amplitude

[cm/s]=[s] _×[cm/s

]

0.1 1 10

1 10 100

Kushiroki Harukaoki PI-83NS

Fourier Amp, (cm/sec)

Period, (sec.)

分解能： _{f=1/(2 ∆ t)}

∆ t=0.01s → 分解できる波の

最高周波数 _50Hz

8

１ 質点モデル

x

y

c _k

m

m _x

y

k

c

spring-dashpot-mass system spring mass

dashpot

structure system

釣り 合い式：

( ) ( )

( ^{x t + y t} ) ( ) ( ) ^{+ c x t + kx t = 0}

m & & & & &

（ 慣性力： 絶対加速度） _+（ 減衰制振力： 相対速度） _+（ 復元力： 相対変位） ＝ ₀

Voigt model

そのままの状態をつづける 変化をさ またげる も と にも どす

9

自由振動

9 ^{基本固有周期と 減衰効果}

9 ^減衰定数

10

= 0

+

+ ^{c x kx}

x

m ^{& & &}

よっ て以下の式が導ける

0

2 _{0 +}

² ₌

+ ^{h x x}

x ^& _ω ^& _ω

&

2

/ m _{= ω}

k

2

/ m h _ω

c ₌

Ae

x ₌

h ^{： 減衰定数}

解を ^{と おく}

t t

Ae

x

Ae

x

λ λ

λ

λ

=

=

&

&

&

0

2 _{0 0} ²

2 _{+ ω λ + ω =}

λ ^h

代入する

mk

h c

= 2

11

(

)

0 2

1

_{ω ω ω}

λ ^λ _⎭ ^{⎬ ⎫ = − h ± h −}

ω

ω ±

− ¹

−

= ^{h h}

ゆえに一般解は

t

t

Be

Ae

y ₌ ^λ

₊ ^λ

^{と 表せる}

解の性質は _h の値によっ て異なる

過減衰振動

① _{h > 1}

の場合

② _{h = 1}

の場合

臨界減衰

③ _{0 < h < 1}

の場合

減衰自由振動

- 2.5 - 2 - 1.5 - 1 - 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 2 4 6 8 10

過減衰 減衰振動 臨界減衰

λ

^， λ

^は複素数

mk

h c

= 2

12

( ^{A h t B h t} )

e

x ₌

' cos 1 ₋

_ω

₊ ' sin 1 ₋

_ω

初期条件

_{t = 0}

x

( ) ^x

v

₌ ^&

初期変位：

初期速度：

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ −

−

+ +

−

=

^{h t}

h

x

h

t v

h

x

e

x

0 2

0 0 0

0 2

0

^{sin 1}

1

1

cos

0

_ω

ω

ω ω

ω

0<h<1

( ^{A t B t} )

x ₌ 1 ' cos _ω

₊ ' sin _ω

振動する成分

振幅の減衰効果

h=0

i

h

h ₋ 1 ₌ 1 ₋ i _{= −} 1

13

)

1

sin

1

1

cos

(

0 2

0 0 0

1 0 2 0

1

1

0

_{h t}

h

x

h

t v

h

x

e

x

_ω

ω

ω ω

ω

₋

−

⋅

+ +

−

=

t

t ₌

)

1

sin

1

1

cos

(

0 2

0 0 0

2 0 2 0

2

2

0

_{h t}

h

x

h

t v

h

x

e

x

_ω

ω

ω ω

ω

₋

−

⋅

+ +

−

=

t

t ₌

=

1

'

2

^{t T}

t _{− =}

と すれば周期 _T がも と まる

周期 _T

0 1 2 3 4 5

-2 -1 0 1 2

t(s)

x(t)

x

1

'

x

x

x

x

2

'

x ^x

^'

4

'

x

'

T

t

t

14 0

= 1

x v

₌ 5 _{ω =}

0 1 2 3 4 5

-2 -1 0 1 2

t(s)

x(t)

h=0 h=0.005 h=0.01 h=0.05 h=0.1

減衰振動周期

'

