9 1  ( WkP = 1，

Fig̲3̲2Ll 

J

・

^h

第4章 操 作 エ ネ ル ギ 一 最 小 化 軌 道

4.1  緒 論

本 章 で は ， マ ニ ヒυユ レ ー タ の 手 先 位 置 の 制 御 に お け る 軌 道 設 定 法 に つ い て 検 討 す る 。評 価 基 準 に は マ ニ ピ ュ レ ー タ の 作 業 環 境 を 考 慮 、 し 操 作 エ ネ ル ギ ー 最 小 化 を 導 入 す る 。本 論 文 で は ， 操 作 エ ネ ル ギ ー 最小化 軌 道 を も と め る 問 題 を 動 的 最 適 化 問 題 と し て 定 式 化 し ， 境 界 条 件 と し て 軌 道 の 始 点 座 標 と 終 点 座 標 お よ び 始 点 か ら 終 点 ま で の 所 要 時 間 が あ ら か じ め 与 え ら れ て い る2点 境 界 値 問 題 と し て 扱 う口つ ま り ， 操 作 エ ネ ル ギ ー を 最 小 化 す る よ う に ， あ る 時 間 で2点 問 を 移 動 す る 軌 道 と 制 御 入 力 を 求 め る 。次 に 実 際 に 動 的 最 適 化 問 題 を 数 値 的 に 解 き ， 操 作 エ ネ ル ギ ー最小化 軌 道 の 特 徴 や エネ ル ギー消 費 量 の 削 減 効 果 に つ い て 検 討 する 口

92 

~

4.2  動 的 最 適 化 問 題 の 定 式 化

4.2.1  一 般 的 な 動 的 最 適 化 問 題 の 定 式 化

般 的 な 動 的 最 適 化 問 題 は 次 式 の よ う に 状 態 変 数 x(t)お よ び 制 御 入 力 u(t)か ら な る 評 価 関 数 Jを 最 小 化 す る 問 題 と し て 定 式 化 さ れ る 口

J 

LffM)  ^{( 4 . 1 )}  

終 端 時 間 は り で 固 定 さ れ て お り シ ス テ ム の 状 態 方 程 式 お よ び 状 態 変 数 の 境 界 条 件 は 始 点 ・終 点 で 次 の よ う に 与 え ら れ て い る と す る 。

x 

^= <p

^{( x} ，  u ，  t )  

♂ (  

to) 

= 

xo

， 

x ( t 

f )   = 

x 

f 

( 4.2)  (4.3) 

た だ し ， 関 数

f

は ス カ ラ ー で あ り ， 関 数ψはn次元ベクト/レ，x(t)お よ びu(t)は そ れ ぞ れn次 元 ベ ク ト ル，1n次 元 ベ ク ト ル で あ る 。

こ れ に 変 分 法 を 適 用 す る こ と に よ り ， 拘 束 条 件(4.2)式 と 境 界 条 件(4.3)式 を 満 た し て 評 価 関 数 を 最 小 化 す る た め の 条 件 式 が 得 ら れ る

[ 1 4 ] 0

包 二 <p

入

=

‑J‑Ix 

Hu = 0 

H= f+

入T<p

( 4.4) 

(4.5 ) 

( 4 . 6 )  

( 4.7) 

た だ し

，

!iはHamiltonianと 呼 ば れ

，

Hx

， 

Huは そ れ ぞ れ ベ ク ト ル x

，

uに 関 す る H の 偏 微 分 を 表 わ す口また， 入(t)はLagrange未 定 乗 数 で あ る 。

(  4 . 6 )

式 を u に つ い て 解 く こ と に よ り 評 価 関 数

( 4 . 1 )

式 を 最 小 化 す る 制 御 入 力 が 得 ら れ る 。そ し て uに 関 す る 式 を (4.4)式と (4.5)式 に 代 入 す る と

ι

入に 関 す る 217，

個 の 微 分 万 程 式 と な り ， 広入に 関 す る 2点 境 界 値 問 題 と し て 定 式 化 さ れ る 。以 上 の 微 分 方 程 式 を 境 界 条 件(4.3)式 の も と で 解 く こ と に よ り 2点 境 界 値 問 題 の 解 が 得 ら れ る 。

