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特性多様体

ドキュメント内 改訂版PDF (ページ 65-70)

第 3 章 微分作用素環と線型偏微分方程式系 41

3.4 特性多様体

(2) すべての k∈Z について Mk⊂ Mk+1 かつある `∈Z に対して M` = 0;

(3) すべての k, `∈Z に対してD(`)Mk ⊂ Mk+`;

(4) kZMk=Mすなわち, すべての p∈X に対してkZ(Mk)p =Mp; (5) あるk0 Z があって, すべての k ≥k0 に対してMk =D(k−k0)Mk0. このとき各 Mk/Mk1 は自然に O-加群の構造を持つ. gr(M) を直和

gr(M) :=

kZ

Mk/Mk1

で定義すると, gr(M) は DM への作用から導かれるO[ξ]'k0D(k)/D(k1) の 作用でO[ξ]-加群となる. こうして定義されるO[ξ]-加群 gr(M)のことをMの filtration {Mk} に付随する graded module と呼ぶ.

M0M= DM0 を満たすような M の局所有限生成 O-部分加群とすると, Mk :=

D(k)M0 とおけば{Mk} が good filtration であることは明らかであろう. なお, 上の条 件 (5) において k1 ≥k0 ならば k ≥k1 のとき

Mk=D(k−k0)Mk0 =D(k−k1)D(k1−k0)Mk0 =D(k−k1)Mk1

であるから k0k1 にとりかえても (5) が成り立つことに注意しておく.

補題 3.4.3. {Mk}{M0k}X 上の連接 D-加群 M の2つのgood filtration とする と,任意の p∈X に対して, pのある開近傍 U とある`∈N が存在して, すべてのk Z に対して U 上で

Mk` ⊂ M0k⊂ Mk+`

が成立する.

証明: 定義 3.4.2 の (5) から, すべての k k0 に対してMk = D(k −k0)Mk0 かつ M0k =D(k−k0)M0k0 が成り立つような k0 N をとれる. 任意の p∈X に対して, p の 近傍Uu1, . . . , ur ∈ Mk0(U)が存在して U 上で

Mk0 =Ou1+· · ·+Our

が成立する. 同様にして v1, . . . , vs ∈ M0k0(U)が存在して U 上で M0k0 =Ov1+· · ·+Ovs

が成立しているとしてよい.

M0k0 ⊂ M =

kk0

Mk =

kk0

D(k−k0)Mk0 =Du1+· · ·+Dur

であるから,必要ならpの開近傍U を小さく取り直すことにより,Pij ∈ D(U)が存在して vi =

r j=1

Pijuj (i= 1, . . . , s)

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が成立する. 従ってPij 達の階数の最大値を ` とおけば M0k0 ⊂ D(`)Mk0 =Mk0+`

である. 定義によってM0k1 = 0なる k1 ≤k0 がある. このときすべての k∈ Z に対して M0k ⊂ M`+k0k1+k が成立する. 実際, k≥k0 のときは

M0k =D(k−k0)M0k0 ⊂ D(k−k0)M`+k0 =M`+k⊂ M`+k0k1+k, k1 < k < k0 のときは

M0k ⊂ M0k0 ⊂ M`+k0 ⊂ M`+k0k1+k,

k k1 のときは M0k = 0 であるから明らか. 従って `+k0−k1 を改めて ` とすればよ い. MkM0k を取り替えて同じ議論をすれば補題の主張が示される. 2

定理 3.4.4. MX 上定義された連接 D-加群, {Mk}{M0k}M の2つの good filtration として

gr(M) :=

kZ

Mk/Mk1, gr0(M) :=

kZ

M0k/M0k1

とおくと,

Supp(µ(gr(M))) = Supp(µ(gr0(M))) = Char(M) が成立する.

証明: 補題3.4.3によりある `∈N があって, すべてのk Z に対して Mk` ⊂ M0k⊂ Mk+`

が成立するとしてよい. kZMk+`/Mk+`1 =kZMk/Mk1 であるから,{Mk}の添 字をずらすことにより, すべての k Z について

Mk` ⊂ M0k ⊂ Mk

が成立すると仮定しても一般性を失わない. このとき, 定理の主張を ` に関する帰納法で 証明しよう.

(1) ` = 1 のとき: 各 k Z について, O-加群の2つの完全系列 0−→ M0k/Mk1 −→ Mk/Mk1 −→ Mk/M0k−→0, 0−→ Mk−1/M0k1 −→ M0k/M0k1 −→ M0k/Mk−1 −→0 が自然に定義される. ここで

L :=

kZ

M0k/Mk1, N :=

kZ

Mk/M0k

とおくと,M0k1 ⊂ Mk1 かつMk1 ⊂ M0k だからL,N は自然なO[ξ]-加群の構造を持 つ. 従って上の完全系列からO[ξ]-加群の完全系列

0−→ L −→gr(M)−→ N −→0, 0−→ N −→gr0(M)−→ L −→0 を得る. OTXπ1O[ξ] 上平坦であるから,

0−→µ(L)−→µ(gr(M))−→µ(N)−→0, 0−→µ(N)−→µ(gr0(M))−→µ(L)−→0 は OTX-加群の完全系列である. これから

Supp(µ(gr(M))) = Supp(µ(L))Supp(µ(N)) = Supp(µ(gr0(M))) を得る.

