Prefactor の決定

これから、(E.15)より、

F_(r)= 1 αr

[C_r^1/2C^1/2U_r⁻¹A^(r)TV, (7.219) を得る。ただし、V は任意のベクトルである。このV はこの式を(7.217)に代入することで得ら れる。結局F_(r) は、

F_(r) = 1

√α α αr

C_r^1/2C^1/2U_r⁻¹A^(r)TΓ˜⁻₊¹B (7.220)

=− 1

√α 1 1 +µαk

α

α_rCN¯^r. (7.221)

以上でnon-negative モードのK0+K+ が求まったが、これはµ→ 0 でflat space のX になる ことが簡単に分かる。

次に、negativeモードに移ろう。(7.214)は、

3 r=1

1

α_r[A^(r)C^1/2C_r^1/2F_(r)]_−m= 0, (7.222) 3

r=1

[A^(r)C^1/2C_(r)^−1/2F_(r)]_−m= 0. (7.223) (7.223)を(7.218)と見比べることにより、

F_−m(r)∼U_mrF_m(r) (U_mrはU_rのmm成分) (7.224) と予想できるが、これを(7.222) に代入すると発散してしまう。しかし、このoperator K₋ ^を worldsheet 上の場の形で表わすと、この発散はδ(σ−πα₁)−δ(σ+πα₁) の形によるものである ことが分かる。σ =πα₁ とσ =−πα₁ は相互作用点であり、同一視される点である。従って、こ の発散は打ち消し合い、問題を起こさない。この現象は、flat space の場合に起こっているもの と同様のものである。よって、F_−m(r) は

F_−m(r)=iU_mrF_m(r), (7.225)

である。ここでnormalization factor iは、operator K− をworldsheet の場で表わした際に望ま しい形が得られるようにとられた。

それでは、fermionic なbuilding block Y ^{に移ろう。}Y ^{に課される}kinematical constraint は、

{ 3 r=1

λ_r(σ),Y}={ 3 r=1

e(α_r)θ_r(σ),Y}= 0. (7.226) flatspaceの場合と同様に、negativeモードのoscillatorはprefactorに入ってこない。従って、以 下ではnon-negativeモードだけを考えればよい。Y ^は、

Y= 3 r=1

G_0(r)λ^(r)₀ + 3 r=1

∞ m=1

G_m(r)b^(r)_m^†. (7.227)

ただし、G₀₍₃₎ は₃

r=1λ^(r)₀ |E_b⁰= 0 を用いて、ゼロとした。(7.226)をフーリエ展開して、

3 r=1

1

|αr|[A^(r)CC_r^−1/2P_rG_(r)]_m = 0, (7.228)

−[C^1/2B]_m 2 r,s=1

^rsα_rα_sG_0(r)+ 3 r=1

e(α_r)

|α_r|[C^1/2A^(r)C_r^−1/2P_r⁻¹G_(r)]_m = 0. (7.229)

ゼロ・モードは簡単に解けて、

G₀₍₁₎ =− 2

αα2, G₀₍₂₎ = 2

αα1. (7.230)

positiveモードに関して考えよう。(7.228)から(E.15)を用いて、G_(r)= √^e(αr)

|α_r|P_r⁻¹Cr^−1/2A^(r)TW と書ける。ここで、W は任意のベクトルである。(7.229)に上のゼロ・モードを代入して、

3 r=1

e(αr)

|αr|[A^(r)C_r^−1/2P_r⁻¹G_(r)]m = α

√αBm. (7.231)

W はこの式に代入することにより求まり、

G_m(r) = αe(αr)

α|α_r|[P_r⁻¹C_r^1/2A^(r)TΥ˜⁻¹B]m. (7.232) ここで、

Υ˜ ≡ 3 r=1

A^(r)P_r⁻²A^(r)T, Υ˜⁻¹ = Γ⁻¹−1 2

µα

1 +µαk(Γ⁻¹B)(Γ⁻¹B)^T(1 + Π). (7.233) よって、G_(r) はbosonic mode のF_(r) を用いて、

G_(r)= (1 + 1

2µαk(1−Π))

|αr|P_r⁻¹UrC^−1/2F_(r), (7.234) と書ける。

K, Y のContinuum Basis 表示

以上で、prefactorを構成する要素K,Y が求まった。ここでは、K,Y ^はkinematical constraint を用いて定義され、ocsillator basis で表示されている。これらのK,Y ^をworldsheet 上の場で表

わそう。flat space の場合と同じように、次の量を定義する。

∂X(σ) = 4π

√−α

α (πα₁−σ)^1/2(x₁(σ) +x₁(−σ)), (7.235) P(σ) =−2π√

−σ(πα1−σ)^1/2(p1(σ) +p1(−σ)). (7.236)

