講演資料置き場 名城大学春季セミナー2015 2nd body

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数理ファイナンス入門 その 2

デリバティブ価格付け理論の発展

Takashi Kato

Graduate School of Engineering Science, Osaka University

Center for the Study of Finance and Insurance (CSFI), Osaka

University

February 16, 2015

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金融派生商品のプライシング理論

数理ファイナンスにおける最大の研究テーマの一つ

経済学では「市場参加者の需給関係」によって市場価格に関

する説明が行われるのに対し, 数理ファイナンスでは「一物一

価の法則」を前提とした価格付け理論が展開される

背後にあるのが「無裁定」という考え方

基本公式 : Black-Scholes(-Merton) の公式

最も基本的である Black-Scholes の公式は非常に有名であり実

務でも様々な場面で用いられている

一方 Black-Scholes model は基本的「過ぎる」ため , 実際には

それを拡張・複雑化したモデルが使われる事が多い

しかしその拡張の際に Black-Scholes model における前提が忘

れられ , 理論的に正しくない価格付けがなされる事もしばしば

混ぜるな、危険！

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Pricing/Hedging

Introduction: Pricing/Hedging -2-

..

Black-Scholes 理論における考え方

以下では European 型の contingent claim, 即ちある満期時刻

T > 0 において random な payoff (ここでは C と書く) が支

払われるタイプの金融派生商品を考える

市場にある取引可能な証券を使って C を「ヘッジ」即ち複製

する 複製戦略 (ポートフォリオ) (π

)

に伴う wealth process

(X

)

の現在価値 X

を C の現在価値とする, なぜなら

ばそうでなければ「裁定 (arbitrage)」が発生し, 市場がその機

能を果たせないからである

厳密には「contingent claim を含んだ市場モデルにおける arbitrage」の定義付けを行うべき であるが, 一般的には取引可能証券群に関する arbitrage の定義を数学的に与え, contingent claimに対する arbitrage については直観的議論のみで済ます事が多い (←非完備市場において はこれの妥当性が問題となる)

「理想的な」市場には同値マルチンゲール測度 (EMM) ある

いはリスク中立確率と呼ばれる確率測度 Q が唯一つ存在す

る, それの下で (X

)

は martingale となる

∴ _X

_{= E}

_[X

_{] = E}

[C ] (no-arbitrage price)

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完備市場 (complete market) におけるプライシング理論

「無裁定」「完備」という条件を満たす理想的な市場モデルな

らば, basic な Black-Scholes model でなくとも同様の方法に

よってデリバティブの pricing/hedging が可能

Pricing の方法は, 後で紹介するように他にもいくつか考えら

れるが, 完備市場においてはそれらは基本的には一致する

では「無裁定」とは？「完備」とは？

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No-Arbitrage/Completeness

No-Arbitrage/Completeness -1-

.. .

Definition ( 大雑把な定義 )

..

.

市場が無裁定 ⇐⇒

任意の自己資金充足的 (self-financing) 戦

略 π について , 対応する wealth process を (X

)

とした時

X

= 0, X

≥ 0 a.s. =⇒ X

= 0 a.s.

市場が完備 ⇐⇒

任意の contingent claim C に対してある自

己資金充足的戦略 π が存在して C = X

a.s.

まだ戦略や contingent claim の数学的定義をしていないので

厳密な議論は出来ない…

大まかに言って , 戦略 ( あるいは portfolio) とは adapted ある

いは predictable な確率過程 , これを証券価格 (semimartingale)

で積分したのが wealth process であり , そして contingent

claim は満期時刻 T で観測可能な下に有界な確率変数である

Self financing の概念については後で定義を与えるが, 「外生的

なキャッシュフローが存在しない」という事

しかしこれらの定義はモデルによって微妙に変化し , それに伴

い無裁定や完備の数学的定義も若干変わる

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. . . .

数理ファイナンスにおける基本定理

. Theorem

..

.

No arbitrage ⇐⇒

EMM

Complete ⇐⇒ EMM is unique,

where EMM is a probability measure Q such that Q is equivalent

to P (i.e. Q ≪ P and P ≪ Q ) and any S

becomes a Q-(local)

martingale

上は離散時間モデルにおいては正しいが, 連続時間モデルで

は厳密には正しくない

例えば no arbitrage を

no arbitrage of the first kind (Kardaras (2010))

no free lunch with vanishing risk (NFLVR,

Delbaen–Schachermayer (1994, 1995, 1998))

no unbounded profit with bounded risk (NUPBR,

Choulli–Stricker (1996), Takaoka–Scheweizer (2014))

等に置き換える必要があるし, EMM の定義も少し変更しなけ

ればならない

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. . . . . . . .. . . .

Black-Scholes Type Model

Black-Scholes Type Model -1-

..

無裁定 , 完備等の性質は , 理想的な Black-Scholes 型市場なら

ば成り立つ

以下 , BS model を前提とした市場モデルについて解説する

なお今回は金利は考慮せず, 価格は全て割り引かれたものと

考える (必要ならば risk-free rate process (r t ) t を与え, 以下の

価値過程に exp

(

−

∫ t

0

r s ds

)

をかけて議論する)

(Ω, F, P) : complete probability space

(B t ) _0≤t≤T : standard d-dim. Brownian motion

(F _t ) _t : right-continuous filtration generated by (B _t ) _t

(equipped with P-null sets)

F = F T

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. . . .

(µ t ) t : R ^N -valued progressively measurable process (drift)

(σ t ) t : R ^N ⊗ R ^d -valued progressively measurable process

(volatility)

以下を仮定 :

E[

∫

(|µ

| + |σ

|

)dt] < ∞

(S _t ⁱ ) t : sol. of the following SDE (i = 1, . . . , N)

dS t ⁱ = S t ⁱ (µ ⁱ t dt +

d

∑

j=1

σ ^ij t dB t ^j )

S _t ⁰ ≡ 1

Remark

N = # of securities

d = # of uncertain factors (elements)

S

: price of i-th risky security (S

: riskless asset)

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. . . . . . . .. . . .

Black-Scholes Type Model

Black-Scholes Type Model -3-

..