2

1

1

1

1

' 2

0 2

0 2

_ω

ω ^π ₋ ⁼ ₋ ⁼ π

= h

T

h

T

<< 1

h

0

0

^{2 /}

' _{≈ T = π ω}

T

建物の微振動による減衰定数 _h

鉄骨造： _0.5 ∼ ₃ ％程度

Ｒ Ｃ 造： ₂ ∼ ₇ ％程度

0 0

2

ω ^π

=

T

15 0

= 1

x v

₌ 5 _{ω =} 5 h ₌ 0 . 1

0 1 2 3 4 5

-2 -1 0 1 2

t(s)

x(t)

x

1

'

x

x

x

x

2

'

x ^x

^'

4

'

x

粘性振動

隣り 合う ₁ 周期ごと の振幅の比率

全て同じ になる

振幅比 _{d = = = ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅}

4 3 3

2 2

1

x

x

x

x

x

d x

⋅⋅

⋅⋅

+ ⋅⋅

= +

+ +

+ =

= +

'

'

'

'

'

'

4 4

3 3

3 3

2 2

2 2

1 1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

（ 片振幅）

（ 全振幅）

'

T

t

t

減衰： _hとd

16 )

2 / ' ( 2

) 2 / ' ( '

'

2 2

1 1

2 1 1

2 2

1 1

'

'

t T h t

h

t T h t

h t

h t

h

t h t

h

e

e

e

e

e

e

e

e

x

x

x

d x

+

−

−

−

−

−

−

+ +

+ =

= +

+ +

=

2

/

'

'

2

/

'

'

2 2

1 1

T

t

t

T

t

t

=

−

=

−

2 1

2 1

)

1

(

)

1

(

2 '

2 '

t h

t h T

h t

h

T h t

h

e

e

e

e

e

e

ω ω ω ω

ω ω

−

−

−

−

− −

− =

= − ^{片振幅も 同じ 結果！}

- 1 .5 - 1 - 0 .5 0 0 .5 1 1 .5

0 1 2 3 4 5 6

t( s )

y(t)

y 1

y 1 '

y 2

y 3

y 4 y 5

y 2 '

y 3 '

y 4

t '

1 ^t2

x

x₁

x₁

x_{2 x}

3

x_{2 x}

3

x₄

x₄ x₅ t₁

t₁’ t₂

t₂’

17

自由振動のまと め（ １ ）

mk

c

₌ 2

m

= k

2

ω

c

h ₌ c

減衰定数：

基本固有周期：

k

T _π m

ω ^{π 2}

2

0

0

_{= =}

( ) ( ) ( ) ^{t + c x t + x t k = 0}

x

m ^{& & &} _{( ) + ( ) +} x _{( )} t ₌ 0

m

t k

m x

t c

x ^{& &}

&

0

1

' 2

ω

π

h

T ⁼ − ^{h << 1 と すると}

' 2

ω ^π

=

≈ T

T

18

「土質・基礎工学のための地震・耐震入門」土質工学会

減衰なし

自由減衰 _(h<1)

過減衰（ _h>1）

臨界減衰（ _h=1）

2

2

1

1

1

2

2

h

T

h

T

O

₋

− =

=

= ω ^π ω ^π

自由振動のまと め（ _2）

19

( ) ^{( )}

1 2

/ 2 '

)} (

) {(

2

1 ^{h t h t T h T h h}

T t h

t h

e

e

e e

e

x

d x

−

= = =

=

=

1

/

2

ln d _{= π} h ₋ h

2

2

1 ln

2

ln ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

+ ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

π

π

d

h d

ω ^π

ω

π ²

1

' 2

2

^{≈ =}

= − ^T

h

T _{h << 1} ^{と すると}

対数減衰力

自由振動のまと め（ _3）

20

強制振動

9 ^共振

9 ^{エネルギー損失と 減衰定数}

21

外力がある場合

k

c

m

( ) ^{t F pt}

f ₌ cos

( ) ⁰

)

(

)

(

)

( ₋ m ^& x ^& _{+ −} c x ^& _{+ −} kx ₊ f t ₌

慣性力 減衰力 復元力 外力

( ) ^t

f

kx

x

c

x

m ^{& &} _{+ & + =}

x の値

0

)

(

)

(

)

