第 2 章 巾級数環のグレブナ基底 23
2.3 Tangent cone アルゴリズム
問題 1. この節の補題, 命題, 定理を証明せよ. 問題 2. Nn× {1, . . . , r} の全順序 ≺δr を
(α, i)≺δr (β, j) ⇐⇒ (i < j) or (i=j, α ≺δβ)
で定義しても, この節の補題, 命題, 定理は成立することを示せ. (前節の議論を Rr の元 (ベクトル)の成分毎に適用せよ.)
補題 2.3.2. δ-斉次な˜ n+ 1 変数多項式 f =f(x0, x) ∈ K[x0, x] に対して, ある自然数 i が存在してlexph(f) = (i,lexp(f(1, x))) が成立する.
証明: (i, α),(j, β)∈Nn+1 に対して, i+δ(α) = j+δ(β) のとき,i < j ⇔δ(α)> δ(β) で あることから明らか. 2
補題 2.3.3. n 変数多項式 f, g ∈K[x] に対して, (f g)h =fhgh が成立する.
証明: f =∑αaαxα,g =∑βbβxβ としてd:= degδ(f), d0 := degδ(g)とおくと degδ(f g) = d+d0 だから
(f g)h = ∑
α,β
aαbβx0d+d0−δ(α+β)xα+β
= ∑
α
aαx0d−δ(α)xα∑
β
bβx0d0−δ(β)xβ
= fhgh を得る. 2
補題 2.3.4. f1, . . . , fm ∈K[x0, x]がすべて δ-˜斉次ならば, f1, . . . , fm の生成するK[x0, x]
のイデアルの順序 ≺h に関するグレブナ基底で δ-˜斉次多項式からなるものが存在する. 証明: ˜δ-斉次な２つの多項式のS-多項式はまた δ-斉次である.˜ またδ-斉次な多項式を˜ δ-˜ 斉次な多項式からなる有限集合で簡約した結果もまた˜δ-斉次である. 従ってアルゴリズム 1.1.21のinput として {f1, . . . , fm} を与えればoutputも ˜δ-斉次な多項式からなる. 2 定理 2.3.5. 多項式 f1, . . . , fm ∈ K[x] が与えられたとき, (f1)h, . . . ,(fm)h の生成する K[x0, x]のイデアルをJ とする. J の項順序≺h に関するグレブナ基底を
{g1(x0, x), . . . , gs(x0, x)}
とすると, G:={g1(1, x), . . . , gs(1, x)}は巾級数環R で f1, . . . , fm の生成するイデアル I˜ の順序≺δ に関するグレブナ基底(標準基底)である. ただし,g1, . . . , gs は δ-斉次とする.˜ 証明: 最初にG が I˜を生成することを証明しよう. f1, . . . , fm が K[x] で生成するイデ アルをI とする. ˜I は I が R で生成するイデアルであるから, G が K[x] で I を生成す ることを示せば十分である.
まずG⊂I を示す. gi ∈J より,q1, . . . , qm ∈K[x0, x] が存在して gi =q1(f1)h+· · ·+qm(fm)h
となるが,ここで x0 = 1 とおけば
gi(1, x) =q1(1, x)f1(x) +· · ·+qm(1, x)fm(x)∈I.
従ってG⊂I である.
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さて,f ∈I とすると q1, . . . , qm ∈K[x]が存在して f =q1f1+· · ·+qmfm
となる. d := degδ(f), di := degδ(fi), ei := degδ(qi) とおき, e:= max{di +ei |1≤i≤m} とすると,e ≥d で
x0e−d
fh =
∑m i=1
x0e−di−ei(qi)h(fi)h ∈J
が成立することがわかる. J は {g1, . . . , gs} で生成されるからp1, . . . , ps ∈ K[x0, x] が存 在して
x0e−dfh =
∑s k=1
pkgk となる. ここで x0 = 1 とおけば
f(x) = (fh)(1, x) =
∑s k=1
pk(1, x)gk(1, x) を得るから, I は G で生成されることがわかった.
次に
{lexp(f)|f ∈I\ {0}}= mono(E(G)) (3.1) を示そう. ここで右辺のE(G)はGの順序≺δ に関するleading exponentsの集合である.
f ∈I とする. 上の議論から, 適当なe∈Nをとればx0efh ∈J となる. また,{g1, . . . , gs} が ≺h に関する J のグレブナ基底であることから,
lexph(x0efh)∈mono({lexph(g1), . . . ,lexph(gs)}) (3.2) がわかるが補題2.3.2から, ある i ∈ N が存在して(i,lexp(f)) = lexph(x0efh) となるか ら, (3.2) より
lexp(f)∈mono({lexp(g1(1, x)), . . . ,lexp(gs(1, x))}) = mono(E(G)) を得る. これで (3.1) が証明できた.
