理論ゼミ（前期） 2016 P3 2

課題研究 ^P3 理論ゼミ

第 ¹⁸ 章 原子核の集団励起 ^18.3 ∼ ^18.4

加須屋春樹

2016 _年 10 _月 13 _日

18.3 _形の振動

原子核の励起状態のスペクトルを説明する集団状態として、形の振動がある。閉核の外側にわずかな粒子しかない (=球形に近い)原子核では、低励起状態は原子核の平衡状態のまわりの幾何学的な形の振動によると考えることがで きる。

核変形の表現

原子核を密度が一定のほぼ球形の液滴と考える。原子核の中心を座標原点とし、表面までの距離をR(θ, φ)とおく。 R(θ, φ)を球面調和関数で展開すると

R(θ, φ) = R0



1 +^∑

l,m

αlmYlm(θ, φ)



 (1)

と表すことができる。R0は原子核が球形の場合の半径。αlmが球形からの変形の度合を表し、これが時間とともに 変化し振動することによって原子核の表面振動を表す。つまり、αlm が原子核の表面振動という集団運動を記述す る集団座標(collective coordinates)である。

このように表したときの変形をl = 0, 1, 2, 3, 4について具体的に見てみる。i = 0, 1, 2, 3, 4に対してそれぞれ αi0= 0.3, αlm= 0 (for(l, m) ̸= (i, 0))とした場合の変形を図に示す。

図1: l = 0 図2: l = 1 図3: l = 2 図4: l = 3 図5: l = 4

• l=0

球形を保ったまま半径が収縮・膨張する変形。密度が一定(非圧縮性)の条件下ではこの型の振動は起きない。 原子核は厳密には非圧縮性ではないので呼吸モード(breathing mode)と呼ばれるこの型の振動運動が考えら れるが、励起エネルギーが高いのでここでは考えない。

• l=1

球形を保ったままの重心の平行移動を表す。陽子と中性子が同位相(∆I = 0)で振動する場合は単なる平行移 動なので重心静止の条件下では考えなくてよい。逆位相(∆I = 1)で振動する場合は前述の巨大双極子共鳴と なる。

• l=2

4重極振動(quadrupole vibration)と呼ばれる、楕円体型の変形。

• l=3

8重極振動(octupole vibration)と呼ばれる変形。

振動のエネルギー準位

変形が十分小さいとき_(|αlm_{| ≪ 1)}、核表面の形の振動はαlm が時間の関数として単振動をすることで表されると 考えられる。ゆえに振動は調和振動子で近似でき、振動の運動エネルギーT とポテンシャルエネルギーV は、それ ぞれ座標回転に対してスカラーであるという要請と合わせて、次の形が予想される:

T = ¹ 2

∑

l,m

Bl_{| ˙α}lm_|², V = ¹ 2

∑

l,m

Cl_|αlm_|² (2)

ここでBl, Clはそれぞれ変形にともなう“質量”と“ばね定数”に対応する実定数である。(実際、原子核を非圧縮性 で粘性のない流体の液滴とし、その渦なしの運動を考えることで(2)の形を導くことができる。)このような仮定の 下でもし実験事実がうまく説明されれば、上の模型はひとつの見方として正しかったことがわかる。

この振動のエネルギー固有値を求めよう。そのための準備として、まずR(θ, φ)は実数であり、またY_lm^∗ (θ, φ) = (−)^mYl −m(θ, φ)であるから、(1)より

α^∗lm = (−)^mαl −m (3)

が成り立つ。ゆえにαlmに正準共役な運動量πlmは次で与えられる:

πlm =^{∂(T − V )}

∂ ˙αlm

=¹ 2^{Bl˙α

∗

lm^{+ Bl}(−)^m˙αl −m} = B^l˙α∗lm ⁽⁴⁾

よってこの系のハミルトニアンH は

H = T + V =^∑

l,m

[ 1 2Bl⁽⁻⁾

mπlmπl −m+¹ 2^Blω

2

l(−)^mαlmαl −m

]

(5)