π = (π t ) t = (π ⁱ _t ) i ,t , π _t ⁱ = # of shares of S _t ⁱ (i = 1, . . . , N)

ϕ = (η, π) : strategy ⇐⇒ η : adapted, π : predictable such ^def

that

N

∑

i=1

E[

∫ T

0

|π t | ² d⟨S ⁱ ⟩ t ] < ∞

and a value process X t = η t + π t · S t satisfies

E[

∫ T

0

|X t | ² dt] < ∞

Cost process : C t = X t −

∫ t

0

π s dS s = X t −

N

∑

i=1

∫ t

0

π s ⁱ dS s ⁱ

富 X

を得るため, 市場での運用 ^∫

t

0

π

dS

以外にかけたコス

ト (initial endowment 等)

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. . . .

. Definition

..

. ϕ is self-financing (s.f.) ⇐⇒ C ^def t is independent of t.

上の時 ,

0 = dC t = dX t − π t dS t

∴ _{dX t = π t dS t}

即ち X _t = X ₀ +

∫ t

0

π _s dS _s と表される

よって , s.f. strategy ϕ = (η, π) を考える事は portfolio (x, π)

( 但し x = X ₀ ) を考える事と同じ

⇒ 以下 , complete market の議論においてはこれらを同一視

する

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. . . . . . . .. . . .

Black-Scholes Type Model

Black-Scholes Type Model -5-

..

重要な仮定

N = d

これにより ^σ は正方行列となる

σ is invertible

θ t := σ _t ⁻¹ µ t (market price of risk) とした時

E[exp

( 1

2

∫ T

0

|θ t | ² dt

)

] < ∞

Novikov の定理により , stochastic exponential

H

:= e

(

−

∫

θ

dB

)

t

= exp

(

−

∫

θ

dB

− ¹

2

∫

|θ

|

ds

)

は P-martingale _となる

(H

)

は stochastic discount factor (SDF) と呼ばれる ( 後述 )

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前頁の仮定から以下が言える ( 詳細は長井 (1999),

Karatzas-Shreve (1998) 等参照 )

. Theorem

..

. ∃ _!

Q : EMM and the market is no-arbitrage and complete.

なおここでの「完備」とは , “Q の下で可積分かつ下に有界な

F T -measurable な確率変数がある s.f. strategy によって複製

可能 ” という意味

Q の構成 : ^dQ

dP ^{= H T} として与えてやれば良い (c.f.

Cameron-Martin-Dynkin-Maruyama-Girsanov の定理 )

Contingent claim の複製の際 , 今扱っている市場は Brownian

filtration を用いているため martingale representation

theorem によって hedging portfolio の構成が可能

c.f. 具体的な hedging portfolio の導出 : Clark-Ocone の公式

( 但し滑らかさ等の追加条件が必要 )

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. . . . . . . .. . . .

Black-Scholes Type Model

Black-Scholes Type Model -7-

..

EMM Q を用いる事で , contingent claim ξ の現在価値の計算

が以下のように出来る

∃ (x, π) : s.f. s.t. ξ = X _T ^x,π = x +

∫ T

0

π t dS s

x が ξ の現在価値 :

x = X ₀ ^x,π = E ^Q [X _T ^x,π ] = E ^Q [ξ]

Wealth process と replicating strategy の関係

d⟨X ^{x ,π} , S⟩ t = π t d⟨S⟩ t

∴ _{π t =} ^d⟨X

x ,π _{, S⟩}

t

d⟨S⟩ t

(Quadratic variation を Lebesgue-Stieltjes measure と見た時

の Radon-Nikodym 微分 )

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Black-Scholes model の flamework で完備性が言えた理由

N = d ゆえ σ を正則行列と取れた

Market price of risk の可積分性の仮定を置いた

Filtration が Brownian motion によって生成されていた

実際の市場における問題

More uncertainties → d > N, non-Brownian filtration etc.

Stochastic Volatility model

Jump of prices (L´evy process)

Partial observation, hidden factor model

Fat tail distribution → integrability

Illiquid market

これらの現実的な問題の存在ゆえ , 非完備市場における

pricing/hedging problem は重要

一方 no arbitrage については, ここを崩すと market model が

成り立たないので認める

(No arbitrageが成り立たない場合, そもそもモデル自体が見直されるべき, とは言え実際の市場では…) 15 / 65

. . . . . . . .

Why Incomplete?

Incomplete Market -2-

..

Hedging

Superhedging

“t = Tにおいて contingent claim の payoff を a.s. に下回ら ない wealth をもたらす portfolio” (superreplicating portfolio) を考える

但し, proportioanal transaction cost の下での plain vanilla option の superhedging portfolioは初期時点における証券の buy and hold であ る事が知られている → 意味が無い！ （ST≥(ST−K)+） (n → ∞で係数が 0 に近づくような「小さい」線形コストの下では non-trivial な hedge が 意味を成す (Kusuoka (1995), Dolinsky-Soner (2012))

完全な (i.e. a.s. の意味での) 優ヘッジではなく, quantile hedging等を考える事もある

Risk minimization

Hedging errorの何らかの意味での最小化を目指す Quadratic risk minimization→ minimal entoropy martingale measure (MEMM)

Locally risk minimization Minimization by some risk measure

Pricing

Superhedging portfolio の現在価値の最小値

Utility indifference price (

)

Stochastic discount factor (SDF)

Good deal bounds

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以下 , 簡単のため N = 1 とする

(Ω, F, (F t ) t , P) : given stochastic basis (with usual

condition) s.t. F ₀ is trivial and F T = F

証券価格過程 (S _t ) _t : semimartingale とする

Semimartingale 分解 : S

= S

+ M

+ A

S

: constant

(M

)

: square integrable P-martingale

(A

)

: square integrable predictable process of bounded

variation

無裁定を意識し , 次を仮定する

. Assumption

..

.

M ̸= φ,

where M is the set of probability measure Q such that Q is

equivalent to P and (S t ) t becomes a Q-martingale.

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. . . . . . . .. . . .

Theory of F¨ollmer-Schweizer (1) : MEMM

Hedging in Incomplete Market -2-

..