( ₋ m ^& x ^& _{+ −} c x ^& _{+ −} kx ₌ ^{の一般解と 特殊解を足し 合わせたも の}

p ^{： 外力の周波数}

( ^{F m} ) ^pt

x

x

h

x ^& ₊ 2 _ω

^& _{+ ω}

₌ / cos

&

( ^{− θ} )

= ^{A pt}

x cos

特殊解

θ

A ^{： 振幅}

： 位相のずれ

22

( ^ω

⁻ ) ^{( − θ ) − ω}

^{( − θ )}

(

)

⁽

⁾

0

^{/ 2}

2

sin _{α =} h _ω p _{ω −} p ₊ h _ω p

(

) ( ^/

)

^{( 2}

⁾

cos _{α = ω −} p _{ω −} p ₊ h _ω p

(

)

0

1

2 /

tan h p ₋ p

=

ω ω

α

( ^{ω −} ) ^{+ ( ω ) ( − θ + α )}

=

^p

^{2 h}

^p

^{A cos pt}

( ^{F / m} ) ^{cos pt}

= ^{= 0}

( ^p ) ^{( h p ) m F}

A _⋅

+

= −

2 0

2 2 2

0

²

1

ω

ω

(

)

0

1

2 /

tan h p ₋ p

=

= α

ω ω

θ

23

when _x

_{= 1 v}

_{= 5 ω}

₌ 5 _{h = 0 . 1 F = 2 m = 0 . 5}

= p

ω

= 1

ω

p

： 共振

m

F

p

A ₌ h _⋅

2

1

ω ^{θ = π 2}

0 1 2 3 4 5

-2 -1 0 1 2

f(t)=0 p=3 p=5 p=10

t(s)

x(t)

)

1

sin

1

1

cos

(

0 2

0 0

0 0

2 0

0

_{h t}

h

x

h

t v

h

x

e

x

_ω

ω

ω ω

ω

₋

−

⋅

+ +

−

=

(

^{− p}

)

^{1 + ( 2 h}

^{p )}

^{⋅ m F ⋅ cos ( pt − tan}

^{2 h}

^{p / (}

^{− p}

^{) )}

+

ω ω

ω

ω

24

共振と 減衰

「土質・基礎工学のための地震・耐震入門」土質工学会

25

「土質・基礎工学のための地震・耐震入門」土質工学会 一次（基本） 二次 三次

26

いろんな固有周期

9 ^{ぶら んこ}

9 ^{つり がね}

9 ^忍法

「 く ないの術」 （ 司馬遼太郎， 池波正太郎 _…）

9 ^{構造物の固有周期} T： 1/(10∼12) _×[ ^{建物の階数} ]

9 ^{お皿と コ ッ プの水はどっ ちがこ ぼれやすい？}

周期は容器の直径の平方根√ _Dに比例

→ スロッ シング

27

∫ ^{+ =} ∫

+

^{c y dt ky}

^{F pt y dt}

y

m

2 2

2

cos

2

1

2

1 & & &

const

L

D

E _{+ − =}

E:振動エネルギー

D： ^{減衰力のなす仕事}

L： ^{外力のなす仕事}

28

∫ ⁼ ∫

=

∆ ^D

^{c y &}

^dt

^{c y &}

^dt

1 ^{サイ ク} ル間に減衰力のなす仕事

ばね： ｋ

質量： ｍ

ダッ シュ ポッ ト ： ｃ

y

pt

F

t

f ( ) ₌ cos

:

p 外力の周波数 _p

T ₌ ^{2 π}

)

cos( _{− θ}

= ^{a pt}

y

定常振動の解

＜ ₁ サイ ク ル間に減衰力のなす仕事＞

)