となる。ここでωl_≡

√Cl/Bl。

次に正準量子化を行う。すなわちαlmとπlmを演算子と考え、それらの間に交換関係

[αlm, πl′m′] = iℏ δll′δmm′, [αlm, αl′m′] = [πlm, πl′m′] = 0 (6) を導入する。また(3)より

α^†_{lm= (−)}^mαl −m, π^†_{lm= (−)}^mπl −m (7) とする。そこで生成・消滅演算子b^†_lm, blmを次で定義する:

b^†_lm≡

√Blωl

2ℏ ^αlm−

√ i

2ℏBlωl⁽⁻⁾ m_π

l −m (8)

blm=

√Blωl

2ℏ ⁽⁻⁾

m_α

l −m+_√ ⁱ 2ℏBlωl

πlm (9)

するとb^†_lm, blmは以下の交換関係を満たす:

[blm, b^†_l′_m′] = δll^′δmm^′, [blm, bl^′m^′] = [b^†_lm, b^†_l′_m′] = 0 (10)

Proof.

[blm, b^†_l′_m′] =

[√Blωl

2ℏ ⁽⁻⁾

mαl −m+√ ⁱ 2ℏBlωl

πlm,

√Blωl

2ℏ ^{αl′m′−}

√ i

2ℏBl^′ωl^′(−) m^′

πl^′−m^′

]

= − ⁱ 2ℏ

([αl −m, πl′_−m′]

| {z }

iℏδ_ll′δ_mm′

− [π^{lm, αl′m′]}

| {z }

−iℏδll′^δmm′

)

= δll^′δmm^′ (11)

[blm, bl′m′] =

[√Blωl

2ℏ ⁽⁻⁾

m_α

l −m+_√ ⁱ 2ℏBlωl

πlm,

√Bl′ωl′

2ℏ ⁽⁻⁾

m^′_α

l′_−m′+_√ ⁱ 2ℏBl^′ωl^′

πl′m′

]

= ⁱ 2ℏ

((−)^m[αl −m, πl^′m^′]

| {z }

iℏδ_ll′δ_−mm′

+(−)^{m′[πlm, αl′}−m^′]

| {z }

−iℏδll′^δ_{m −m′}

)

= 0 (12)

同様にして[b^†_lm, b^†_l′m′] = 0

すなわち表面振動の量子はボソンであり、これはフォノン(phonon)と呼ばれる。 b^†_lm, blmを用いてハミルトニアンH は

H =^∑

l

{ ℏ_ωl

∑l m=−l

(

b^†_lmblm+¹ 2

)}

=^∑

l

ℏ_ωl (

Nl+^{2l + 1} 2

)

(13)

と書ける。

Proof.

∑l m=−l

b^†_lmblm=

∑l m=−l

[{ Blωl

2ℏ ⁽⁻⁾

mαlmαl −m+ ¹ 2ℏBlωl⁽⁻⁾

mπlmπl −m

} + ⁱ

2ℏ^{(αlmπlm− πl −mαl −m)} ]

=

∑l m=−l

[ 1 ℏ_ωl

{ 1 2Bl⁽⁻⁾

mπlmπl −m+¹ 2^Blω

2

l(−)^mαlmαl −m

} + ⁱ

2ℏ^[αlmπlm] ]

∴

∑l m=−l

{ 1 2Bl⁽⁻⁾

mπlmπl −m+¹ 2^Blω

2

l(−)^mαlmαl −m

}

= ℏωl

∑l m=−l

(

b^†_lmblm+¹ 2

)

(14)

ここでNl_≡^∑_mb^†_lmblmは量子数lを持つフォノンの個数演算子であり、その固有値は0以上の整数である。 以上より量子数lを持つフォノンによる振動のエネルギー準位はEl= ℏωl

(Nl+^2l+1₂ ⁾(Nlは0以上の整数)で与 えられ、^ℏωl毎に等間隔で現れることが分かった。

振動の角運動量

(1)より量子数lを持つフォノンによる振動は2^l重極振動を表す。ゆえに量子数lを持つフォノンは角運動量lを 持つことが予想される。(実際、前述の流体モデルを用いて角運動量演算子を計算すると、量子数(l, m)のフォノン 1個に対して、角運動量のz成分の固有値がmℏ、角運動量の大きさの2乗の固有値がl(l + 1)ℏ² となることが示 せる。)