前頁の仮定により Q ∈ M なる Q が少なくとも一つ取れる

以下に注意 :

M = S − S

− A は P-martingale

S = S

+ M + A は Q-martingale

G t = E[ ^dQ

dP ^{|F t ] ( の} right-continuous version) とおくと , 作り

方より G は P-martingale

G

= 1 a.s., E[G

] = 1

X : Q-martingale ならば GX は P-martingale となる

ここで quadratic covariation ⟨M, G ⟩ を考えてみる :

Integration by parts formula より

GM +

∫

G − dA = GS − S 0 G −

∫

A − dG

であり , GS, G が P-martingale ゆえ上式も P-(local)

martingale −→ ⟨M, G ⟩ = −

∫

G − dA

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前頁の計算より −dA t = ¹

G t−

d⟨M, G ⟩ t , 即ち dA t は

d⟨M, G ⟩ t に対して絶対連続

更に国田-渡辺の不等式により d⟨M, G ⟩ t は d⟨M⟩ t に対して

絶対連続

−→ dA t は d⟨M⟩ t に対して絶対連続であり,

Radon-Nikodym 微分 (α t ) t を持つ:

A t =

∫ t

0

α s d⟨M⟩ s , (α t ) t : predictable (とする)

そこで, SDF として stochastic exponential

G = e ˆ

(

−

∫

α s dM s

)

を考え, d ˆ P = ˆ G T dP によって ˆ P を構

築する事を試みる

Black-Scholes model における e

(

−

∫

θ

dB

)

の analogy

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. . . . . . . .. . . .

Theory of F¨ollmer-Schweizer (1) : MEMM

Hedging in Incomplete Market -4-

..

寄り道 : Black-Scholes model における example

dS _t = S _t (µ _t dt + σ _t dB _t ), A _t =

∫ t

0

µ _s S _s ds, M _t =

∫ t

0

σ _s S _s dB _s

d⟨M⟩ t = σ _t ² S _t ² dt ゆえ

dA t = ^{µ t}

σ _t ² S t

d⟨M⟩ t

−→ α t = ^{µ t}

σ _t ² S t

= ^{θ t}

σ t S t

であり,

e

(

−

∫

α s dM s

)

= e

(

−

∫ _θ

t

σ t S t

× σ t S t dB t

)

= e

(

−

∫

θ t dB t

)

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. . . .

P ˆ はいつ確率測度となるか？

G ˆ による測度変換を考えるためには, ˆ G が P-martingale とな

らなければならない

そのための十分条件の一つとして Novikov condition が知られ

ている:

E

[

exp

( ∫

0

α

d⟨M⟩

)]

< ∞

実は更に強く, 以下の事が示されている (F¨ollmer-Schweizer

(1990))

. Definition

..

.

Q is called minimal entoropy martingale measure (MEMM) if

Q is equvalent to P, ˆ P|

= P|

If L is a square integrable P-martingale satisfying ⟨L, M⟩ = 0

P-a.s., then L is a Q-martingale.

. Theorem

..

.

MEMM exists iff ˆ G is a square integrable P-martingale. Moreover

the unique MEMM is given as ˆ P i.e. MEMM has a density ˆ G

.

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. . . . . . . .. . . .

Theory of F¨ollmer-Schweizer (1) : MEMM

Hedging in Incomplete Market -6-

..

P ˆ が MEMM である事の証明

まず伊藤の公式より d ˆ G t = −α t dM t である事に注意

任意の L ² な P-martingale L (s.t. L is orthogonal to M) に対

して, 国田-渡辺の定理から

⟨L, G ⟩ t = −

∫ t

0

α s d⟨L, M⟩ s = 0

となる → これは LG が P-martingale である事, 即ち L が

P-martingale ˆ である事を意味している

L

性から , local martingale だけでなく martingale である事ま

で分かる

なお Cameron-Martin-Dynkin-Maruyama-Girsanov の定理よ

り ⟨M⟩ ^P = ⟨S⟩ ^Q である事に注意

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. . . .

何故 P ^ˆ を “minimal entropy” martingale measure と呼ぶか？

Q ∈ M に対して relative entropy (Kullback-Leibler 情報量)

を次で定義する

H(Q|P) = E ^Q [log ^dQ

dP ^]

以下では Novikov condition を仮定する

. Lemma

..

. H(Q|P) = H(Q| ˆ P) + ¹

2 ^E

Q _[ ^{∫ T}

0

α ² _t d⟨S⟩ ^Q _t ], ^∀ Q ∈ M

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. . . . . . . .. . . .

Theory of F¨ollmer-Schweizer (1) : MEMM

Hedging in Incomplete Market -8-

..

Proof

まず dM = dS − dA, dA = αd⟨M⟩ により

log ˆ G = −

∫

αdM − ¹

2

∫

α ² d⟨M⟩

= −

∫

αdS +

∫

α · αd⟨M⟩ − ¹

2

∫

α ² d⟨M⟩

= −

∫

αdS + ¹

2

∫

α ² d⟨M⟩

よって

H(Q|P) = E ^Q [log ^dQ

d ˆ P ^{+ log ˆ G T ]}

= H(Q| ˆ P) + ¹

2 ^E

Q _[ ^{∫ T}

0

α ² _t d⟨M⟩ t ].

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. . . .

相対エントロピーの性質

∀ Q ∈ M : H(Q|P) ≥ 0

何故ならば , F (x) = x log x _は (0, ∞) _上 convex _なので

Jensen の不等式より

H(Q|P) =

∫ (

log ^dQ

dP

) dQ

dP ^{dP = E[F}

( dQ

dP

)

]

≥ F _(E[ ^dQ

dP ]) = F (1) = 0

(Gibbs の不等式 )

H(Q|P) = 0 =⇒ Q = P

H(P|P) = 0 は定義より自明

関数 ^F の狭義凸性より , Jensen の不等式の等号成立は

dQ

dP ^{= const., 即ち P = Q の時}

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. . . . . . . .. . . .

Theory of F¨ollmer-Schweizer (1) : MEMM

Hedging in Incomplete Market -9-

..

. Theorem

..

.

P = arg-min ˆ

Q∈M

{

H(Q|P) − ¹

2 ^E

Q _[

∫ T

0

α ² _t d⟨M⟩ t ]

}

.

. Corollary

..

.

If

∫

α ² d⟨M⟩ is deterministic, then

P = arg-min ˆ

Q∈M

H(Q|P).

上より , ˆ P は「相対エントロピーを最小化する同値マルチン

ゲール測度」として特徴付けられる

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. . . .

