pp-wave Neumann 係数の性質 : Factorization と Large µ での振舞い

N¯_mn^rs =δ^rsδ_mn−2(C_(r)¹² X^(r)TΓ⁻_a¹X^(s)C_(s)¹² )_mn, (7.185) (Γa)mn =

3 r=1

(X^(r)C_(r)X^(r)T)mn, (7.186)

(C_(r))mn=w_n^rδmn, (7.187)

である。flatな場合と同様、Neumann係数N¯_mn^rs には無限次元行列Γ₊ の逆行列が出てくる。そ のため、ここで得たvertex operatorはまだexplicitな形をしていない。完全にexplicitな形を得 るためには、Neumann係数のexplicit な形を求めなくてはならない。

fermionic部分もガウス積分することにより、

E_b = exp



³

r,s=1

∞ m,n=1

b^(r)_−m^†Q^rs_mnb^(s)_n ^†−√ 2Λ

3 r=1

∞ m=1

Q^r_mb^(r)_−m^†



E_b⁰|0, (7.188)

となる。ここで、E_b⁰ はゼロモードだけから成る部分である。また、|0 ^は|01 ⊗ |02 ⊗ |03 だ が、|0(r) はH₂^(r) の固有値がゼロつまりb^(r)₀ ^† によって消される真空ではない。この真空はθ₀^(r) で消される真空である。よって、H₂^(r)|0(r)= 4µe(α_r)である。この真空は前にも書いたように、

µ→0 でflat space の真空に一致する真空である。Q^rs,Q^r,E_b⁰ の形は付録E.2.1 にのせておく。

7.3.3 pp-wave Neumann 係数の性質: Factorization とLarge µ での振舞い ここでは、前節で求めたpp-wave Neumann 係数の性質を見ておこう[40, 38, 41]。ここで見る 性質を用いて、次節でNeumann係数のexplicit な形をexact に求める。

上記のΓ_a は和公式を用いると、block diagonal な形であることが分かる。

(Γa)mn =







(C¹²Γ₊C¹²)_mn, m, n >0,

−2µα₃, m=n= 0, (C¹2Γ₋C¹2)_−m,−n, m, n <0.

(7.189)

ここで、

Γ+= 3 r=1

A^(r)U_(r)A^(r)T, Γ₋= 3 r=1

A^(r)₋ U_(r)⁻¹A^(r)₋ ^T, (7.190) U_(r)=C⁻¹(C_(r)−µα_r), U_(r)⁻¹ =C⁻¹(C_(r)+µα_r), A^(r)₋ = α₃

α_rC⁻¹A^(r)C. (7.191) これを用いて、Neumann係数を書き直しておく。m, n >0の場合にはnon-vanishing component は、

N¯_mn^rs =δ^rsδ_mn−2

"

(C_rC⁻¹)¹²A^(r)TΓ⁻₊¹A^(s)(C_sC⁻¹)¹²

$

mn, m, n >0, r, s∈ {1,2,3}, (7.192)

N¯_m0^rs = ¯N_0m^sr =

2µα_s^stα_t

"

(C_rC⁻¹)¹²A^(r)TY

$

m, m >0, r, s, t∈ {1,2}, (7.193) N¯_m0^3r = ¯N_0m^r3 =√

2mα_r^rsα_s

"

(C₃C⁻¹)¹²Y

$

m, m >0, r, s∈ {1,2}, (7.194) N¯₀₀^rs=δ^rs+

√αrαs

α₃ −µ√

α_rα_s^rtsuα_tα_uk, r, s, t, u∈ {1,2}, (7.195) N¯₀₀^r3 = ¯N₀₀^3r=−

αr

α₃

, r, s∈ {1,2}. (7.196) ただし、

Y = Γ⁻₊¹B, k=B^TΓ⁻₊¹B. (7.197) である。negative integer のcomponent でnon-vanishingなものは、

N¯₋^rs_m,−n=−(U_(r)N¯^rsU_(s))_mn, m, n >0, (7.198) だけである⁶。

Neumann 係数のFactorization

さて、flat space のNeumann係数は(7.99) のようにfactorize されていた。さらに、N_m^r に関 しては(7.112) とexiplicit な形が求まっていた。このことと(7.113) とから、vertex のexplicit な形が得られていた。これらのflat spaceでの結果を、pp-waveの場合、つまりµ= 0 の場合に 拡張したい。ここではまず、pp-waveの場合に一般化された(7.99) を求めよう[40, 38]。そこで、