いま、角運動量の大きさがlの2フォノン系を考える。2粒子の角運動量のz成分をm, m^′と指定すると、その状 態ベクトルは生成演算子を用いて

|lm, lm^′⟩ = b^†lm^b

†

lm^′|0⟩ ⁽¹⁵⁾

と書ける。ここで_|0⟩はフォノンがまったくない状態(真空)で、全てのl, mに対してblm_{|0⟩ = 0}を満たす。一方、 この系の全角運動量の大きさとz成分をそれぞれL, M と指定すると、状態ベクトルはクレブシュ・ゴルダン係数を 用いて

|LM⟩ = ^∑

mm^′

⟨lm, lm^′|LM⟩ |lm, lm^′⟩

=^∑

mm^′

⟨lm, lm^′|LM⟩ b^†lm^b

†

lm^′|0⟩ ⁽¹⁶⁾

と書ける。ゆえに[b^†_lb^†_l]LM_≡^∑_mm′⟨lm, lm^′|LM⟩ b^†lm^b

†

lm′は角運動量lの2つのフォノンを全角運動量(LM )に組 む演算子である。ここで、クレブシュ・ゴルダン係数の性質

⟨l1m1, l2m2|LM⟩ = (−)^l1+l2−L⟨l2m2, l1m1|LM⟩ ⁽¹⁷⁾ を用いると

[b^†_lb^†_l]LM = ^∑

mm^′

⟨lm, lm^′|LM⟩ b^†lm^b

† lm^′

= ^∑

mm^′

⟨lm^′, lm|LM⟩ b^†lm^′b

†

lm (m ↔ m^′)

= (−)^2l−L∑

mm^′

⟨lm, lm^′|LM⟩ b^†lm^b

†

lm^{′ ((17), [b}

† lm^{, b}

†

lm^{′] = 0) (18)}

lは整数よりLが奇数のとき[b^†_lb_l^†]LM = 0となる。つまり同一の角運動量をもつ2個のフォノンを全角運動量Lに 組むとき、Lが奇数の状態は許されないということがわかる。

4 _重極振動

偶偶核の基底状態は常に量子数J^P = 0⁺を持っており、2重魔法数の原子核と少数の例外を別とすれば、第1励起 状態はJ^P = 2⁺である。フォノンの角振動数lが小さい方が低エネルギーの振動を表すが、前述の通り、実際問題と なるのは_{l ≥ 2}のモードである。

そこでまずl = 2の場合を考える。これは4 重極振 動と呼ばれる。前述の通り、l = 2 のフォノンは1 つ あたりエネルギー^ℏω2、角運動量 l = 2を持つ。ゆえ に4 重極振動による励起状態として、フォノン1 個の 状態(E = ℏω2, J^P = 2⁺)、フォノン2個の状態(E = 2ℏω2, J^P = 0⁺, 2⁺, 4⁺)、_{· · ·} が考えられる。フォノン2 個の状態は角運動量l = 2の2粒子系であり、全角運動量 J = 0, 2, 4(前述の通りJ =奇数は許されない)の3つの 状態が縮退している。実際、¹⁸₈O₁₀, ⁴⁴₂₀Ca₂₄, ²⁰⁶₈₂Pb₁₂₄で は第一励起状態がJ^P = 2⁺であり、第一励起状態のほぼ 2倍のエネルギーのところに近接してJ^P = 0⁺, 2⁺, 4⁺ の3つの準位が見られる。すなわちこのような原子核に 対しては、形の振動の模型がある程度的を射ているとい える。しかしながらフォノン2個の3つの準位が分離し ていることや、近くに他の準位も見られるという事実は、 形の振動だけでは記述できない他の励起モードの存在を 示唆している。

巨大双極子共鳴の場合と同様に、4重極振動をしているという描像は殻模型と核力の性質とによっても説明される。 J^P = 2⁺の状態をつくるには1粒子が同じ殻の中の次の準位に移るか、次の次の上の殻へ移ることが必要である。前 者では最も低い励起エネルギーの4重極振動となり、後者ではより高い励起エネルギーの巨大4重極共鳴となる。巨 大双極子共鳴では陽子と中性子が逆位相(∆I = 1)で振動するという半古典的な描像を見たが、4重極振動では陽子 と中性子が同位相(∆I = 0)で動く場合も逆位相(∆I = 1)で動く場合もある。同位相の運動を起こさせるような粒 子-空孔状態間の相互作用は引力の性質を持つため、同位相の振動ではエネルギー順位は低い方にずれる。逆に逆位相 の振動は斥力に対応し、エネルギー順位は高い方にずれる。