これまでの議論で分かった事

適当な数学的仮定及び無裁定 (というより EMM の存在) の

仮定の下で, 「M と直交するような P-martingale を

P-martingale ˆ とするような」EMM ˆ P が存在する

上の ˆ P は relative entropy を最小化する

以下ではこの P ^ˆ を使い , hedging error の二乗誤差最小化の観

点から hedging strategy の構築を試みる

なお P 自身が martingale measure になっている場合 (i.e.

A ≡ 0) については F¨ollmer-Sondermann (1986) によって議論

がなされており, 以下紹介する F¨ollmer-Schweizer (1990) の結

果のベースとなっている

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. . . . . . . .. . . .

Theory of F¨ollmer-Schweizer (2) : Quadratic Risk Minimization

Hedging in Incomplete Market -11-

..

Recall: Cost process

C _t = X _t −

∫ t

0

π _s dS _s = η _t + π _t · S _t −

∫ t

0

π _s dS _s

Self-financing (s.f.) であるならば dC t = 0

しかし以下では s.f. でない戦略をも考える

. Definition

..

. ϕ = (η, π) : mean self-financing ⇐⇒ (C ^def t ) t : ˆ P-martingale

S.f. =⇒ mean s.f.

Mean s.f. ⇐⇒ (X t ) t : square integrable ˆ P-martingale.

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. . . .

L ² な contingent claim H を考える

二つの “hedge” の概念

hedgable/replicatable: ^∃ ϕ s.t. H = X T a.s.

Attainable: ^∃ ϕ s.t. H = X 0 +

∫ T

0

π s dS s a.s.

Self-financing な portfolio については replicatable ⇐⇒

attainable

以下では “hedge (replication)” を考えるが, それが attainable

というわけではない

即ち外生的なキャッシュフローの存在を許す

それ ( のリスク ) を出来るだけ少なくしたい , というのが

risk-minimization の考え方

29 / 65

. . . . . . . .. . . .

Theory of F¨ollmer-Schweizer (2) : Quadratic Risk Minimization

Hedging in Incomplete Market -13-

..

国田 - 渡辺分解

L _{(M) =}

{ ∫

π

dM

; π ∈ L

(d⟨M⟩dP) : prog. m’ble

}

と

おくと これは L

(P) において closed subspace をなす

確率積分の定義より自明

そこで , L

(P) に対する次の直和分解を考える

L

(P) = L (M) ⊕ L (M)

上より , H に対して

π,

^˜ L

s.t.

H =

∫

π

dM

+ ˜ L

更に L

= ˜ L

− E[H] として

H = E[H] +

∫

π

dM

+ L

30 / 65

. . . .

国田 - 渡辺分解 (Cont’d.)

さて, L ^H _t = E[L ^H |F t ] とおけば (L ^H _t ) t は P-martingale

更に (L ^H _t ) t は (M t ) t と直交

なぜならば , 任意の stopping time τ ≤ T に対して , optional

sampling theorem より

E[L

^M

_{] = E[E[L}

|F

]

∫

1

^dM

] = 0 = E[L

^M

^]

→ Karatzas-Shreve (1991) _の問題 1.3.26 _より (L

M

)

は

P-martingale

前頁より次が分かった

H _{= E[H] +}

∫

π

dM

+ L

, ⟨L

, M ⟩

= 0

31 / 65

. . . . . . . .. . . .

Theory of F¨ollmer-Schweizer (2) : Quadratic Risk Minimization

Hedging in Incomplete Market -15-

..

The case of ˆ P = P (i.e. A ≡ 0)

. Definition

..

. R t (ϕ) = E[(C T ^{− C} t ) ² |F t ] : remaining risk of ϕ

. Definition

..

.

ϕ : risk minimizing ⇐⇒ For any t ∈ [0, T ], ˜ ^def ϕ = (˜ η, ˜ π) : strategy

s.t. ˜ ϕ = ϕ on [0, t) and ˜ η T + ˜ π T · S T = η T + π T · S T , it holds

that R t (ϕ) ≤ R t ( ˜ ϕ)

. Theorem

..

.

A risk minimizing strategy is mean s.f. Moreover, for H ∈ L ² (P),

there is a unique risk minimizing strategy ϕ ^∗ whose cost process is

orthogonal to M under P.

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. . . .

General case

. Theorem (Schweizer (1991))

..

.

Assume some technical conditions. A locally risk minimizing

strategy is mean s.f. Moreover, for H ∈ L ² (P), there is a unique

locally risk minimizing strategy ϕ ^∗ whose cost process is

orthogonal to M under P.

Locally risk minimizing の定義は省略 (少しややこしい)

以上を motivation として, 以下によって strategy の

optimality を定義する

. Definition

..

.

A hedging strategy is called optimal if the corresponding cost

process is not only P-martingale but also orthogonal to M under P.

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. . . . . . . .. . . .

Theory of F¨ollmer-Schweizer (2) : Quadratic Risk Minimization

Hedging in Incomplete Market -17-

..

前頁の定理から optimal strategy の存在 (と一意性) が分かっ

ている

ˆ

ϕ = (ˆ η, ˆ π) を optimal strategy とすると, wealth process を

X , cost process ˆ を ˆ C とし, 更に ˆL

= ˆ C

− ˆ C

として

H = X ^ˆ

= ˆ C

+

∫

ˆ

π

dS

= C ^ˆ

+

∫

ˆ

π

dS

+ ˆ L

, ⟨ˆ L

, M⟩

= 0

P ˆ が MEMM である事から ⟨ˆL

, S⟩

= 0

−→ 上は S に関する ˆ P の下での国田-渡辺分解になってい

る, 即ち

X ˆ

= ˆ E[H|F

]

(

= ˆ E[H] +

∫

ˆ

π

dS

+ ˆ L

)

であり ˆπ = ^{d⟨ ˆ X , S⟩}

Pˆ

⟨S⟩

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. . . . Schweizer (1991)の結果を経由しなくても optimal strategy

の存在 (と一意性) は分かる

Pˆの下での国田-渡辺分解を考えて,^∃ˆπ, L s.t. L : P-martingale,ˆ

H = ˆE[H] +

∫T 0

ˆ

πtdSt+ LT, ⟨L, S⟩^ˆP= 0

更にηt= ˆE [H|Ft] − ˆπtSt= ˆH +

∫t 0 ˆ

πsdSs− ˆπtSt− Ltと置く この時cost processはCt= ˆE [H] − Ltとなり,これは P-martingaleˆ

ここでZt= Gt⁻¹= e (

−

∫ αsdMs

)−1 と置くと,

dMt= dSt− αtd⟨M⟩^P= dSt− αtd⟨S⟩^Pˆに注意して

dZt= Zt (

αt(dSt− αtd⟨S⟩t) +^α 2 t 2^d⟨S⟩t+

α²_t 2^d⟨S⟩t

)