93 

‑

‑  

4.2.2  操 作 エ ネ ル ギ 一 最 小 化 軌 道 の 定 式 化

前 節 の 結 果 を マ ニ ピ ュ レ ー タ の 手 先 位 置 制 御 に 適 用 す る D マ ニ ピ ュ レ ー タ の 手 先 位 置 を 制 御 す る た め に 必 要 な 操 作 エ ネ ル ギ ー は 関 節 駆 動 ト ル ク の 2乗 時 間 積 分 値 に 相 当 す る と 考 え ら れ る の で ， 評 価 関 数 を 次 式 の よ う に 定 義 す る 。

︐ナju︐

α 

u T U 

‑ 一 つ 山

FJ  

f l

刈

7d

  ( 4.8) 

こ の と き ， 状 態 変 数zお よ び 制 御 入 力 uを，

x( 

t )   ‑ [ D 1   D 2 D 1 

u( t) = 

l 

T1 乃

] T

︑

_E

Et

‑/ lJ

T 

円4・

AU

(4.9) 

と し ， 終 端 時 間 は り で 固 定 さ れ て い る も の と す る と き 境 界 条 件 は 以 下 の よ う に なる 。

D . i ( t o )  

= 

D   ， O i D i ( t J )  ‑ D ' i J ，  D ' i ( t O )  ‑ D i ( t f )  ‑ 0 ， 

i 

1

】

2

^(4.10) 

L1.2.1節 の 結 果 を 適 用 す る と ， 操 作 エ ネ ル ギ ー を 最 小 化 す る た め に 必 要 な 条 件 エ は 次 の よ う に な る。

x二 cp (4.11) 

入 入 T T  

¥1 11 1I ノ¥

1I ll

伊一 /‑

2 V

一u

o

一

0 0

一

O

/

f1 11 1¥

/f

li t‑

¥ 

一 一 一 一 一 一

・ 入

u

(4.12) 

(4.13) 

本 研 究 で は ， 広 義 ニ ュ ー ト ン 法 [12]を 使 用 し て (4.10)，(4.11)，(4.12)，(4.13)の4式 か ら なる2点 境 界 値 問 題 を 数 値 的 に 解 く。(付録2)

94 

4.3  操 作 エ ネ ル ギ ー 最 小 化 軌 道

4.3.1  操 作 エ ネ ル ギ ー 最 小 化 軌 道 の 効 果

シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 行 い ， 操 作 エ ネ ル ギ ー 最 小 化 軌 道 の 効 果 に つ い て 検 討 し た口マ ニ ピ ュ レ ー タ の 運 動 万 程 式 は(2.1)式 を 使 用 し ， (2.3)式 の 流 体 力 を 考 慮 、 す る。 簡 単 の た め 浮 力 と 重 力 は 釣 り 合 っ て い る も の と す る 。

[1]  手 先 の 加 速 度 変 化 最 小 化 軌 道

操 作 エ ネ ル ギ ー 最 小 化 軌 道 の 比 較 対 象 と し て Flash，Hogan[13]に よ り 提 案 さ れ て い る 手 先 の 躍 度(Jerk)を 最 小 化 す る 軌 道 を 選 定 し た口こ れ は 手 先 の 加 速 度 の 変 化 率 を 最 小 化 す る 軌 道 設 定 方 法 で ヒ 卜 上 肢 の 運 動 と 良 く 一致 し ， な め ら か な 動 作 を 実 現 す る こ と が 知 ら れ て い る 。評 価 関 数 お よ び 手 先 の 軌 道 は 次 式 の よ う に 与 え ら れ る

