X p,q の構成

p, qを異なる奇素数とする．定義2.4.12の前でノルムpのp 1個の整四元数の集合 Sp tα1, α1, , αs, αs, β1, , βtu

（α_iはa^p₀^iq¡0，β_jはb^p₀^jq0，2s tp 1をみたす）を定義した．

法qで考える：

τq :HpZq ÑHpFqq.

命題2.3.3よりある整数x, yが存在し，x² y² 10 pmodqqとなる．そのような整数を選ぶことで命 題2.3.2の前のように同型写像ψq :HpFqq ÑM2pFqqを

ψ_qpa₀ a₁i a₂j a₃kq

a0 a1x a3y a1y a2 a3x a₁ya₂ a₃x a₀a₁xa₃y

により定義すると，次の2つの性質を持つ（補題2.3.4より）： paqαPHpFqqに対し，Npαq detψ_qpαq;

pbqαPHpFqqが実四元数（αα）のとき，ψ_qpαqはスカラー行列となる.

αPSpに対し，Npαq pqよりψqpτqpαqqがM2pFqqの可逆群GL2pqqに属することがわかり，また ψ_qpτ_qpααqq ψ_qpτ_qpααqqはGL₂pqqの0でないスカラー行列である．さらに準同型写像

φ : GL2pqq ÑPGL2pqq

の核はちょうどスカラー行列の部分群を構成する（2.5節より）．このとき S_p,q pφ ψ_q τ_qqpS_pq

とする．上記のことはS_p,qがPGL₂pqqの対称な部分集合であること，すなわちS_p,q¹S_p,qを示している．

補題3.2.1. qをpに対して十分大きな数（例えばq¡2?p）とするとき，|S_p,q|p 1となる．

証明. αa₀ a₁i a₂j a₃k, βb₀ b₁i b₂j b₃kをS_pの2つの異なる元とする．すなわち，あ るi P t0,1,2,3uに対しai biとする．Npαq Npβq pよりすべてのj P t0,1,2,3uに対し，a_j, bj P p?p,?pqとなる．q¡2?pとすると，aibi pmodqq，すなわちτqpαq τqpβqとなる．A pψqτqqpαq かつB pψqτqqpβqとするとGL2pqqでABとなる．ここでPGL2pqqでφAφBと仮定する．この ときλPFq が存在してλ1かつAλBとなる．行列式をとるとpdetAλ²detB λ²pとなり λ²1，すなわちλ 1となる．A Bからα β pmodqq，すなわちすべてのj P t0,1,2,3uに対 しaj bj pmodqqとなる．q¡2?pからaj bj となり，これはα βを意味する．S_pの定義よ りa₀, b₀©0よりa₀b₀0となりβαである．しかしこれは2.4節での説明の中のαPS_pがa₀0 のときαRSpというものに矛盾する．よってφAφBである．以上からαβのときφAφB，すな わちφψqτqが単射であることが示された．よって|Sp,q|p 1である．

補題3.2.1の範囲2?pは定理3.2.2でのラマヌジャンの範囲の2?pと何の関係もなく，この一致はただ の偶然である．

pが法qで平方のとき，

p q

1となり，このときSp,q €PSL2pqqである（命題2.5.3より）．X^p,qを Sp,qによるPSL2pqqのケーリーグラフと定義する：

X^p,q GpPSL2pqq, Sp,qq.

x¹ PgPSL₂pqq pg PPGL₂pqq, g RPSL₂pqqqはすべてのsPS_p,q によりx¹sPgPSL₂pqqとなるので，X^p,q と同様にX^1p,qGpgPSL2pqq, Sp,qqを定義すると，これはX^p,qと同型である．

pが法qで平方でないとき，

p q

1となり，このときS_p,q €PGL₂pqq, S_p,q∩PSL₂pqq ∅である．

X^p,qをSp,qによるPGL2pqqのケーリーグラフと定義する：

X^p,q GpPGL₂pqq, S_p,qq.

次の定理によりX^p,qがラマヌジャングラフであり，girthと2彩色可能かどうかがわかる．

定理3.2.2. p，qを異なる奇素数でq¡2?pとする．X^p,qは連結でラマヌジャンなpp 1q-正則グラフで ある．さらに

paq p

q

1のときX^p,qは qpq²1q

2 頂点を持つ2彩色可能でないグラフでgirthは gpX^p,qq ©2 log_pq

をみたしている.

pbq p

q

1のときX^p,qはqpq²1q頂点を持つ2彩色可能なグラフでgirthは gpX^p,qq ©4 log_pqlog_p4

をみたしている.

注意3.2.3.

paqX^p,qの連結性の問題はとても重要なものの1つであり3.3節で示す．命題3.1.2(c)よりSp,q

がPSL2pqqを生成するか，PGL₂pqqを生成するかは p

q

1であるかと p

q

1であ るかと同値である．これは3.3節でq¡p⁸という仮定より少し強い条件で証明する．

pbq定理3.2.2はなかなか示すことができない．特に，X^p,qに対するラマヌジャン性質は簡単

には証明できず，この性質はモジュラー形式のラマヌジャン予想から導く．しかしながら固 定されたpに対する族pX^p,qqq:素数がfamily of expandersであることと，固有値のgapの 下限を3.4節で初等的な方法で証明する．

pcq定理3.2.2の一部の証明は簡単である．命題3.1.2(a)と補題3.2.1からpp 1q-正則である ことがわかる．X^p,qの頂点の個数は2.5.1(b)と(c)により与えられる．

p q

1のとき 命題3.1.2(d)と群準同型写像PGL₂pqq{PSL₂pqq t1uからX^p,qが2彩色可能であるこ とがわかる．

命題3.2.4. Z^p,qを次のように構成する．頂点集合を射影直線P¹pFqq Fq∪8とし，隣接行列A pAxyqを A_xy| tsPS_p,q : spxq yu | px, yPP¹pFqqq

で決まるものとする．定理3.2.2が示せたならば，Z^p,qはpp 1q-正則で連結なラマヌジャングラフである．

証明. pp 1q-正則であることは定義より明らかである．

p q

1とするとPSL2pqqがP¹pFqqに作用している．すなわち，zPP¹pFqqに対しzÞÑ az b cz dであ る．B₀

#

a 0

0 a¹

:aPFq, bPFq

+

とすると，P¹pFqq PSL2pqq{B0となる．これから定理3.2.2よ りX^p,qは連結であることからZ^p,qも連結である．

X^p,qの隣接行列は命題3.1.3より，A ¸

sPS_p,q

λ_PSL2pqqpsqであり，仮定よりX^p,qの自明でない固有値は ラマヌジャンの範囲r2?p,2?psに入っている．

π:X^p,q ÑZ^p,qとし，f Pl²pZ^p,qqとすると，fπpxq Pl²pX^p,qqとなり，fπpxq fπpxbq pbPB₀q となる．逆に，g P l²pX^p,qqに対し，すべてのx P X^p,q, b P B0 がgpxq gpxbqとなるならば，ある f Pl²pZ^p,qqによりgf πとなる．W₁ tgPl²pX^p,qq:gpxq gpxbq, xPX^p,q, bPB0u l²pZ^p,qqと すると，W₁€l²pX^p,qqとなる．sPS_p,qに対し，gpxq PW₁ならばgpsxq PW₁である．W₁はA-不変な

のでZ^p,qの固有値はX^p,qの固有値の一部となる．すなわち，Z^p,qの自明でない固有値はラマヌジャンの 範囲r2?

p,2?

psに入る．

p q

1のときも同様である．よってZ^p,qはラマヌジャングラフである．