= αtZtdSt

更に上よりd⟨Z , L⟩ = αZd⟨S, L⟩ = 0ゆえ d(ZtLt) = ZtdLt+ LtdZt となりZLはP-martingale,ˆ つまりLはP-martingale (Remark: dP = ZTd ˆP)

同様に,

d(ZLM) = d(ZLS) − αZLd⟨S⟩

= (mart.) + Zd⟨L, S⟩ + Ld⟨Z , S⟩ + Sd⟨Z , L⟩ − αZLd⟨S⟩

= (mart.) + 0 + αZLd⟨S, S⟩ + 0 − αZLd⟨S⟩ = (mart.)

→ZLMはP-martingale^ˆ ゆえLMはP-martingale,即ち

⟨L, M⟩ = 0

以上よりC = ˆE [H] − LがP-martingaleである事が分かった, 即ち(ˆη, ˆπ)はoptimal

35 / 65

. . . . . . . .

Theory of F¨ollmer-Schweizer (2) : Quadratic Risk Minimization

Hedging in Incomplete Market -18-

..

以上をまとめると…

. Theorem

..

.

Define ˆ ϕ = (ˆ η, ˆ π) by

X ˆ t = ˆ E[H|F t ], ˆ π = ^{d⟨ ˆ X , S⟩}

P ˆ

⟨S⟩ ^{P ˆ}

and ˆ η = ˆ X − ˆ π · S, where ˆ P is a MEMM. Then ˆ ϕ is a unique

locally risk minimizing strategy.

MEMM による hedging strategy の初期費用は ˆ X 0 = ˆ E[H]

→ これを H の現在価値と考えたいが, 実際は hedging error

から (martingale となるような) cash-flow が生じる

→ この exogenous な cash-flow を無視すると, ここが

basis-risk を生じさせる

36 / 65

. . . .

前頁の MEMM による期待値は H に対する pricing formula

の候補の一つとなっているが, この値を「H の現在価値」と

して推奨されているわけでは必ずしもない

あくまで “完璧ではないがある意味で一番マシな hedging

strategy” を与えただけで, その portfolio の現在価値が no

arbitrage price となっているわけではない

別のアプローチとして, 経済学における「無差別効用」の考

え方の適用を試みる (効用無差別価格 : utility indifference

price)

その contingent claim を買う (または売る) 事によって得られ

る効用が, 買わない (売らない) 場合の効用と一致するように

価格を決める

以下の性質があるため応用上は使い辛い

価格が数量に依存してしまう: n 単位分の価格が 1 単位分の価

格の n 倍になるとは限らない (取引量に対する非線形性)

(同様に, 買い方と売り方とで希望価格が異なる)

価格が投資家の効用関数及び初期資産額に依存してしまう, そ

のため contingent claim の「妥当な価格」は人によって異なる

しかし optimal portfolio problem と相性が良い手法であり, ま

た指数効用を用いる場合, 他の pricing method との関係もい

くつか見られる

37 / 65

. . . . . . . .. . . .

Utility Indifference Price

Pricing 1. Utility Indifference Price -2-

..

Toy model: coin tossing in a single period model

N = 0, 即ち取引可能な危険資産が無く, H は T 時における

コイン投げで決まるとする

H =

{ _u with prob. p

d with prob. 1 − p

トレーダーの utility function : E[U(·)], U : non-decreasing,

concave

また初期資産額を x とし, 彼にとっての H の現在価値を h と

おく

トレーダーが何もしない場合…

H を n 単位購入する (i.e. コイン投げに n 回分 bet する)

場合…

効用は

E[U(x − nh + nH)] = pU(x − nh + nu) + (1 − p)U(x − nh + nd)

utility indifference price とは次を満たす h の事:

U(x) = E[U(x − nh + nH)]

上を解けば h を求められるが, 更に U の concavity,

monotonicity から h ≥ pu + (1 − p)d = E[H] である →

h − E[H] = risk premium

38 / 65

. . . .

実際の市場においては [0, T ] で資産運用をするため, 投資家

の効用は「最適投資問題の解 (value function)」として与えら

れる事となる

V (x) = sup

(πt)t

E[U(X

)]

s _{.t. X}

_{= x +}

∫

^π

^dS

V

(x − nh) = sup

(πt)t

E[U(X

+ nH)]

s.t. X

= x − nh +

∫

π

dS

. Definition

..

.

An utility indifference price h is the solution of

V

(x − nh) = V (x)

上の両辺は最適化問題となっており, それ自体がややこしい

形をしているため, まず両辺の関数の性質を調べる必要が

ある

39 / 65

. . . . . . . .. . . .

Utility Indifference Price

Martingale Approach -1-

..

V (x) のような最適化問題に対する dynamic programming

approach (HJB approach) は「数理ファイナンス入門 その

1」で扱った

今の場合, martingale approach (dual approach) が有効なので

そちらを御紹介

詳細は Kramkov-Schachermayer (1999) 参照

仮定

M : the set of EMM は non-empty

U : strictly increasing, strictly concave, continuously

differentiable, さらに U は Inada condition を満たす:

U

(0+) = ∞, U

(∞) = 0

V

(x) = sup

π∈A(x)

E[U(X

+ nH)] < ∞, where

A(x) = {π ; predictable, S-integrable, x +

∫ ·

0

π s dS s is non-negative a.s.}

40 / 65

. . . .