Γ˜+=_∞

r=1A^(r)U_(r)⁻¹A^(r)T を定義して、Γ+C⁻¹Γ˜+を考える。(E.9), (E.16) を用いると、

Γ+C⁻¹Γ˜+=U3C⁻¹Γ˜++ Γ+C⁻¹U₃⁻¹− α1α2

2 BB^T. (7.199)

また、(7.191), (E.16) からΓ˜+= Γ++µαBB^T が分かる。これを上式に代入して、左右両側から Γ⁻₊¹ をかけると、

C⁻¹+1

2α1α2Y Y^T +µαZY^T = Γ⁻₊¹U3C⁻¹+C⁻¹U₃⁻¹Γ⁻₊¹. (7.200) ただし、Z = (1−Γ⁻₊¹U₃)C⁻¹B である。この式からZ を消去したい。そこで、(7.200)右からB をかけると、Z(1 +µαk) =C⁻¹U₃⁻¹−^α1α₂^2kY となるので、このZ を(7.200)に代入して、C を 左右からかけると、

{Γ⁻₊¹, C₃}=C+ α₁α₂

2(1 +µαk)CU₃⁻¹Y Y^TCU₃⁻¹ (7.201) を得る。この式から、(7.99) 一般化である次の関係式が得られる。

N¯_mn^rs =− mnα 1 +µαk

N¯_m^rN¯_n^s

αsω^r_m+αrω_n^s. (7.202) ここで、

N¯_m^r =−"

(C⁻¹Cr)¹²U_r⁻¹A^(r)TY

$

. (7.203)

6Γ₊ はwell-definedな量であるが、Γ₋は発散してしまいill-definedな量である。しかし、well-definedな関係式 Γ⁻¹₋ =U₍₃₎(1−Γ⁻¹₊ U₍₃₎)が導ける。これにより、m, n <0のNeumann係数がm, n >0のものと関係づけられる。

Large µ 領域でのNeumann 係数の振舞い

string 理論とゲージ理論側との双対性を調べるためには、large µαp⁺ 領域でのNeumann係 数の振舞いが知りたい。そこで、Neumann 係数に出てくる量のlarge µ での振舞いを調べよう [40]。ここで、気を付けなくてはならないことは、無限次元行列の積には無限級数が表われるが、

この無限級数とlarge µlimitは一般には可換ではないことである。これを見るために、次の簡単 な例を見てみる。

∞ p=1

1 p²

1

1 +λp² = 1 6

π²+ 3λ−3π√

λcoth π

√λ

∼ π² 6 − π

2

√λ+O(λ), (7.204)

ここでは、有限のλについてまず和を計算して、それからλ→0 のlimitをとったが、もし和を とる前にsummand のlimit をとってしまうと、√

λ の項は出てこず、λ のべきの項しか出てこ ない。これと同様の現象が我々の扱う無限次元の行列やベクトルに対しても生じるため、最後に large µlimit をとるように気を付けなくてはならない。まず、Γ⁻₊¹ から考えよう。leading term は、(7.201)の第一項であり、

Γ⁻₊¹ = 1

2CC₃⁻¹+R. (7.205)

この第一項は、¹₂CC₃⁻¹ → −_2µα^C₃ +_4(µα^C3

3)³ +· · · ^{と展開される。}R のleading termはO(µ⁻⁴)で ある。上の表式を(7.205)に代入することでR に対する式

{R, C₃}= 1 2

α1α2

1 +µαkCU_r⁻¹Y Y^TCU₃⁻¹, (7.206) が得られる。ここで、largeµ で、

R →aR

π (µα3)⁴

α1 2 α3

2

C³BB^TC³+· · ·, (7.207) を仮定する。

同様にして、kのsubleading termに対して、

k→ − 1

µα−a_k 1

π(µα₁α₂)² +· · · , (7.208) と仮定する。Y に対してもsubleading term に対して、

Y → 1 µα₃

−1 2C+

1 4 −x

C³

(µα₃)² +· · ·

B, (7.209)

を仮定する。(7.207), (7.208)を(7.206) に代入してleading term を比べることで、

a_Ra_k= 1

64, (7.210)

を得る。

これらの定数aR, aK, x はここまででは未知の定数だが、特にx はP⁻ のstring state の間の matrix element に現れてくるため、重要である。後にΓ⁻₊¹, Y, k 等のexplicit な形を求めるが、

それによって、これらの定数はa_R= ₁₆¹,a_k= ¹₄,x= ₁₆¹ と求まる。