4L ︐α 

︑

₁

11 3t ii j

円4

¥1 El i‑

‑/   匂こ

3︑4J

一 ・

+ ' υ

j d

一d

/I Il l‑

‑¥  

十

円L

¥1 11 11 1/  

Z一3

司 J

‑ 4 L

d

一d

/I 11 11 1¥  

/llJ

︑

111

FFJ 

f

一一 1一

2

ル

l

* 7

U  (4.14) 

x (t) ‑Xo 

+ 

(xo ‑X j) (15 t^/4 ‑6 t^l5 ‑ 10 t¹³) 

l 

y(t) ‑Yo 

+ 

(yo ‑Yj)(15t^/4 ‑6t^l5 ‑ 10t¹³) J 

(4.15 )  t^l ‑ t/ t j

， 

。三t三tJ

[2]  操 作 エ ネ ル ギ ー 最 小 化 軌 道 の 特 徴

手 先 位 置 の 始 点 を (Xo

，

yo)

= 

(1， ‑0.5)と し 終 点 を いj

，

Yj)‑(1，0)と し た 場 合 に ， そ れ ぞ れ の 評 価 基 準 を 満 た す 軌 道 と 操 作 入 力 を 計 算 し ， 手 先 の 軌 道 お よ び 関 節 角 度，関 節 角 速 度 ， 関 節 駆 動 ト ル ク に つ い て 比 較 検 討 を 行 っ た 。 実 際 の 海 洋 ロ ボ ッ ト 用 マ ニ ピ ュ レ ー タ の 先 端 最 大 速 度 が 30[cm/sec]で あ る の で ， 運 動 の 始 点 か

ら 終 点 ま で の 所 要 時 間 は マ ニ ピ ュ レ ー タ の 先 端 速 度 が 30[cm/sec]を 越 え な い よ うに

t

J = 5 (sec)と す る 。

マ ニ ピ ュ レ ー タ の 手 先 の 軌 道 を Fig.4.1(a) (b)に ， 関 節 角 度 や 関 節 角 速 度 ， 操 作 入 力 の 時 刻 歴 を 操 作 エ ネ ル ギ ー 最 小 化 軌 道 と 加 速 度 変 化 最小軌 道 の そ れ ぞ れ

に つ い て Fig.4.2，Fig.4.3に 示 す。

軌 道 を 比 較 す る と ， 加 速 度 変 化 最 小 化 軌 道 が 運 動 の 始 点 と 終 点 を 結 ぶ 直 線 と な る の に 対 し て ー操 作 エ ネ ル ギ ー 最 小 化 軌 道 で は 第2関 節 を 大 き く 操 作 し て 腕 を 縮 め る よ う な 動 作 を し て 第1関 節 ま わ り の 慣 性 モ ー メ ン ト を 減 少 さ せ ， 第1関

9 5  

節 の 駆 動 力 を 抑 え て 消 費 エ ネ ル ギ ー を 削 減 し て い る こ と が 分 か る 。人 が 水 中 で 腕 を 動 か す と き に 腕 を 縮 め る と 楽 に 動 か す こ と が で き る こ と を 経 験 的 に 知 っ て い る こ と と 一致 し て お り ， 操 作 エ ネ ノ レ ギ ー 最 小 化 軌 道 は こ れ を 模 擬 し て い る も の と 考 え ら れ る 。ま た 操 作 エ ネ ル ギ ー 最 小 化 軌 道 で は ， 運 動 の 開 始 時 と 終 了 時 に 急 激 に 駆 動 力 を か け る と い う 特 徴 が あ る 。

[3]  操 作 エ ネ ル ギ ー 最 小 化 軌 道 の エ ネ ル ギ ー 削 減 効 果

前 述 の 方 法 に よ っ て 得 ら れ た 操 作 エ ネ ル ギ ー 最 小 化 軌 道 の エ ネ ル ギ ー 削 減 効 果 は 次 の 通 り で あ る 。マ ニ ピ ュ レ ー タ の 動 作 を

( A )

上 下 万 向 と

( B )

