理論ゼミ（後期） 2016 P3 sakurai 2 5b

1 重力ポテンシャルでの厳密解

重力ポテンシャルV = mgz中のシュレーディンガー方程式は

−^¯h

2

2m d²u

dz² + mgzu(z) = Eu(z) (1)

で与えられる。ここで、z⁰=(¯h²/m²g)^1/3、E⁰ = mgz⁰ = (¯h²mg²)^1/3 とし、さらに無次元量y = z/z⁰、 ε = E/E⁰を定義すると、

d²u

dy² − 2(y − ε)u(y) = 0 ⁽²⁾

さらに位置原点をずらしてx = 2^1/3(y − ε)^{と定義すると、}

d²u

dx² − xu(x) = 0 ⁽³⁾

この方程式はエアリー方程式と呼ばれ、解は、次の独立な第一種エアリー関数Ai(x)と第2種エアリー関数 Bi(x)の線形結合で表される。

u(x) = αAi(x) + βBi(x) (4)

ここで、

Ai(x) = ¹ π

∫ ^∞

0

cos^{( t}

3

3 ^{+ xt} )

dt (5)

Bi(x) = ¹ π

∫ ^∞

0

[ exp

(

−^t

3

3 ^{+ xt} )

+ sin^{( t}

3

3 ^{+ xt} )]

dt (6)

である。このうち、無限遠で収束するのはAi(x)の方であるので、解は、

[4]

Height (µm)

Energy (peV)

0 1 2 3 4 5

0 10 20 30 40 50 60

図1 本実験でのポテンシャルV(z)[8]

1

図2 第一種エアリー関数Aiと第二種エアリー関数Bi[7]

u(x) = αAi(x) (7)

となる。さらに、今回、鏡はポテンシャル無限大としているので、z=0で波動関数が0にならなければならな い。z=0は、上の定義より、x = −2^1/3εの時である。したがって、境界条件として、

u(−2^1/3ε) = αAi(−2^1/3ε) = 0 (8)

が課され、第一種エアリー関数の零点によりエネルギ準位ε =が離散化される。第一種エアリー関数Ai(w) の零点は低い方からw⁰=-2.338、-4.088、-5.521、-6.787、-7.944である。これから、

E = E⁰ε =^(¯h

2mg²)^1/3

2^{1/3 × w0 (9)}

となる、したがって、離散化された高さは、

z = ^E mg ⁼

( ¯h² 2m²g

)^1/3

× w^{0= z0}× ^w

0

2^{1/3 (10)}

となる。中性子の重さはm = 1.68 × 10⁻²⁷であるので、z0=(¯h²/m²g)^1/3 = 7.40µm。したがって、予想さ れる高さは、

z = 14µm、24µm、32µm、 (11)

である。

2 ^応用

• ポジトロニウムで重力の束縛状態を見る [5]

ポジトロニウムは電子と陽電子の束縛状態であり、中性である。式(10)より、離散化される高さzの m依存性は、m^−2/3である。したがって、中性子の質量mn = 940MeV、ポジトロニウムの質量が

Mp = 2me = 1.02MeVであることを考慮すると、ポジトロニウムが離散化される高さは中性子が離

2

lon me re tum 0.0 co th 10^–3

10^–2 10^–1

0 10 20 30 40

GAP HEIGHT ( m)m

NEUTRONFLUX(counts/s)

F

（ _µ ⅿ）

図3 予想結果[4]青線は古典力学による予想。赤線は量子力学による予想。黒い横線は検出器のバックグラウンド。

散化される高さの約(1000)^2/3 = 100倍となる。したがって、ポジトロニウムが離散化される高さは zp_{∼ 1mm}となる。

• ^{ニュートリノだと？}

最も軽いと予想される素粒子は電子ニュートリノであり、その上限はmν < 2.5eVである。したがっ て、少なくとも中性子より10⁻⁹ 倍軽い。このため、離散化される高さは、zν ∼ zn × (10⁹)^2/3 =

1µm × 10⁶= 1mとなる。逆にこの高さを測定することが出来ればニュートリノの質量を決定すること

が出来るかもしれない。

参考文献

[1] V. V. Neavizhevsky, H. G. Borner, A.K. Petrov, H. Abele, S. Baessler, G. Divkovic, F. J. Ruess, Th. Stoferle, A. Westphal, A. V. Strelkov, K.V. Protasov, A.Yu. Voronin, Phys. Rev. D 67, 102002-1 (2003)

[2] V.V.Nesvizhevsky他Nuclere Instruments and Methods in Physics Reserch A 440 (2000) 754-759 [3] V.V.Nesvizhevsky他Eur. Phys. J. C 40 479-491 (2005)

[4] Betram Schwarzschild Physics Today 55(3), 20 (2002)

[5] P.Crivelli, V.V. Nesvizhevsky, and A. Yu. Voronin Can We Observe the Gravitational Quantum States of Positoronium? Advances in High Energy Physics Article ID 173572.7 (2015)

[6] J. J. Sakurai (2014)『第２版 現代の量子力学 上』 吉岡書店 [7] https://ja.wikipedia.org /wiki/

[8] http://www.jahep.org/hepnews/2013/13-2-5-UCN.pdf

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