まず市場が完備 (i.e. M = {Q}) の場合を考える

詳細は Karatzas-Shreve (1991) 参照

G t = E[ ^dQ

dP ^{|F t ]} とおけば, GS や GX は P-local martingale

Convex dual (≒ Legendre-Fenchel transformation)

U(y ) = sup ˜

x ∈R

{U(x) − xy }

sup は x

= I (y ) で attain される, 但し I = (U

)

U(x) = inf

y ∈R

^{{ ˜} U(y ) + xy }, U ^˜

= −I

V (y ) = E[ ˜ ˜ U(yG T )] とおくと, 任意の x, π ∈ A(x) に対し

(X _t ^{x ,π} = x +

∫ t

0

π s dS s と書いて)

E[U(X _T ^{x ,π} )] = E[U(X _T ^{x ,π} ) − yG T X _T ^{x ,π} + yG T X _T ^{x ,π} ]

≤ E[ ˜ U(yG T )] + y E[G T X _T ^{x ,π} ] = ˜ V (y ) + xy

41 / 65

. . . . . . . .. . . .

Utility Indifference Price

Martingale Approach -3-

..

U ˜ の部分を具体的に書くと

E[U(X

)] ≤ E[U(I (yG

))] − y E[G

^{I (yG}

^{)] + xy}

そこで , X (y ) = E[G

I (yG

)] とおいて上式の y に ^X

(x)

を代入すると

E[U(X

)] ≤ E[U(I (X

(x)G

))] − y X (X

(x)) + xy = E[U(I (X

(x)G

))]

市場は完備ゆえ , I (X

(x)G

) は複製出来る :

(h

, π) s.t.

I (X

(x)G

) = X

更に

E

[I (X

(x)G

)] = X (X

(x)) = x

から h

= x

X

は L

な Q-local martingale なので Fatou の lemma よ

り Q-supermartingale となり , 更に I ≥ 0 ゆえ

X

≥ ¹

G

^E[G

I (X

(x)G

)|F

] ≥ 0

→ π ∈ A(x)

42 / 65

. . . .

以上をまとめると ,

. Theorem

..

.

V (x) = E[U(I (X ⁻¹ (x)G T ))]

= inf

y >0 ^{{ ˜} V (y ) + xy }

. Corollary

..

.

V (y ) = sup ˜

x∈R

{V (x) − xy }

43 / 65

. . . . . . . .. . . .

Utility Indifference Price

Martingale Approach -5-

..

さて , ˜ V (y ) = E[ ˜ U(yG T )] の滑らかさは容易に示す事が出

来て ,

V ˜ ^′ (y ) = E[G T U ^{˜ ′} (yG T )] = − E[G T I (yG T )] = −X (y )

この事と , 更に V が V ^˜ の convex dual である事を用いれば

V の滑らかさも分かり , また

V ^′ (x) = −( ˜ V ^′ ) ⁻¹ (x) = X ⁻¹ (x)

となる . よって ,

. Corollary

..

. V (x) = E[U(I (V ^′ (x)G _T ))]

44 / 65

. . . .

同様に ,

. Theorem

..

.

V ^nH (x) = E[U(I (X ⁻¹ (x + n E[G T H])G T ))]

= E[U(I (V ^′ (x + n E[G T ^H]))G T ^))]

= E[U(I ((V ^nH ) ^′ (x))G _T ))]

Utility indifference price in complete market

V ^nH (x − nh) = V (x) を解いて

h = E[G T H] = E ^Q [H]

45 / 65

. . . . . . . .. . . .

Utility Indifference Price

Utility Indifference in Incomplete Market -1-

..

次に非完備な場合を考える

Asymptotic elasticity :

AE (U) = lim sup

x →∞

xU ^′ (x)

U(x)

. Assumption

..

. AE (U) < 1.

上の仮定の下では, 完備の場合と同様に V の滑らかさや

duality の議論を行う事が出来る

その際, ˜ V を以下に置き換える事となる

V (y ) = ˜ inf

Q∈M ^E

[

U ˜

(

y ^dQ

dP

)]

,

V ˜ ^nH (y ) = inf

Q∈M ^E

[

U ˜

(

y ^dQ

dP

)

+ ynH ^dQ

dP

]

,

46 / 65

. . . .

. Theorem

..

.

V (x) = inf

y >0 ^{{ ˜} V (y ) + xy }, ˜ V (y ) = sup

x ∈R

{V (x) − xy },

V ^nH (x) = inf

y >0 ^{{ ˜ V}

nH (y ) + xy }, ˜ V ^nH (y ) = sup

x ∈R

{V ^nH (x) − xy }

Marginal price

. Definition

..

.

Let p ⁽ⁿ⁾ be the solution of V ^nH (x − np ⁽ⁿ⁾ ) = V (x). The limit

p ^∗ = lim

n→0 ^p

(n) is called a marginal price if exists.

Davis (1997) による , 同値だが異なる観点からの定義もある

47 / 65

. . . . . . . .. . . .

Utility Indifference Price

Utility Indifference in Incomplete Market -3-

..

. Theorem (Davis)

..

.

Under some suitable technical conditions, we have

p ^∗ = ^E[U

′ _{( ˆ X}

T )H]

V ^′ (x) ^,

where ˆ X is the optimal wealth process w.r.t. V (x).

完備市場の場合 ,

p ^∗ = ^E[U

′ _{(I (V} ′ _(x)G

T ))H]

V ^′ (x) ⁼

V ^′ (x) E[G T H]

V ^′ (x) ^{= E}

Q [H]

以下 , 非完備市場において U(x) = − exp(−αx) (α > 0)

(expinential utility) の時に utility indifference price を計算し

てみる

48 / 65

. . . .

基本的な量

U

(x) = αe

= αU(x)

I (x) = − ¹

α ^log

y

α ^{, U(y ) = − ˜}

y

α ⁺

y

α ^log

y

α

とりあえず V (y ) ^˜ の計算をしてみると…

V (y ) = ˜ inf

Q∈M

^E

[

U ˜

(

y ^dQ

dP

)]

= inf

Q∈M

^E

[

− ^y

α

dQ

dP ⁺

y

α

dQ

dP ^log

( y

α

dQ

dP

)]

= inf

Q∈M

^{{ ˜ U(y ) E}

[ dQ

dP

]

+ ^y

α ^H(Q|P)}

= U(y ) + inf ^˜

Q∈M

^H(Q|P)

同様に

V ˜

(y ) = ˜ U(y ) + inf

Q∈M

{H(Q|P) + αn E

[C ]}

49 / 65

. . . . . . . .. . . .

Utility Indifference Price

Utility Indifference with Exponential Utility -2-

..