図は殻模型の枠組みの中での様々な集団励起を 表している。最も左のE2遷移が巨大4重極共鳴 を、左から2番目のE1遷移が巨大双極子共鳴を、 3番目のE3遷移が8重極振動を、最も右のE2遷 移が4重極振動をそれぞれ表している。今述べた ように巨大4重極共鳴は∆I = 1 と∆I = 0の2 つの部分に分かれるが、そのずれの程度は巨大双 極子共鳴よりも小さい。これは励起の集団性が4 重極共鳴の方が小さいということを示唆する。こ のことは次のように説明される。巨大双極子共鳴 は1粒子-1空孔状態から組み立てられるが、その 共鳴状態からはエネルギーの理由により、同じ殻 の1粒子-1空孔励起のわずかな数の状態へしか遷 移できない。それ故1粒子-1空孔状態からできて いる巨大双極子共鳴は長い寿命を持ち、強いコヒーレンス性を示す。一方、4重極共鳴は次の次の殻への励起から組 み立てられるが、次の次の殻への1粒子-1空孔状態は2粒子-2空孔状態に崩壊しうるため、寿命は短く、集団性もよ り小さい。

8 _重極振動

l=3の場合は8重極振動と呼ばれる。l = 3のフォノン は1つあたりエネルギー^ℏω3、角運動量l = 3を持ち、励 起状態としてフォノン1個の状態(E = ℏω3, J^P = 3⁻)、 フォノン2個の状態(E = 2ℏω3, J^P = 0⁻, 2⁻, 4⁻, 6⁻)、

· · · ^{が考えられる。16}8O8,⁴⁰20Ca20,²⁰⁸82Pb126 ^のような2重 閉殻の原子核では低い位置に3⁻状態が現れ、このような 状態は8重極振動の1フォノン状態と解釈できる。

18.4 _回転状態

閉殻の外に十分たくさんの核子がある(=変形した)原子核では、角運動量 が順次増加するとともにエネルギー間隔がだんだんと広がってゆく、特徴的な 励起のパターンを示す。このような励起を原子核の回転と解釈し、一連の状態 を回転バンド(rotation band)と呼ぶ。

古典力学では回転エネルギーは角運動量^J と慣性モーメントΘによって次 のように与えられる:

Erot= ^|J|

2

2Θ ⁽¹⁹⁾

同様に、量子力学では回転はハミルトニアン H^{rot = J}

2

2Θ ⁽²⁰⁾

によって記述される。量子力学的な系では対称軸まわりの回転は位相因子がか かるだけで状態を変えないので、回転は対称軸に垂直な方向に起こらなければ ならない。角運動量演算子Jzおよび^J2の固有状態は球面調和関数Y_J^mで表 され、その状態に対する回転のハミルトニアンの固有値は

EJ= J(J + 1)^ℏ

2

2Θ ⁽²¹⁾

である。基底状態が J^P = 0⁺ の原子核は空間反転に対して対称性を持つと考えられるので、球面調和関数 Y_J^m(θ, φ) の空間反転に対する変換性:Y_J^m(π − θ, φ + π) = (−)^JYJ^{m(θ, φ)から、偶数の J のみが可能である。}

EJ +2_{− E}J= (2J + 3)ℏ²/Θなので、隣り合う状態間のギャップは線形に増加する。 実験データを2つの例について示す。

クーロン励起

高く励起した回転状態をつくるため重イオン反応におけるクーロン 励起がよく用いられる。クーロン励起とは、荷電粒子を標的核に向け て入射し、入射核が標的核のクーロン場によって急激に曲げられると きに放出される(仮想)光子によって標的核を励起する方法である。そ の過程は全て電磁相互作用によるものであるから正確な解析が可能と なる。相互作用がもっぱらクーロン励起によって起こることを保証す るためには両方の原子核が核力の到達距離よりも離れていなければな らない。すなわち、入射粒子のエネルギーは原子核のクーロンしきい値 (Coulomb threshold)

EC=^Z1Z2e

2

4πε0

1 R1+ R2

=^{Z1Z2α · ℏc} R1+ R2

(22) を超えないように選ばなくてはならない。クーロン励起と原子核によ る電子散乱の間にはいくつか違いがある。

• クーロン励起では入射粒子が電荷 Ze を持つため電子よりも相互作用がZ 倍強い。電子散乱の行列要素 text(5.38)は_{α → Zα}よりZ倍されるので、断面積はZ²倍となる。