sin( _{− θ}

−

= ^{ap pt}

y&

cpa

π

=

29

1 ^{サイ ク ル間に外力のなす仕事}

∫

=

∆ ^L

^{F cos pt y & dt}

D

cpa

∆

=

= π

１ サイ ク ル間に外力のなし た仕事＝減衰力によっ て消費さ れた仕事

= 0

∆

−

∆

+

∆ ^{E D L}

= 0

∆E

30

復元力

2

2

y

a

cp

ky

y

c

ky

Q _{= +} ^{& &} _{= ± −}

- 15 - 10 - 5 0 5 10 15

- 1.5 - 1 - 0.5 0 0.5 1 1.5

y

Q

Ｃ ＝ _0.4 ｋ ＝１ ０ ｐ ＝５ _a=1 と おいたと き

復元力が１ サイ ク ルになす仕事

31

復元力が１ サイ ク ルになす仕事

{ ^{f x f x} } ^dx

W

∫

⁻

=

∆

^{( )}

^{( )}

2 2

1

^{( x ) kx cp a x}

f _{= + −}

2 2

2

^{( x ) kx cp a x}

f _{= − −}

∫

∫

−

=

−

=

a a

a

dx

x

a

cp

dx

x

a

cp

0

2 2

2 2

4

2

t

a

x ₌ sin dx ₌ a cos tdt ^{と おく と}

楕円の面積

0 2

:

0

:

⇒ π

⇒

t

a

x

32

∫ ^{− ⋅}

=

∆ ^{W 4 cp}

^a

^a

^sin

^{t a cos tdt}

2 2

2 0

2 2

2

2

4 1

cos

4

cpa

cpa

tdt

cpa

π

π

π

=

⋅

⋅

=

= _∫

33

最大ポテンシャ ルエネルギー Ｗ

2

2

1 ka

2

2

1 ka

W ₌

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

=

∆ =

π ω

π ω

π

π _h ^p

k

hk p

k

cp

ka

cpa

W

W 4

2

1

2

2

1

2

1

2

c ^h _⋅⎟ k

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

ω

2

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛ ∆

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

⋅

= W

W

h ^ω p

π

4

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛ ∆

W

W

π

4

1

34

複素数 _{i：（i =-1 ）}

虚数

実数

θ

θ

θ _{cos i sin}

e ⁱ _{= +}

θ

θ

cos

θ

sin

35

0 1 2 3 4 5 6 7

時間  ｔ

変位  ｘ

ω A ^v

δ ^x

0

tan

v

ω x

δ =

( )^{δ ω ωδ}

ω ^{t i t i}

i

Ae e

Ae

wt

B

i

wt

A

vdt

x _{= ∫ = ′} cos _{+ ′} sin ₌

₌

( )^δ

ω

=

=

= ^{i Ae}

dt

x dx

v &

( )^δ

ω

−

=

=

=

= ^Ae

dt

x

v d

x

a

2

&

&

&

複素数 iで表した振動の式 （i ² =-1 ）

虚数

実数

A

θ

θ

θ

_{cos i sin}

e

_{= +}

θ θ

cos

θ

sin

36

複素数 i をかけるということ

x

iy

o

A (x, iy)

B (ix, -y)

180° 90°

A → C：× (-1) 180° 進ませる

=

(A → B) 90° 位相を進ませる， and

(B → C) 90° 位相を進ませる

と いう こ と は，

-1=i× i

だから ，

× _{i という操作は}

位相を 90° 進ませること．

C (-x, -iy)

B=A× i

C=A× (-1)

37

複素数表示の意味

x

iy

o

d (x, iy)

v (ix, -y)

180° 90°

a (-x, -iy)

v=d× i

a=d× (-1)

t

Ae i

v ₌ ^{ω ⋅}

( ^{t i t} )

A cos _{ω +} sin _ω

=

t

Ae i

dt i

a ₌ dv _{= ω ⋅} ^{ω ⋅}

t

Ae i

vdt i

d _{= ∫ = ⋅} ^{ω ⋅}

ω

1

t

Ae i

v ₌ ^{ω ⋅}

微分

積分

微分するこ と は _{iを掛ける（} 位相を _{90deg.進める）}

こ と ， 積分するこ と は _{iで割る（ 90deg.遅らす）} こ と

38

2. ^{波動伝播の基礎 波動伝播の基礎}

（ 波を差分法で理解し てみる）

39

１ 次元波動方程式

du

u ₊

dx

u

du

x

u

∂ ∂

γ =

x

dx

x

G u

G ^{= ∂} ∂

= γ

τ

( ^{τ + d τ} ) ^{⋅ 1}

⋅ 1

τ

u

( ) ^{1 1}

2

2

= + ⋅ − ⋅

∂ ∂

⋅ τ τ τ

ρ ^d

t

dx u

dx

dx

1

2 2 2 2

2 2

2

x

V u

x

u

G

t

u

∂ ∂

∂ =

= ∂

∂ ∂

ρ ρ

V ₌ G

40

波動方程式

2

2

2

2

2

x

V u

t

u

∂ ∂

∂ =

∂ _{( )}

t

x

u

u ₌ ,

( ) ( ) ( ) ( ) ^...

