より広い Class の BMN Operator の 2 点関数とその Anomalous Dimension

M_mn² =







−₄₀¹ +_12π¹_2n2 −_128π⁴⁹4n⁴, (n=m= 0),

−_96π¹2n² −_256π³⁵4n⁴, (n=−m= 0),

−_8π2(m¹−n)² +_16π4(m³_−n)4 +_8π4(m−n)¹_2(m+n)2 − _16π4³m²n² −_16π4mn(m³ −n)², (n=m), (6.75)

D²_mn= −¹₄− _32π⁴⁵2n², (n=m orn=−m),

−¹₂− _4π³2n² −_4π2³m² +_8π2(n³_−m)2 + _8π2(n+m)³ ₂, (n=m). (6.76) 対角化するには、

Om^±J =Om^±J+g₂²

n

T_mnOn^±J, (6.77)

とする。ただし、

T_mm =−M_mm

2 , T_m,−m =−M_m,−m

2 , T_mn=−mM_mn

m+n + D_mn

4π²(m²−n²). (6.78) このoperator のanomalous dimension は、

∆^±_m−J−2 =λ

m²+ g²₂ 4π²( 1

12 + 35 32π²m²)

. (6.79)

興味深いことに、SU(2)の異なる既約表現に属するoperator のanomalous dimensionが一致す ることが分かった。次節でもっと広いclassのoperator に関してもこのanomalous dimensionの 一致が起こることを見る。

以上で、O(g₂²) まででdilation operator の固有状態であるO_A が得られた。ただし、後に分か るように基底O_A ^はstring側の状態に対応する基底ではない。これは、string 側の基底はg2 = 0 ではH の固有状態ではないことから明らかであろう。

6.8 より広い Class の BMN Operator の 2 点関数とその Anomalous

6.8.1 SO(4) の既約表現による分解

まず、operator の表示法のnotationを書いておく。single trace operator に対しては、

O^J = 1

√J N^JTrZ^J, (6.80)

O^Ji = 1

√N^J+1Tr[ψ_iZ^J], (6.81)

Oij,m^J = 2^J+2

√J N^J+2



^J

p=0

e^2πipm/JTr[φiZ^pφjZ^J−p]−δijTr[ ¯ZZ^J+1]



, (6.82)

double trace operator に対しては、

T_ij^J,y=:O_i^y·JO⁽¹_j ^−y)·J :, (6.83) T_ij,p^J,y =:O_ij,p^y·JO^(1−y)·J. (6.84) suffixij を持つ場は、SO(4)の4×4に属している。前節でも書いたように、anomalous dimension はSO(4)の既約表現ごとで違う値を受ける可能性があるので、これらのoperator をtraceless対 称表現9,反対称表現6, singlet 1 に分解しておこう。

9表現: O_(ij^J _),m = 1

2(O^J_ij,m+O_ji,m^J )−1 4δij

4 k=1

O_kk,m^J , (6.85)

6表現: O^J_[ij],m= 1

2(Oij,m^J − Oji,m^J ), (6.86)

1表現: O^J₁,m= 1

2 4 k=1

Okk,m^J . (6.87)

ここでは、O^J_ij,m に関してだけ書いたが、他のoperator に対しても同様に分解しておく。元の operator の性質Oij,m=−Oji,m からこれらのoperator に対しては、

O^J_(ij),−m =O^J_(ji),m, O_[ij],^J _−m =−O^J_[ji],m, O₁^J,−m =O^J₁,m, (6.88) が成り立っている。

6.8.2 g₂²λ までの2点関数

前節では、SO(4)の既約表現によってoperator を分類したが、この章では表記の便宜のため¹に 対称traceless と反対称operator に関する2点関数は元のoperator の形で書いておく。つまり、

O_ij,m^J ,T_ij,p^J,y,T_ij^J,y (i=j) の間の2点関数を書いておく。singlet 表現のoperator に関しては再定 義されたoperator の間の2点関数を書いておく。

1実際には、計算の上でも元のoperatorで計算した方が簡単である。

6.8.3 9 表現Operator と6 表現のOperator の2点関数

まず、対称traceless と反対称表現のoperator の2点関数をまとめておく。

O¯ij,m^J ,O^Jij,n=δ_mn

1−λm²ln(Λ²x²) +g²₂

M_mn¹ −λ(mnM_mn¹ + 1

4π²D¹_mn) ln(Λ²x²)

+O(g₂⁴), (6.89) T¯_ij^J,yT_ij^J,z=δ_yz+O(g²₂), (6.90) T¯_ij,p^J,yT_ij,q^J,z=δ_pqδ_yz

1−λp²

y²ln(Λ²x²)

+O(g₂²), (6.91) T¯_ij,p^J,yT_ij^J,z=O(g₂²), (6.92) O¯^J_ij,mT_ij,p^J,y=g₂C_m,py

1−λ(p² y² −mp

y +m²) ln(Λ²x²)