• 入射エネルギーがクーロンしきい値以下であるため入射粒子の速さは小さい(v ≲ 0.05c)。したがって入射粒 子による電流と核内核子の運動による電流の磁気的相互作用は重要ではない。

• イオンビームの軌跡は非弾性衝突の場合でも弾性散乱の場合とほとんど変わらず、古典的に計算することがで きる。ゆえに反応の遷移振幅も精密に計算することができる。

図は⁹⁰Zrによる ²³²Thのクーロン励起の実験装置と得られたγ線のスペクトル。エネルギー分解能の高いゲル マニウム半導体検出器を用いることで詳細なスペクトルを得ることができるようになった。回転バンド中の遷移

(J → J − 2)による等間隔に並んだピークがはっきりと見える。図はこのような測定から得られた²³²Th原子核のス

ペクトル。基底状態の上の回転バンドのほかに、振動励起の上に乗った回転バンドも観測されている。

核融合反応

高い励起状態を得るには核融合反応も用いられる。例えば

48_{Ca +}108

Pd −→¹⁵⁶Dy −→^{152Dy + 4n (23)}

核融合反応では先程とは逆にクーロン障壁を超える必要がある。2つの原子核がちょうど接し合ったときに核融合が 起こると、古典的な計算から反応後の原子核は角運動量

lℏ ≈ (R^{1+ R2)√2mE (24)}

を持つと見積もれる。ここでmは入射-標的粒子系の換算質量。実際には核融合反応は入射粒子と標的粒子が重なり 合って初めて起こるので、この値は角運動量の達しうる上限の見積もりを与える。

慣性モーメント

慣性モーメントの大きさは測定された回転バンドのエネルギー準位から式(21)を用いて計算することができる。 図は実験から得られた変形核の慣性モーメントを剛体の慣性モーメントで規格化した量と変形パラメータδの関係を 表す。

ここで半径R0質量M の剛体球の慣性モーメントは Θ_剛体球=²

5^{M R}

2

0 ⁽²⁵⁾

である。変形パラメータδで変形した原子核の1つの極限は剛体の回転楕円体であり、その慣性モーメントは

Θ ≃ (

1 + ^δ 3

)

Θ_剛体球 (26)

となる。もうひとつの極限は非圧縮性の渦なし流体で満たされた回転楕円体であり、その慣性モーメントは Θ = ^45δ

2

16π^{Θ剛体球 (27)}

となる。図には実験値とともにこの2つの極端な場合が描かれており、実験から決定された慣性モーメントは両極端 の場合の中間ぐらいになっていることがわかる。

このことは定性的には、原子核の内部が通常の流体と超流動の流体の混合物で満たされていると考えることで理解 できる。以前見たように原子核中では角運動量が反対向きの核子が結合してスピンがゼロの対を成す。そのようなス ピンがゼロの系は球対称であるから回転運動には寄与しない。すなわち、この核子対が回転に関して原子核物質の超 流動成分となる。逆に変形が増して対が壊れると慣性モーメントは増加する。

図は¹⁵²Dy原子核のエネルギー準位。低いエネルギー準位には典型的な回転バンドを示す状態はないが、高いエネ ルギーでは回転バンドが見られる。すなわち、基底状態はあまり変形していないが、角運動量が増すと変形が大きく なることが分かる。

変形核のその他の励起

これまでは変形核に関して回転のみを扱ったが、変形核においても平行な形のまわりの振動や、1粒子励起に対応 する励起が起こる。それはハイブリッド模型と呼ばれる、1粒子運動と結合する集団的な変数を用いる方法で記述さ れるが、ハイブリッド模型で原子核の励起を矛盾なく記述できることを示したのは、特にボーア(A. Bohr)とモッテ ルソン(Mottelson)の研究の成果であった。

参考文献

[1] 高田健次郎、池田清美,『原子核構造論』(朝倉物理大系18),朝倉書店 [2] 野上茂吉朗,『原子核』(基礎物理学選書13),裳華房

[3] 八木浩輔,『原子核物理学』(基礎物理学シリーズ4),朝倉書店

[4] 村岡光男、杉本健三,『原子核物理学』(共立物理学講座22),共立出版株式会社