6

1

2

, 1

,

3 2

2

2

∆ +

∂ ∂

+

∂ ∆

+ ∂

∂ ∆

+ ∂

=

∆

+ ^x

x

x u

x

x u

x

t u

x

u

t

x

x

u

メ モ： _{Taylor展開：}

( ^{x − ∆ x , t} ) ( ) ^{= u x , t − ∂} _∂ ^u _x ^{∆ x + 1} ₂ ^∂ _{∂ x}

^u

( ) ^{∆ x}

^{− 1} ₆ ^∂ _{∂ x}

^u

( ) ^{∆ x}

^{+ ...}

u

加速度 こ こ の意味を考える

41

波動方程式を差分で書き下すと ． ． ．

( ) ( )

[ ^{u x x t u x x t} ]

x

x

u , ,

2

1 + ∆ − − ∆

≈ ∆

∂ ∂

( ) ( ) ( )

[ ]

( ) ^{∆ ⎢⎣ ⎡ ( + ∆ ) ( + − ∆ ) ( ) − ⎥⎦ ⎤}

=

−

∆

−

+

∆

∆ +

∂ ≈

∂

t

x

t u

x

x

u

t

x

x

u

x

t

x

u

t

x

x

u

t

x

x

x u

x

u

2 ,

,

,

2

,

2

,

1 ,

2 2 2

2

両 隣 の 点 の 値

の平均値

42

( ) ( ) ( )

[ ]