ここで、lim_σ→πα1P(σ)|V ^{を考える。}p(σ) をocsillator 表示して計算すると、

P|V ≡ lim

σ→πα₁P(σ)|V

=−2√

−α α₁√

α lim

→0σ^1/2 3 r=1

∞ m=0

∞ n=0

(−1)ⁿ

ω_n(1)cos(n/α₁) ¯N_nm^1r

!

a^(r)_m ^†|V. (7.237) 実際にをゼロにもっていくと、大括弧の中はlarge nの項の和が発散するようになる。その発散 と^1/2 が打ち消しあい、有限の結果を与えるわけである。そこで、N¯_nm^1r をlarge nで近似して、

N¯_n0^1r∼ −

2µα_r^rsα_sN¯_n¹, N¯_nm^1r ∼ −α αr

1

1 +µαk(n^−1/2C^1/2N¯¹)_n(CN¯^r)_m m >0. (7.238) これを(7.237)で使うと、

P|V=f(µ)(K0+K+)|V, f(µ) =−2

√−α α₁ lim

→0^1/2 ∞ n=1

(−1)ⁿ√

ncos(n/α1) ¯N_n¹. (7.239) これから、P とK0+K+ はnormalization f(µ)以外は一致している。よって、continuum basis での表示が得られた。µ= 0 ではf(0) = 1であり、continuum basis とoscillator basisの表示は normalization を含めて一致する。これは、flat space の場合に見た通りである。

同様にして、negative モードに対しても 1

4π∂X|V ≡ lim

σ→πα₁

1

4π∂X(σ)|V

= 2i√

−α α₁√

α lim

→0^1/2 3 r=1

∞ m=1

∞ n=1

(−1)ⁿ n

√ω_n(1) cos(n/α1) ¯N₋^rs_n,−m

!

a^(r)_−m^†|V. (7.240) ここで、largenでのNeumann係数のpositiveモードとnegativeモードの間の関係式N¯₋^1r_n,−m∼

−N¯_nm^1r U_mr を用いると、

∂X|V=f(µ)K₋|V. (7.241)

ここで、P とK0 +K+ の関係と共通のnormalization factor f(µ) が出てくるように、K₋ の normalization factori は決めたのであった。

fermionicモードの場合も、

Y(σ) =−2π −2σ

α (πα1−σ)^1/2(λ1(σ) +λ1(−σ)), (7.242) を定義して、

Y|V ≡ lim

σ→πα₁Y(σ)|V

=− 2

α

−2α α₁ lim

→0^1/2 ∞ n=1

(−1)ⁿcos(n/α₁) √

2ΛQ¹_n+ 3 r=1

∞ m=1

Q^1r_nmb^(r)_m^†

!

|V. (7.243)

large nでのfermionic なNeumann係数の振舞いは、

Q¹_n∼ 1

√α₁ 1

1 +µαk(1 +1

2µαk(1 + Π))[n^−1/2CN¯¹]n, (7.244) Q^1r_nm∼ α

α₁ 1

1 +µαk(1 + 1

2µαk(1 + Π))[n^−1/2CN¯¹]nG_m(r). (7.245) よって、

Y|V=f(µ) 1

1 +µαk(1 + 1

2µαk(1 + Π))Y|V, (7.246) が分かる。bosonic係数の場合と同じnormalizationf(µ)以外に、µ依存のspinorに働くmatrix がnormalization に入ってくる。これらのfactor はµ → 0 で1 となる。つまり、µ = 0 では Y|V = Y|V ^となり、flat space の場合の結果と一致する。bosonic 係数とfermionic 係数に 共通のnormalization factor f(µ) は、後で述べるinteraction term のoverall normalization 等 に簡単に吸収できるため重要でない。しかし、bosonic 係数とfermionic 係数の間のrelative な normalization の違い_1+µαk¹ (1 +¹₂µαk(1 + Π)) は重要である。

Dynamical Constraint によるPrefactor の決定

dynmical constraintを課すことによって、prefactor を求める。ここで、superchargeQ⁻, ¯Q⁻

の線形結合 √

2ηQ≡Q⁻+iQ¯⁻, √

2¯ηQ˜ ≡Q⁻−iQ¯⁻ (7.247) を定義しておく。ただし、η=e^iπ/4 である。このsuperchargeでdynamical generator同士の代 数の交換関係を書くと、

{Qa˙,Q˜b˙}= 0, {Qa˙, Qb˙}={Q˜a˙,Q˜b˙}= 2δ_a˙b˙H+iµ

(γijΠ)_a˙b˙J^ij+ (γijΠ)_a˙b˙J^ij

. (7.248) ここで、kinematical generator J^ij, J^ij はinteraction term によるcorrection を受けないの でO(κ) の項には入ってこない。従って、interaction term が従う交換関係、つまりdynamical constraint はflat space の場合と同じものになる。これを書き下すと、

