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計量経済学I 講義資料 4 – 統計学の復習 iii 1/ 3

4 ^{統計学の復習} iii

4.1 推測統計を支える確率論

A. 推測統計は から偶然に取り出された を利用する 1. 確率論の知識を利用して発展したのが

2. 偶然の とよばれるパターンを利用

B. 標本を母集団の のように考えられる法則はないか

1. 母集団の ^{である標本は母集団の さえ合えばよい}

4.1.1 ^{大数の法則}

A. 確率変数の ^面に着目

B. 確率変数は確率的に変化する変数だが、 述べられることはないか C. 実は、最も単純な ^{に法則がある}

定理4.1 (大数の法則) 期待値と分散がそれぞれ E(X) = µ, V (X) = σ² である時、母集団X からの無作為抽出によって N 個の標本を Xi, i = 1, · · · , N とする。このときの標本平均 ¯X = ¹

N

N

∑

i=1

Xiは、標本数を無限 大にしたときに、母集団の期待値からずれる確率が_{0 になる。}

N →∞lim ^{P(| ¯X}− µ| > ϵ) = 0

1. さえ十分大きければ算術平均値が母集団の平均値に限りなくなる 2. 真の平均値は であり、確率変数の特徴を示す

D. 算術平均の期待値は母集団の ^に等しい

E( ¯X) = E ( 1

N

N

∑

i=1

Xi

)

= =

= ¹ N

N

∑

i=1

µ= µ (4.1)

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E. 算術平均の分散は ^{で変化する}

Var( ¯X) = Var ( 1

N

N

∑

i=1

Xi

)

(4.2)

= E ( 1

N

N

∑

i=1

(Xⁱ− µ) )2

= ¹ N^2E

( N

∑

i=1

(Xⁱ− µ) )2

(4.3)

, i̸= j なので

= = ¹

N²

N

∑

i=1

Var(Xⁱ) = ^Var(X)

N ^(4.4)

1. は変化しないので、標本N が増えるほど分散が小さくなる

2. 分散が小さくなるとは ^こと

F. 標本がある程度大きければ推定値を ^{に近い値と見なせる}

4.1.2 ^{中心極限定理}

A. 確率変数の ^面に着目

B. の分布を知ることは困難

C. しかし、 は母集団の分布にかかわらず一つの分布になる 定理4.2 (中心極限定理) 期待値と分散がそれぞれ、E(X) = µ, V (X) = σ^{2 として、母集団}X からの無作為抽出によって N 個の標本を Xi, i = 1, · · · , N とする。このときの標本平均 ¯^X = ¹

N

N

∑

i=1

Xiを正規近似したも

のの確率分布は、標本数を無限大すると、標準正規分布に近似できる。 Z = ^{X¯ − µ}σ

√N

−→ N (0, 1),d (N → ∞)

1. 正規近似とは Z = ^{とすること}

2. 分析では算術平均を取ることが多いので、その分布が分かるのは有益 D. 定理は算術平均という作業が分布の ^{ことを意味する}

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E. 標本が十分大きければ正規分布と見なして ^{に利用できる}

O f(x)

O x

f(x)

x

どのような密度関数でも 平均を取れば_{· · ·}

正規分布に 近づけられる

図_4-1.密度関数における中心極限定理の意味

4.2 2 ^{つの法則の共通点}

A. 大数の法則と中心極限定理の共通点がある

1. ^{を用いている}

2. 十分に を増やすと望ましい性質を持つ_⇐ という

B. 背後にあるのは算術平均による

1. 分散が1/N^{、標準偏差が になる}⇐ 動きが ^なる

2. 分散の低下は確率変数としての ^こと

3. 算術平均により変数の特性が変化し、それが ^になる

C. ^{はこの性質を利用する}

1. これらの性質が成り立つことを前提とした枠組みの利用 2. 標本が大きい場合には ^{があっても有効な方法}

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