( ) ^{∆ ⎢⎣ ⎡ ( + ∆ ) ( + − ∆ ) ( ) − ⎥⎦ ⎤}

=

−

∆

−

+

∆

∆ +

∂ ≈

∂

t

x

t u

x

x

u

t

x

x

u

x

t

x

u

t

x

x

u

t

x

x

x u

x

2 ,

,

,

2

,

2

,

,

2 2 2

両 隣 の 点 の 値

の平均値

2

0

2

>

∂ ∂

x

u

2

0

2

<

∂

∂

x

u

2

0

2

=

∂ ∂

x

u

43

両隣の点の値の平均値

2

0

2

>

∂ ∂

t

u

2

0

2

<

∂

∂

t

u

2

0

2

=

∂ ∂

t

u

( ) ^{∆ ⎢⎣ ⎡ ( + ∆ ) ( + − ∆ ) ( ) − ⎥⎦ ⎤}

∂ ≈

= ∂

∂ ∂ ^{u x x t u x x t} _{u x t}

x x

u

t

u ,

2

,

,

2

2 2

2 2 2

2

α

加速度

44

一次元弦の振動

加速度

速度 ^加速度 ₌₀

慣性

①

②

③ ④

⑤

⑥

加速度

速度 ₌₀

速度 ₌₀

45

計算例（ 動画）

変

位

∆ ^x/ ∆ ^{t < V}

• 進行波と後退波

• 初期値のなめらかさ

位置

CFL条件

時間と 空間の刻

みバラ ンス

46

3. ^{地盤材料の動的性質の}

整理

47

弾性波速度と 弾性係数

縦波：

横波：

( ^{+ 4 3} ) ^{ρ =} ( ) ( ) ( ^{1 − ν 1 + ν 1 − 2 ν} ) ^ρ

= ^{K G E}

V

( ⁺ ) ^{ρ =} ( ) ^{+ ν ρ}

= ^{K 4 G 3 E 2 1}

V

( ) ( ) ^{− ν + ν}

= ^{2 1 1}

s

p

^V

V

λ

λ = ⋅

⋅

= ^f T

V ^{1 波の速度} _{期 T，波長} ^{V，周波数f，周} _λ

T

V _⋅

λ =

48

V _p

「新体系土木工学 構造物の耐震解析」（技報堂出版）土岐憲三

空気の _V

p

^{（ 音波） 340m/s， 水の V}

^=1500m/s

49

V _s ^と N値

例えば， _V

s

^=90N

^{： N=27 → V}

^=270m/s

N=30，V

=300m/s

「新体系土木工学 構造物の耐震解析」（技報堂出版）土岐憲三

50

様々な材料の _V

p ^{と V} s

「おもしろジオテクノート」（技報堂）

51

「やさしい土質力学原理」地盤工学会

せん断剛性と 減衰定数

52

様々な材料のせん断剛性と 減衰定数

「やさしい土質力学原理」地盤工学会 せん断剛性比 _G/G0∼せん断ひずみ _γ

減衰定数 _{h∼せん断ひずみ γ}

G/G ₀ h

53

４ ．

４ ． 地盤はどのよう _{地盤はどのよう} に揺れ， _に揺れ，

被害をも たら すのか

被害をも たら すのか

（ 事例と 解析結果， 解析パラ メ ータ の設定）

54

「土質・基礎工学のための地震・耐震入門」土質工学会

t=t ₁

t=t ₂

硬い地盤（ 波が速く 伝わる）

やわら かい地盤（ 波がゆっ く り 伝わる）

55

重複反射理論

「やさしい土質力学

原理」地盤工学会

_{一番興味があるのは}

A

/A

^{＝（ 表層の振幅）} /（ ^{基盤の振幅）}

＝増幅特性

56

重複反射理論

一番興味があるのは _A

1

^/A

^{＝（ 表層の振幅） /（ 基盤の振幅）}

A

A

57

単純な地盤の振幅

(

)

(

)

1

1

cos sin

1 A

H

k

i

H

B k

A ^{= =} + α

m m

m m m

m m m

m

V

V

k

G

k

G

ρ ρ

α

=

=

イ ンピー

ダンス比 ^{イ ンピーダンス}

m

m

V

k ₌ ^ω _{： 波数}

ω ^π

= 2

T

α が 小 さ く な

る ほ ど 増 幅

する

58

１ 次モード （ 基本モード ） _{2次モード 3次モード}

f T

V _{= ⋅ λ =} ^λ

ρ

H G

V

T

₌ ⁴ H ₌ 4 _⋅ ¹

H

V

f T

4

1

1

1

1

= =

3

4

3 f

H

f ₌ V ₌

5

4

5 f

H

f ₌ V ₌

2

V

G _{= ρ}

軟ら かく 厚いそう はゆっ

く り ゆれる

液状化すると ？

G → 0

59

∑

=

+

⋅⋅

⋅

+

=

+

⋅⋅

⋅

+

=

j _j

j n

n n

n

G

V

H

V

H

V

H

V

T V

1 1 1 1

1

λ ^{4 4 4}

λ

地盤の特性を現すひと つの指標と し て

多層の場合

∑

∑

∑

=

=

=

₌

=

j

j n

j

j j ave

ave n

j

j G

H

H

V

V V

H

T

1 1

1

,

4

Vは力学的特性，Hは幾何学的特性

λ は共振と いう 条件から ．

60

2 2

2

1 V A

E _{= ρ ⋅ s ⋅ ω ⋅}

「やさしい土質力学 原理」地盤工学会

2

2

1 mV

E ₌

おなじ みの質点の運動エネルギー

質量 運動速度

揺れながら 進む波動の運動エネルギー

波の長さ （ →質量） ^運動速度

ゆれの振幅

Eが保存されるとき，例えば軟らかい層（ Gが低

く _{Vsが小さい層）} に入射すると ゆれの振幅 _Aは

大きく なる⇒海の波 _…（ 深さ と 波高）

61

重複反射の計算例 ₍₁₎

1 2 3 4 5

0 2 4 6 8 10

α =1. 0 α =0. 5 α =0. 2 α =0. 1

Amplification Factor, A1/A2

Frequency, (Hz) ρ1 ^V1

ρ2 ^V2

α⁼ρ1^V1^/ ρ2^V2