Duality より

V (x) = inf

y >0

^{{ ˜} V (y ) + xy }

= inf

y >0

^{

y

α (−1 + log y /α) + y inf

Q∈Q

H(Q|P) + xy }

= − exp(−αx − inf

Q∈M

^H(Q|P))

= − exp(−αx − H( ˆ P|P)),

where ˆ P is MEMM

同様に

V

(x) = − exp(−αx − inf

Q∈M

{H(Q|P) + αn E

[H]})

Utility indifference price p

は, V

(x − np

) = V (x) を解

いて

p

= ¹

αn

{

Q∈M

inf (H(Q|P) + αn E

[H]) − H( ˆ P|P)

}

50 / 65

. . . .

Bid price, ask price

前頁まで見ていたのは「買い方」の考える価格

同様に「売り方」から見た utility indifference price も定義出

来る

以下 , parameter of risk aversion も含め , 各々の価格を以下の

ように表記する

p bid ^(n,α) = p ⁽ⁿ⁾ = inf

Q∈M

{

E ^{Q [H] + 1}

αn (H(Q|P) − H( ˆ P|P))

}

,

p ask ^(n,α) = p ⁽⁻ⁿ⁾ = sup

Q∈M

{

E ^Q [H] − ¹

αn (H(Q|P) − H( ˆ P|P))

}

α ≤ β, n ≤ m の時 ,

Q∈M inf ^E

Q _{[H] ≤ p} (m,β)

bid ≤ p ^(n,α) bid ≤ ˆ E[H] ≤ p ^(n,α) ask ≤ p ^(m,β) ask ≤ sup

Q∈M

E ^Q [H]

51 / 65

. . . . . . . .. . . .

Utility Indifference Price

Utility Indifference with Exponential Utility -4-

..

Bid price, ask price

. Theorem (Delbaen et al. (2002))

..

.

n→∞ lim ^p

(n,α)

bid ^{= lim}

α→∞ ^p

(n,α)

bid ^{= inf}

Q∈M ^E

Q _[H],

n→∞ lim ^p

(n,α)

ask ^{= lim}

α→∞ ^p

(n,α)

ask ^{= sup}

Q∈M

E ^Q [H]

. Theorem (Fujiwara and Miyahara(2003))

..

.

n→0 lim ^p

(n,α)

ask ^{= lim}

α→0 ^p

(n,α)

ask ⁼ E[H], ^ˆ

n→0 lim ^p

(n,α)

bid ^{= lim}

α→0 ^p

(n,α)

bid ^{= E[H] ˆ}

52 / 65

. . . .

. Definition

..

.

(Y

)

: stochastic discount factor (SDF) ⇐⇒ Y

= 1, Y

> 0

a.s., YS

: P-local martingale,

i = 0, 1, . . . , N

今 S

≡ 1 としているので, Y 自身が P-local martingale

割引を考える場合は ˜ Y = YS

として YS

= ˜ Y (S

/S

) と考

える

例えば EMM や ELMM (equivalent local martingale measure)

Q に対して

Y

= E[ ^dQ

dP ^|F

^]

とすれば Y は SDF, 即ち

E(L)MM =⇒

SDF

しかし,

E(L)MM ⇐=

SDF ではない

Elworthy-Li-Yor (1999): N = 1 として S

を 3-dim. Bessel

process とすると 1/S

が唯一の SDF

Elworthy-Li-Yor (1999): N = 1 として S

を reciprocal 3-dim.

Bessel process, (F

)

: generated by S

とした時, P は唯一の

ELMM であり S

> E[S

]

よって, SDF は E(L)MM を一般化した概念と言える

53 / 65

. . . . . . . .. . . .

Stochastic Discount Factor

Stochastic Discount Factor -2-

..

寄り道 : Utility-based pricing model との関係 (single period

model)

簡単のため , N = 1 とした時の static programming (t = 0, T )

を考えてみる

V

(x) = sup

π

E[U(X

)], X

= x + π(S

− S

)

適当な数学的仮定の下で , first order condition より

∂

∂π E[U(x + π(S

− S

))]|

= 0

⇐⇒ S

= ^E[U

′

( ˆ X

)S

]

E[U

( ˆ X

)]

Davis price (marginal price) も同じ形をしている事に注意

Y

= ^U

′

( ˆ X

)

E[U

( ˆ X

)] ^{と見ると , これは 1 期間モデルにおける}

SDF と見る事が出来る

同時に EMM の density にもなっている

54 / 65

. . . .

Black-Scholes type market における SDF

Riskless asset : S _t ⁰ ≡ 1

Risky assets : dS _t ⁱ = S _t ⁱ (µ ⁱ _t dt +

d

∑

j=1

σ ^ij _t dB _t ^j )

. Definition

..

.

θ : risk premium (market price of risk) ⇐⇒ θ : d-dim. adapted process ^def

s.t.

σ ^⊤ θ = µ, ^∀ t, a.s.

Θ = the set of all risk premia

c := σ ^⊤ σ : covariance matrix

Assume that c is invertible

55 / 65

. . . . . . . .. . . .

Stochastic Discount Factor

Stochastic Discount Factor -4-

..

Black-Scholes type market における SDF (Cont’d.)

. Theorem

..

. Θ ̸= φ ⇐⇒

∫ T

0

|σ t c _t ⁻¹ µ t | ² dt < ∞ a.s. ⇐⇒ NUPBR

N = d ⇒ Θ = {σc ⁻¹ µ} (single point)

N < d ⇒ Θ = {σc ^{− 1} µ + κ ; κ : adapted, θ ^⊤ κ = 0}

56 / 65

. . . .

Merton proportion との関係

θ

= σc

µ は log utility に対する Merton problem の解

(Merton proportion) に , 以下の意味で対応している

簡単のため N = d = 1 として , 初期保有額を 1, 投資比率

(not 保有証券量 or 額 ) 過程を π

= c

µ とすると , 適当な数

学的仮定の下で

π

= ^µ

σ

^,

dX

X

^{= π}

∗ t

dS

S

^{= (θ}

∗ t

⁾

^{dt + θ}

∗ t

^dB

−→ X

= exp

(∫

0

θ

dB

+ ¹

2

∫

(θ

)

ds

)

,

Y

:= (X

)

= e

(

−

∫

0

θ

dB

)

t

= U

(X

) = ^U

′

(X

)

E[U

(X

)] ^,

where U(x) = log x

V (x) = sup E[U(X

)] = sup E[log X

] = E[log X

] =

1

2

∫

(θ

)

ds

57 / 65

. . . . . . . .. . . .