水平方 向 に 伸 縮 さ せ る2種類に分け， Ta.ble4.1に示す 合 計5種 類 の ケ ー ス に 対 し て ， 操 作 エ ネ ル ギ ー 最 小 化 軌 道 と 加 速 度 変 化 最 小 化 軌 道 の エ ネ ル ギ ー 消 費量を 比 較 す る 。エ ネ ル ギ ー 消 費 量 は(4.8)式 に よ り 計 算 し ， 所 要 時 間 は り =5 (sec)と 設 定 す る 。そ れ ぞ れ の 軌 道 設 定 法 に よ る 手 先 の 軌 道 と エ ネ ル ギ ー 消 費 量 を 動 作 方 向(A)，(B)に つ い て そ れ ぞ れ Fig.4，.4 Fig.4.5に 示 す。マ ニ ピ ュ レ ー タ を 上 下 方 向 に 運 動 さ せ る 場 合 (A)に は 始 点 や 終 点 の 座 標 が 原 点 に 近 付 く ほ ど 両 軌 道 設 定 法 と も に エ ネ ル ギ ー 消 費 量 が 増 加 す る 。こ れ は 軌 道 の 始 点 ・終 点 が 原 点 に 近 づ く ほ ど 関 節 角 度 の 変 化 が 大 き く な る た め で ， そ れ に つ れ て 操 作 エ ネ ル ギ ー 最 小 化 軌 道 の エ ネ ノ レ ギ ー 削 減 効 果 が 上 が り ， A‑lに お い て は 加 速 度 変 化 最 小 化 軌 道 に 対 し て 約40パ ー セ ン ト の 削 減 効 果 が あ る 。マ ニ ピ ュ レ ー タ を 水 平 方 向 に 運 動 さ せ る 場 合

( B )

には，

( A )  

と は 逆 に 軌 道 の 始 点・終 点 が 原 点 か ら 遠 ざ か る 程 に エ ネ ル ギ ー 消 費 量 は 増 加 す るが， (A)の 場 合 と 同 様 に30パ ー セ ン ト か ら40パ ー セ ン ト の エ ネ ル ギ ー 消 費 削 減 効 果 が 認 め ら れ る 。

4.3.2  終 端 時 間 に よ る 影 響

4.3.1節 で は 終 端 時 間 を5秒 に 固 定 し て い た が ， 実 際 に マ ニ ピ ュ レ ー タ を 使 用 す る 場 合 に は 制 御 目 的 や 作 業 目 的 に 応 じ て 終 端 時 間 を 短 か く し た り 長 く し た り す る こ と が 考 え ら れ る 。そ こ で 終 端 時 間 を 短 か く す る こ と に よ り 操 作 エ ネ ル ギ ー 最 小 化 軌 道 に ど の よ う な 影 響 を 及 ぼ す か に つ い て 検 討 す る。

マ ニ ピ ュ レ ー タ の 先 端 速 度 が 実 際 の 海 洋 ロ ボ ッ ト の 最 大 値 と ほ ぼ 同 じ と な る よ う に ， 所 要 時 間 は り二2(sec)と す る 。マ ニ ピ ュ レ ー タ の 手 先 の 軌 道 を Flg.4.6(a) (b)  に

，

t f 

= 

2 (sec)の 場 合 の 関 節 角 度 や 関 節 角 速 度 ， 操 作 入 力 の 時 刻 歴 を FigA.7に 示 す。

0.5秒 毎 の マ ニ ピ ュ レ ー タ の 姿 勢 は 動 作 が 速 く な っ た 分 だ け り =2 (sec)が 間 隔 が 粗 く な っ て い る も の の 手 先 の 軌 道 は 全 く 同 じ と な っ て い る 。ま た ， 関 節 角 度 や 関

