明治大学 多変数の微分積分学２演習問題（
2015.12.17
）
以下の文章をよく読み，各問に答えよ．
1
曲面
定義（パラメータ付き正則曲面）
W をR2 内の領域とする．W から
R3 への写像
Φ :W →R3, (u, v)7→Φ(u, v) := t
(x(u, v), y(u, v), z(u, v))
が，
(1) Cr級の写像である．すなわち，x(u, v), y(u, v), z(u, v)のすべてが(u, v)を
独立変数とする２変数関数としてCr-関数；
(2)
(∂(x, y)
∂(u, v) )2
+
(∂(y, z)
∂(u, v) )2
+
(∂(z, x)
∂(u, v) )2
̸= 0；
(3) Φ :W →は １対１写像；
を満たすとき，ΦをCr-級パラメータ付き正則曲面という．ただし，
∂(x, y) ∂(u, v) =
∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v
, ∂(y, z) ∂(u, v)=
∂y ∂u ∂y ∂v ∂z ∂u ∂z ∂v
, ∂(z, x) ∂(u, v)=
∂z ∂u ∂z ∂v ∂x ∂u ∂x ∂v
である（ここで，| |は行列式を表す）．
曲線のときと同様に，混乱の恐れがない場合には，写像Φ自身と，Φの像集合
S:= Φ(W)を区別することなく “曲面” と呼ぶ．
定義（曲面積）
Φ(u, v) := t(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) を正則曲面とする．Φの像
S := Φ(W) の 曲面積を
|S|:= ∫∫ W ∂Φ
∂u(u, v)× ∂Φ ∂v(u, v)
dudv (1)
で定義する．ただし，· × ·はベクトルの外積，| · |は通常のR3ノルム；
|t
(a, b, c)|=√a2+b2+c2
である．
問１ 半径 aの球面は
x=asinucosv, y=asinusinv, z=acosu, 0≤u≤π,0≤v≤2π
とパラメータ表示される．
Φ(u, v) = t
(asinucosv, asinusinv, acosu), 0≤u≤π,0≤v≤2π
として，(1)を用いることにより，球面Φの表面積を求めよ．
2
スカラー値関数の曲面積に関する面積分
定義（曲面積に関する面積分）
Dを R2上の面積確定な有界閉領域，
Φ :D→R3, (u, v)7→Φ(u, v) = t
(x(u, v), y(u, v), z(u, v))
をパラメータ付き正則曲面とする．f をS := Φ(D) 上で定義された連続な３変
数関数とするとき，
∫
S
f dS:= ∫∫
D
f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))
∂Φ
∂u(u, v)× ∂Φ
∂v(u, v)
dudv
をf の曲面積に関する積分（または，面積要素に関する面積分）という．
dS:=
∂Φ
∂u(u, v)× ∂Φ ∂v(u, v)
dudv
を曲面S の面積要素という．
問２ 曲面S を
S={(x, y, z)R3|x2+y2= 1,0≤z≤1}
とするとき，面積分
∫
S
1 √
x2
+y2
+z2dS
を求めよ．
3
ベクトル場の面積分
Φ : (u, v)7→Φ(u, v) = t(x(u, v), y(u, v), z(u, v))
を有界閉領域D 上で定義されたC1-級 のパラメータ付き正則曲面とする．D の
点(u, v)において２つのベクトル
∂Φ ∂u(u, v),
∂Φ ∂v(u, v)
を曲面Φ の点(u, v)における接ベクトルという（偏微分の定義と幾何学的な意
味を考えるとこれらが接ベクトルを表すことがわかる）．D の各点(u, v)におけ
る接平面はこれら２つの接ベクトルによって張られる平面である． ベクトルの外積と内積の性質より，
(∂Φ
∂u(u, v)× ∂Φ
∂v(u, v) )
·∂Φ
∂u(u, v) = 0, (∂Φ
∂u(u, v)× ∂Φ
∂v(u, v) )
·∂Φ
∂v(u, v) = 0
がすべての(u, v)∈D について成り立つ．
問３ このことを直接成分を計算することにより，確かめよ．
すなわち，ベクトル
±∂Φ
∂u(u, v)× ∂Φ
∂v(u, v)
は曲面Φの各点(u, v)における法線ベクトル（曲面の接平面と垂直なベクトル）
である． さらに，
±nΦ:=±
∂Φ
∂u(u, v)× ∂Φ
∂v(u, v)
∂Φ
∂u(u, v)× ∂Φ
∂v(u, v)
と定めるとベクトルnΦ,−nΦはともに長さが1のΦの法線ベクトルを与える．
曲線に向きが指定されていたように，パラメータ付き正則曲面には“向き”，すな
わち“表” と“裏”が指定されている（あるいは自分で指定する）．
定義（ベクトル場の面積分）
Dを R2上の面積確定な有界閉領域とする．
Φ :D→R3, (u, v)7→Φ(u, v) = t(x(u, v), y(u, v), z(u, v))
をR3内のC1-級のパラメータ付き正則曲面で表裏のあるものとする．
f をS:=
Φ(D)上で定義された連続な３次元ベクトル場とする．このとき，積分
∫
S
f·ndS := ∫∫
D
f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))·(±nΦ)
∂Φ
∂u(u, v)× ∂Φ
∂v(u, v)
dudv
= ±
∫∫
D
f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))· (∂Φ
∂u(u, v)× ∂Φ
∂v(u, v) )
dudv
をf のS 上の面積分という． ただし，±のいずれをとるか（n=nΦととるか
n=−nΦ ととるか）は与えられた曲面の表裏の指定による．
問４ S を半径 aの球面;
S ={(x, y, z)|x2+y2+z2=a2}
とする．S の{(x, y)|x >0, y >0} に在る部分においてその法線ベクトルの 第
１成分と第２成分がともに正となるものが表向き法線ベクトルとなるようにS の
表裏を指定する．nをSの表向き単位法線ベクトルとする．このとき，次で与え
られるf についてその面積分の値
∫
S
f ·ndS
をそれぞれ求めよ．
(1) f(x, y, z) = t
(1,1,1)（恒等的）．
(2) f(x, y, z) = t
(x2
, y2
, z2
)．