+O(g₂³), (6.93) O¯ij,m^J T_ij^J,y=g₂C_m,y

1−λm²ln(Λ²x²)

+O(g₂³). (6.94) ただし、C_m,py は(6.62) であり、C_m,y は、

Cm,y =δm0 y

√J − 1

√J π²

sin²(πmy)

m² , (6.95)

である。前と同様にこれらのmixing をO(g₂²) までで解くために、operator の再定義をしよう。

まず、O(g2) までの精度でmixingを起こさないように再定義されたoperator O,T ^は、

Oij,m^J =Oij,m^J −

p,y

g₂C_m,py p

p+nyT_ij,p^J,y, (6.96) T_ij,p^J,y =T_ij,p^J,y−

m

g₂C_m,py my

p+myOij,m^J , (6.97)

T_ij^J,y=T_ij^J,y−

m

g₂C_m,yOij,m^J , (6.98) これらのoperator の線形結合をとって、O(g₂²) でmixingを起こさないようにしたsingle trace operator O ^は、

Oij,m^J =Oij,m^J +g₂²

n

TmnOij,n^J , (6.99)

である。ただし、ここでmixing を起こさないといってもm = n のoperator の間ではなく、

|m| =|n|^のoperator の間でmixing を起こさないという意味である。つまり、m=−n の場合 にはまだmixing を起こす。これは前で述べたように、dilation operator の本当の固有operator はO_ij,m^J に対応するものではなく、O^J_(ij),m,O_[ij],m^J に対応するものだからである。このことから、

O_ij,m^{J は、}

O¯_ij,m^J O_ij,n^J =δmn−

δmn

γ_m⁹ +γ_m⁶

2 +δm,−n

γ_m⁹ −γ_m⁶ 2

ln(Λ²x²), (6.100)

となるように取られている。γ_m⁹, γ_m⁶ はそれぞれO_(ij),m^{J 、}O_[ij],m^{J の}anomalous dimension であ る。ここで、

O¯ij,m^J Oij,^J −m= γ_m⁹ −γ_m⁶

2 ln(Λ²x²) =g²₂λ

2n²M_m,−m− 1

4π²D_m,−m

ln(Λ²x²) = 0, (6.101) となる。よって前節で述べたように、γ_m⁹ =γ_m⁶ となり、異なる既約表現に属するoperator の間 でanomalous dimensionが縮退していることが分かる。実は、後で分かるようにγ_m¹ もこれらの 値と一致しており、3つの表現のanomalous dimensionは一致することが分かる。この現象は、

supersymmetryに起因するものである。

anomalous dimensionは前節で求めたとおり、

γ_m⁹ =γ_m⁶ =J + 2 +λ

m²+ g₂² 4π²

1

12 + 35 32π²m²

, (6.102)

となる。

6.8.4 1 表現Operator の2点関数 これらのoperator の2点関数は、

O¯^J_1,mO^J_1,n=(δ_mn+δ_m,−n)

1−λm²ln(Λ²x²)

(6.103) +g₂²

M_mn¹ +M_m,¹ _−n−λmn(M_mn¹ −M_m,¹ _−nln(Λ²x²))

+O(g₂⁴), (6.104) T¯_1,p^J,yT_1,q^J,z=δyz(δpq+δp,−q)

1−λp²

y²ln(Λ²x²)

O(g²₂), (6.105) T¯₁^j,yT₁^J,z=δyzδy,1−z+O(g²₂), (6.106) T¯_1,p^J,yO¯₁^J,mg2Cm,py

1−λp

ymln(Λ²x²)

+g2C₋m,py

1 +λp

ymln(Λ²x²)

+O(g₂³), (6.107) T¯₁^J,yO^J₁,m= 2g2Cm,y+O(g₂³), (6.108) T¯₁^J,yT₁^J,zp =O(g₂²), (6.109) 今までと同様にg2 レベルでmixingを解くと、

O₁^J_,m=O₁^J_,m−

p,y

g2Cm,py

m

p

y +mT₁^J,y_,p, (6.110) T_1,p^J,y=T₁^J,y_,p −

m

g₂C_m,py

p y p

y +mO^J₁,m, (6.111)

T₁^J,y=T₁^J,y. (6.112)

g²₂ order まででmixingが解かれたsingle trace operator は、

O₁^J,m=O₁^J,m+g₂²

n

T_mn O₁^J,n, (6.113)

となる。ただし、

T_mm =−M_mm

2 , T_{m, −m}=−M_{m, −m}

2 , T_mn =−mM_mn

m+n, (6.114) である。このoperator の2点関数は、

O¯₁^J,mO₁^J,n= (δ_mn+δ_m,−n)

1 +λ

m²+ g²₂ 4π²

1

12+ 35 32π²m²

ln(Λ²x²)

. (6.115) ここでのδm,−nは(6.88)O^J_1,m=O₁^J_,−mからくるものである。先にふれたように、O₁のanomalous dimensionは9,6 表現のoperator と一致することが分かる。

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