9 6  

節 角 速 度 ， 操 作 入 力 の 時 刻 歴 を Fig.4.2とFig.4.7と で 比 較 す る と 各 グ ラ フ に お い て 曲 線 形 状 は 全 く 同 様 と な っ て い る 。従 っ て ， マ ニ ピ ュ レ ー タ の ア ー ム に 作 用 す る 重 力 と 浮 力 が 釣 り 合 っ て い る 場 合 に は ， 終 端 時 間 に よ る 軌 道 へ の 影 響 は な い こ と が 分 か る。

4.3.3  重 力 と 浮 力 の 不 釣 合 い に よ る 影 響

前 節 ま で は マ ニ ピ ュ レ ー タ の 浮 力 と 重 力 が 完 全 に 釣 り 合 っ て い る も の と し た が ， 実 際 に は そ の よ う な こ と は 稀 で 多 少 の 不 釣 合 い が 生 じ て い る 。 ま た ， マ ニ ヒoユ レ ー タ に ベ イ ロ ー ド が 加 わ っ て い る 場 合 に も 同 保 の こ と が 考 え ら れ る。そ こ で 何 ら か の 理 由 で 浮 力 と 重 力 が 完 全 に は 釣 り 合 っ て い な い 場 合 に つ い て 検 討 す る口

最 初 に 重 力 と 浮 力 が 何 ら か の 理 由 で 不 釣 合 い を 生 じ て い る 場 合 に つ い て 検 討 す る 。不 釣 合 い の 割 合 は ， 浮 力 の 影 響 を1と す る と き に 重 力 が 10%浮 力 の 影 響 に 対 し て 大 き い も の と す る。ま た ， 終 端 時 間 の 影 響 を 調 べ る た め に 終 端 時 間 tf を1秒 か ら3.8秒 ま で 変 化 さ せ る こ と に す る。手 先 を 垂 直 方 向 に 動 か し た 場 合 と 水 平 方 向 に 動 か し た 場 合 の 手 先 の 軌 道 と エ ネ / レ ギ ー 消 費 量 を そ れ ぞ れ Fig. Fig.4.9に 示 す。

Fig.4.8に み ら れ る よ う に 終 端 時 間 り が 長 く な る に つ れ て マ ニ ピ ュ レ ー タ は 腕 を 縮 め る 傾 向 が 強 く な り 軌 道 は 原 点 に 近 づ く 。 一方 ， 前 述 し た 重 力 と 浮 力 が 釣 り 合 っ て い る 場 合 の 軌 道 はFig.4.8に 点 線 で 示 す よ う に り が1秒 の 場 合 の 不 釣 合 い の 軌 道 に 近 い 軌 道 と な っ て い る 。

ま た ， 操 作 エ ネ ル ギ ー 消 費 量 はFigA.9に 示 す よ う に ， 重 力 と 浮 力 が 釣 り 合 っ て い る 場 合 に は り が 長 く な る に つ れ て エ ネ ノ レ ギ ー 消 費 量 は 減 少 す る が ， 不 釣 合 い が 生 じ て い る 場 合 に は エ ネ ル ギ ー 消 費 量 を 最 小 に す る り が 存 在 し ， こ れ よ り 長 時 間 で も 短 時 間 で も エ ネ ル ギー 消 費 量 は 増 加 す る こ と が 分 か る 。 一 方 ， 重 力 と 浮 力 に 不 釣 合 い が 生 じ て い る 場 合 に 操 作 エ ネ ル ギ ー 最 小 化 軌 道 と 加 速 度 変 化 最 小 化 軌 道 の エ ネ ル ギ ー 消 費 量 を 比 較 し た も の を Fig.4.10に 示 す。 重 力 と 浮 力 に 不 釣 合 い が 生 じ て い る 場 合 に も 操 作 エ ネ ノ レ ギ ー 最 小 化 軌 道 に よ る エ ネ ル ギ ー 消 費 量 の 削 減 効 果 が 現 れ て い る 。

4.3.4  ペ イ ロ ー ド の 影 響

次 に マ ニ ヒ。ユ レ ー タ 先 端 に ペ イ ロ ー ド が 加 わ っ て い る 場 合 に つ い て 検 討 す る 。 こ の と き マ ニ ピ ュ レ ー タ の 腕 自 体 の 重 力 と 浮 力 は 釣 り 合 っ て い る も の と し ， マ