3 r=1

Q^(r)_{2 ˙a}|Q_3˙b+ 3 r=1

Q^(r)_2˙

b|Q3 ˙a= 2|H3δ_a˙˙b, (7.249) 3

r=1

Q˜^(r)_{2 ˙a}|Q˜_3˙b+ 3 r=1

Q˜^(r)_2˙

b|Q˜3 ˙a= 2|H3δ_a˙˙b, (7.250) 3

r=1

Q^(r)_{2 ˙a}|Q˜_3˙b+ 3 r=1

Q˜^(r)

2˙b|Q_{3 ˙a}= 0. (7.251) 以下の計算では、Q2 とK,Y ^{の交換関係や}Q2 の|V^{への作用を}K,Y の言葉で書き直す関係式 が有用であるので書き下しておこう。

√2η α

3 r=1

[Q_(r),K˜]|V= 2¯η

√α 3 r=1

[ ˜Q^(r),K]|V=µγ(1 + Π)Y|V, (7.252)

√2η α

3 r=1

{Q^(r),Y}K˜^I|V=iγ^J(1 + 1

2µαk(1−Π))K^JK˜^I|V −iµα

αγ^I(1−Π)|V, (7.253) 2¯η

√α 3 r=1

{Q˜^(r),Y}K^I|V=−iγ^J(1 +1

2µαk(1−Π)) ˜K^JK^I|V+iµα

αγ^I(1−Π)|V. (7.254)

√2η α

3 r=1

Q^(r)|V=−α

αKγ(1 +¹₂µαk(1 + Π))Y|V, (7.255) 2¯η

√α 3 r=1

Q˜^(r)|V=−α

αK˜γ(1 +¹₂µαk(1 + Π))Y|V, (7.256) さて、prefactor の形としてflat space からの類推で次の仮定をする。

|H₃=

(1 +µαk) ˜K^IK^J−µα αδ^IJ

v_IJ(Y)|V, (7.257)

|Q3 ˙a= (1 +µαk)^1/2K˜^Is^I_a˙(Y)|V, (7.258)

|Q˜_{3 ˙a}= (1 +µαk)^1/2K^Is˜^I_a˙(Y)|V, (7.259) ただし、(7.243)のY からfactorf(µ) を取り除いたものを改めてY と再定義した。

Y ≡ 1

1 +µαk(1 +1

2µαk(1 + Π))Y. (7.260)

また、

K ≡ K˜ 0+K+− K−, (7.261) である。(7.249), (7.250) にこれらの仮定を代入して、(7.252), (7.253), (7.254), (7.255)を用いて 計算すると、v^IJ,s^I_a˙, ˜s^I_da に対して、

δ_a˙b˙v^IJ =iα^3/2

2α γ_{a( ˙}^J_aD^as^I_b)˙ , δ_a˙b˙v^IJ =−iα^3/2

2α γ_{a( ˙}^I_aD¯^a˜s^J_b)˙ . (7.262)

−δ_a˙b˙v^IJ =iα^3/2 2α γ_a(α^I

D^a+i[Π ¯D]^a

s^I_b)˙ , −δ_a˙b˙v^IJ =−iα^3/2

2α γ_{a( ˙}^I_aD¯^a−i[ΠD]^a

˜

s^I_b)˙ , (7.263) という式を得る。D^a, ¯D^a はflat spaceのときと同様、D^a≡ηY^a+ ¯η_α^α_∂Y^∂

a, ¯D^a≡ηY¯ ^a+η_α^α_∂Y^∂

a

である。(7.262)はK˜^IK^{J に比例する項から}(7.263)はµδ^IJ に比例する項から得られる。(7.262) はflat space のときの式と同じである。従って、(7.262) の解はflat space と同じであり、

v^IJ =w^IJ +y^IJ, s^I_da=−2 α

√i

2(ηs^I_{1 ˙a}+ ¯ηs^I_{2 ˙a}), ˜s^I_a˙ = 2 α

√i

2(¯ηs^I_{1 ˙a}+ηs^I_{2 ˙a}). (7.264) これらの解は、pp-wave に特有の式(7.263) も満たしている。

最後に、この解が(7.251) を満たすことを確かめることは、(7.257), (7.258), (7.259) の仮定の 正当性を確かめるためにも重要だが、これは実際に満たされている。(7.251)からもflat spaceの 場合と同様の式とpp-waveのみに表われる式が出てくる。

以上でprefactor が求まった。よって、dynamical generatorのO(κ) のinteraction term が求 まった。しかし、ここで気を付けなくてはならないのは、ここまでではこのinteraction termの

overall normalization は求まっていないということである。また、摂動展開係数κ についてもふ

れていなかった。normalization factor はg_s,µ,α,α_r の関数であり、κ はg_s,µ,α の関数であ る。従って、これらのfactor をまとめてκ と書くことにする。これを決定するのは、flat space の場合よりも厄介である。なぜならば、pp-wave にはJ^−I のgenerator がないからである。この normalization factorは、supergravityでの計算結果とsmallµ 領域で比較するか、CFT の計算

結果とlarge µ領域で比較するかして漸近的な振舞いを決定できる。

ドキュメント内 master.dvi (ページ 83-89)