最後に
E( ˜I) :={lexp(f)|f ∈I˜\ {0}}= mono(E(G)) を示そう. f ∈I˜\ {0} とするとq1, . . . , qs ∈R が存在して
f(x) = q1(x)g1(1, x) +· · ·+qs(x)gs(1, x) となる. d:=δ(lexp(f)), qi =∑αciαxα とおいて
qi0 := ∑
δ(α)≤d
ciαxα ∈K[x],
f0(x) := q01(x)g1(1, x) +· · ·+qs0(x)gs(1, x)∈I
と定義すれば
f00(x) :=f(x)−f0(x) = (q1(x)−q10(x))g1(1, x) +· · ·+ (qs(x)−q0s(x))gs(1, x) は δ(α) ≤ d であるような単項式 xα を含まないからlexp(f) = lexp(f0+f00) = lexp(f0) であり, (3.1) からlexp(f) = lexp(f0) ∈ E(I) を得る. 従って E( ˜I) ⊂ E(I) であるが, E( ˜I)⊃E(I)は明らかだから, (3.1) と合わせて, E( ˜I) =E(I) = mono(E(G)) を得る. 2
この定理によって,多項式で生成されるような巾級数環 R のイデアルについては, 多項 式環のグレブナ基底アルゴリズムでグレブナ基底が計算できることがわかった. これから 直ちに, 多項式f1, . . . , fm ∈K[x]が与えられたとき, dimK(R/Rf1+· · ·+Rfm) を計算す るアルゴリズムを得る. 特に, 多項式 f ∈K[x] に対して, そのMilnor 数
µ:= dimR/R(∂f /∂x1) +· · ·+R(∂f /∂xn)
が計算できる. Milnor 数は, 超曲面の特異点の理論において重要である(例えば [Kan] と そこに挙げられている文献を参照のこと).
また, 定理2.3.5 の仮定のもとで, 多項式 f ∈ K[x] が与えられたとき, f ∈I˜かどうか を判定するには, 定理2.3.5 の方法でf, f1, . . . , fm の生成するR のイデアル I˜0 のグレブ ナ基底を求め, E( ˜I0) = E( ˜I)が成立するかどうかを見ればよい.
巾級数環の一般のイデアルについては, 完全な(実行可能な)アルゴリズムは今のところ 知られていないようであるが, グレブナ基底をある意味で逐次近似的に求める方法は開発 されている([KFS]).
定理 2.3.6. 定理2.3.5 の仮定の下で, 各 i, j ∈ {1, . . . , s}に対して sp(gi, gj) = sij(x0, x)gi(x0, x)−sjigj(x0, x) =
∑s k=1
qijk(x0, x)gk(x0, x) (3.3) かつ
lexph(qijk(x0, x)gk(x0, x))≺h lexph(gi(x0, x))∨lexph(gj(x0, x)) (3.4)
を満たす ˜δ-斉次な多項式qijk がとれる. このとき G のシジジー加群
S(g1(1, x0), . . . , gs(1, x0)) :={(h1, . . . , hs)∈Rs | ∑s
k=1
hk(x)gk(1, x) = 0} は, {~vij |1≤i < j ≤s} で生成されるR のイデアルである. ただし
~
vij := (0, . . . ,
z }| {(i)
sij(1, x), . . . ,
z (j)}| {
−sji(1, x), . . . ,0)−(qij1(1, x), . . . , qijs(1, x)) とおいた.
証明: (3.4)と補題2.3.2から
lexp(qijk(1, x)gk(1, x))lexp(gi(1, x))∨lexp(gj(1, x))
を得る. これと (3.3) の両辺に x0 = 1 を代入した式に定理2.1.22を適用すればよい．2 38
例 2.3.7. δ= (1,1,1), f1 :=x−y2, f2 :=xy−z2 としてf1, f2 が生成するK[[x, y, z]] ま たは C{x, y, z} のイデアル I のグレブナ基底を求めよう. (K は標数 0 とする.) x0 = t と書くと,
(f1)h =tx−y2, (f2)h =xy−z2
で, これらがK[t, x, y, z] で生成するイデアルの全次数-辞書式順序によるグレブナ基底を
求めると, {(f1)h,(f2)h, g3},ただしg3 :=tz2−y3 となる. 従って G:={f1, f2, z2−y3} は I のグレブナ基底(標準基底)である. 特に lexp(G) = {(1,0,0),(1,1,0),(0,0,2)} である から, {x−y2, z2−y3} が I の極小グレブナ基底である. 特に代数多様体 f1 =f2 = 0 の 原点における接錐の方程式はx=z2 = 0 となる.
問題 1. 上の例を手計算で確かめよ.
例 2.3.8. 1章の例1.1.33 を巾級数環において計算してみよう: x =x1, y =x2, z =x3 と して
f1 :=x3−y2, f2 :=y3−z2, f3 :=z3−x2
とおく. δ = (1,1,1)の場合の I :=Rf1+Rf2+Rf3 のグレブナ基底を定理2.3.5を用いて 計算すると{f1, f2, f3}が I の極小グレブナ基底であることがわかる. 特にdimKR/I = 8 である.
問題 2. 1章の問題3が巾級数環の場合にも拡張できることを示せ. またそれを用いて上 の例の結果を証明せよ.
問題 3. 定理2.3.5を K[x]r の有限部分集合で生成される Rr の部分加群の場合に拡張
せよ.