97 

ニ ピ ュ レ ー タ の 先 端 に 1nLの 質 点 を 把 持 す る 。終 端 時 間 tfを5秒 に 固 定 し て ベイ ロ ー ド 重 量 を

O k g

か ら

1 0 k g

ま で 変 化 さ せ た 場 合 の 軌 道 を

F i g . 4 . 1 1 ， F i g

.4

. 1 2

に 示 す。

エ ネ ル ギ ー 最 小 化 軌 道 は 前 節 の 重 力 と 浮 力 が 不 釣 合 い が 増 加 す る と き と 同 様 に ベ イ ロ ー ド の 増 加 に 連 れ て 手 先 が 原 点 に 近 づ く 傾 向 が 強 く な る 。こ の 場 合 に も 加 速 度 変 化 最 小 化 軌 道 に 対 し て 操 作 エ ネ ル ギ ー 最 小 化 軌 道 に よ る エ ネ ル ギ ー 消 費 量 の 削 減 効 果 が 認 め ら れ る 。

9 8  

4.4 結 論

海 洋 ロ ボ ッ 卜 用 マ ニ ピ ュ レ ー タ の 操 作 エ ネ ル ギ ー 最 小 化 軌 道 に つ い て 研 究 し た 結 果 以 上 の こ と が 明 ら か に な っ た。

( 1) 本 研 究 で示 し た 方 法 に よ り 得 ら れ る 軌 道 に よ り ， ヒ ト の 上 肢 の よ う な な め ら か な 動 作 を 実 現 す る 加 速 度 変 化 最 小 軌 道 と 比 較 し て ， 3割 か ら4割 程 度 の 操 作 エ ネ ル ギ ー の 削 減 を 行 う こ と が 出 来 る 。

(2)重 力 と 浮 力 が 釣 り 合 っ た 状 態 で は 操 作 エ ネ ル ギ ー 最 小 化 軌 道 に 対 す る 運 動 の 始 点 か ら 終 点 ま で の 軌 道 の 形 は 今 回 検 討 し た 範 囲 で は ， 所 要 時 間 に よ る 影 響 は な く ， 始 点 と 終 点 の 座 標 に よ り 決 定 さ れ る 。

(3)重 力 と 浮 力 が 釣 り 合っ て い な い 状態 お よ び マ ニ ピ ュ レ ー タ 先 端 に ベ イ ロ ー

ド が 存 在 す る 場 合 に は ， ベ イ ロ ー ド の 増 加 や 所 要 時 聞 が 長 く な る に つ れ て 操 作 エ ネ ル ギ ー 最 小 化 軌 道 は 腕 を 縮 め る 傾 向 が 強 く な り ， 軌 道 は 中 間 点 で 原 点 に 近 づ く 傾 向 が あ る 。ま た ， こ の 場 合 も 加 速 度 変 化 最 小 軌 道 と 比 較 し

て ， 操 作 エ ネ ル ギ ー の 削 減 を 行 う こ と が 出 来 る 。

操 作 エ ネ ル ギ ー 最 小 化 を 軌 道 決 定 の 評 価 基 準 と す る 場 合 ， 以 上 の よ う な 利 点 が あ る も の の ， 2点 境 界 値 問 題 を 広 義 ニ ュ ー ト ン 法 に よ り 数 値 的 に 解 く こ と は 計 算 量 が 多 く ， 軌 道 を 得 る た め に 時 間 が か か り ， マ ニ ピ ュ レ ー タ を 制 御 し な が ら 軌 道 を 求 め る こ と は 困 難 で あ る 。そ こ で ， 次 章 で は 実 時 間 で 軌 道 が 得 ら れ る 軌 道 設 定 法 に つ い て 述 べ る 。

99 

ドキュメント内 海洋ロボット用マニピュレータの制御システムに関 する研究 (ページ 96-112)