Stochastic Discount Factor

Stochastic Discount Factor -6-

..

SDF in Brownian BS market

. Theorem

..

.

Assume that (F t ) t is generated by (B t ) t . Then:

∀ _{Y : SDF,} ∃ κ : adapted, σ ^⊤ κ = 0 s.t.

Y = e (− ∫ ₀ ^· θ ^∗ _s dB _s ) e (− ∫ ₀ ^· κdB _s ) .

なお, semimartingale 分解 S = S 0 + M + A を考えた時, 条件

σ ^⊤ κ = 0 は ^∫ κ s dB s の M への (local martingale としての)

orthogonality に対応している

58 / 65

. . . .

SDF v.s. “law of one price” (conti.-time model)

. Definition

..

.

M : strictly local martingale ⇐⇒ M is a local martingale, but

NOT a martingale

(τ

)

を , M

が martingale となる stopping time の増大列

(→ ∞) として , Fatou の lemma より ,

E[M

|F

] ≤ lim inf

n

^{E[Mt ∧ τ}

^|F

^{] = M}

^{, s < t}

M は martingale ではないので , ある s < t で

E[M

|F

] < M

となっている

Elworthy-Li-Yor (1999) の例 : S

> E[S

] ⇒ E[S

] とは

何か？？

なおこの market model において 1 は SDF, P は ELMM で ある

その他の strictly local martingale の例 : CEV process with

α > 1 (Lewis, (2000))

59 / 65

. . . . . . . .. . . .

SDF and Pricing Rule

Pricing Rule -1-

..

Pricing rule in discrete-time model

Trading times : t = 0, 1, . . . , T

(Ω, F, P) ; standard probability space, (F

)

: discrete-time

filtration

Pricing rule : t + 1 時点の L

な payoff q に対する t 時点の

pricing rule を π

(q, ω) とする

作用素としては π

(·, ω) : L

(Ω; p(ω, ·)) −→ R と考える, 但し

p は regular conditional probability measure

π

(ω) は a.s. に continuous linear operator になっているとす

ると, Riesz の表現定理により

π

(q, ω) = (

ζ

, q)

= E[ζ

q|F

](ω)

ζ

を measurable に, 即ち random variable として取れる時,

これを pricing kernel と呼ぼう

実際, 適当な仮定の下で pricing kernel は存在する

(Hansen-Richard (1987), conditional version of the Riesz

representation theorem)

60 / 65

. . . .

Pricing rule in discrete-time model (Cont’d.)

各時点で価格を観測可能な証券を任意に取り , その価格過程

を (P

)

と置く

Pricing rule (π

)

が consistent であるために

P

= π

(P

)

という条件を考えるのが自然 ( この時 (π

)

を time consistent

と呼ぼう )

この時 , Y

:=

t

∏

i=1

ζ

と置くと ,

E[Y

P

|F

] = E[Y

E[ζ

P

|F

]|F

]

= E[Y

^P

^|F

] = · · ·

= Y

P

→ (Y

P

)

: martingale ∴ (Y

)

: SDF

更に π

(1) = 1 (cash price の consistency) と仮定すれば (Y

)

自身も martingale となる

dQ = Y

dP は EMM

61 / 65

. . . . . . . .. .

SDF and Pricing Rule

Pricing Rule -3-

..

Pricing rule in conti.-time model

Trading times : t ∈ [0, T ]

Pricing rule : t 時点の L ² な payoff q に対する 0 時点の

pricing rule を π t (q) とする:

π t : L ² (Ω, F t , P) −→ R

π t (ω) を continuous linear operator になっているとすると,(通

常の) Riesz の表現定理により

π t (q) = E[ ^∃ Y t q]

62 / 65

. . . .

Pricing rule in conti.-time model (Cont’d.)

更に, t 時点の L

な payoff q に対する s 時点の pricing rule

を π

(q) とする

Conditional version of the Riesz representation theorem によ

り, 適当な仮定の下で

π

(q) = E[

Y

q|F

]

Assume that:

Time consistency : π

(q) = π

(π

(q)), ^{s < t}

Case price consistency : π

(1) = 1, ^{s < t}

この時, 簡単な計算により Y

= Y

/Y

a.s. であり, (Y

)

が

martingale である事が分かる

証券 (S

)

の t 時点での価格 : law of one price に従えば

S

= π

(S

) = Y

E[Y

S

|F

] a.s.

→ (Y

S

)

は martingale, ∴ (Y

)

: SDF

63 / 65

. . . . . . . .

SDF and Pricing Rule

Pricing Rule -5-

..

Pricing rule in conti.-time model (Cont’d.)

逆に, tradable assets を持った市場モデルを考え SDF (Y t ) t の

存在を仮定する

S

≡ 1 を考慮し ^Y 自身が P-local martingale とする

(Y t ) t が L ² -martingale と仮定すると,

π s,t (q) = ¹

Y s

E[Y t q|F s ]

が continuous linear consistent pricing rule になる事は容易に

分かる

なおこの時, Y の positivity 及び伊藤の公式から, Y がある

local martingale M によって Y = e(M) と書ける事も容易に

分かる

64 / 65

. . . .

現実の非完備市場における pricing rule とは…

基本的には「リスク中立確率 Q の下で payoff C の期待値を

取る」という考え方が支持される

問題 : Q をどう定めるか？

恐ろしい事に , 「 Q = P とする」という割り切りがなされる事

もしばしば…

( 上場市場における ) 実際のデリバティブの価格 : 市場参加者

の取引によって実現される , ある意味での「 ( 部分 ) 均衡価格」

Black–Scholes の公式の一つの応用 : implied volatility

BS formula を (option price = ) f (σ) というボラティリティー

の関数と見て , 実際のオプション価格 p を用いて σ ˆ := f

(p)

とボラティリティーを「推定」する

これを「 (Q の下での ) 市場が評価するボラティリティー

(market volatility) 」と考え , 実はヒストリカルな手法で推定さ

れる値 ( ＝ P の下でのボラティリティー ) よりも積極的に利用

されている

「 Market から imply する」という考え方がデリバティブ取引

における de facto standard な考え方の一つであり , 「 Q とは

何か」の問題はここに内包されると整理する事も可能

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