(2) `≥2のとき: M00k:=Mk1+M0k とおくと{M00k}Mのgood filtrationである. 定義からすべての整数k に対して

Mk1 ⊂ M00k ⊂ Mk, M00k`+1 ⊂ M0k⊂ M00k

が成り立つことがわかる. gr00(M) :=kZM00k/M00k1 とおくと, 帰納法の仮定から Supp(µ(gr(M))) = Supp(µ(gr00(M))) = Supp(µ(gr0(M)))

を得る. 2

3.4.5. OCn 上の D-加群とみなす. M0 :=O とすれば Mk :=D(k)O =O であ るから{Mk}O の good filtration で, このfiltration に付随するgraded module は

gr(O) =O =O[ξ]/(O[ξ]ξ1+· · ·+O[ξ]ξn) であるから

µ(gr(O)) =OTX/(OTXξ1+· · ·+OTXξn) となり,従って

Char(O) = Supp(µ(O)) = {(x, ξ)∈TX 1 =. . .=ξn= 0} である.

次の2つの補題の証明は省略する. 例えば, [Kash1] を参照のこと.

補題 3.4.6. M0 を連接 D-加群 Mの局所有限生成の O-部分加群とすると, M0 は連接 O-加群である.

補題 3.4.7. M を連接 D-加群で {Mk} は定義3.4.2 の (1)—(4) をみたすものとして gr(M) := kZMk/Mk1 とおくと, gr(M) が連接 O[ξ]-加群であるための必要十分条 件は{Mk} が定義3.4.2 の (5) も満たすことである.

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定理 3.4.8.

0−→ L −→ M−→ N −→ϕ 0

を連接D-加群の完全系列とするとChar(M) = Char(L)Char(N) が成立する.

証明: LMD-部分加群とみなせる. {Mk}Mの good filtration として Lk :=Mk∩ L, Nk :=ϕ(Mk)

とおくと, Mk =D(k−k0)Mk0 ならば Nk =ϕ(D(k−k0)Mk0) =D(k−k0)Nk0 が成り 立つから,{Nk}N の good filtration である. 各整数k について定義から

0−→ Lk−→ Mk

−→ Nϕ k −→0 (4.1)

O-加群の完全系列である. 従って補題3.4.6 により MkNk は連接 O-加群だから,

命題3.2.9 により Lk も連接 O-加群, 特に局所有限生成である. (4.1) からそれぞれの filtration に付随するgraded moduleをとって, O[ξ]-加群の完全系列

0−→gr(L)−→gr(M)−→gr(N)−→0

を得る. {Mk} , {Nk} は good filtration だから, 補題3.4.7 と命題3.2.9 により {Lk} も good filtration であることがわかる. 従ってOTX-加群の完全系列

0−→µ(gr(L))−→µ(gr(M))−→µ(gr(N))−→0 と定理3.4.4 から結論を得る. 2

次に, 特性多様体のもう少し具体的な表示を導こう. MX 上の連接 D-加群とする と, p∈X の開近傍 UD-加群の完全系列

0←− M←− Dϕ r

が存在する. このとき Mk :=ϕ(D(k)r) とおくと {Mk}Mの good filtration である. N :=Ker ϕ, Nk :=Ker ϕ∩ D(k)r

とおくと,

0←− M ←− Dϕ r ←− N ←−0

D-加群の完全系列だからNU 上の連接 D-加群であって, 定理3.4.8 の証明からわ かるように{Nk}N の good filtration である. これらの filtration に付随するgraded module をとれば OTX-加群の完全系列

0←−µ(gr(M))←−(OTX)r ←−µ(gr(N))←−0 を得る. 従って µ(gr(N))を (OTX)r の部分加群とみなしたとき,

Char(M)∩TU ={p = (x, ξ)∈TU |µ(gr(N))p 6= (OTU)rp} を得る. 特に r= 1 のときは

µ(gr(N))p 6= (OTU)p ⇐⇒ ∀f gr(N)p, f(x, ξ) = 0

⇐⇒ ∀P ∈ Np, σ(P)(x, ξ) = 0 であるから, 次の命題が証明できた.

命題 3.4.9. M をある u ∈ M(X) によって M =Du となっているような連接 D-加群 として,D の左イデアルの層 II(U) :={P ∈ D(U)|P u= 0}で定義すると,

Char(M) = {(x, ξ)∈TX |任意のP ∈ Ix に対して σ(P)(x, ξ) = 0} が成立する.

定理 3.4.10. MX 上の連接 D-加群とすると, その特性多様体 Char(M) はTX の 斉次な解析的部分集合である. すなわち (x, ξ)Char(M) ならば, すべての c∈C\ {0} に対して (x, cξ) Char(M) であり, Char(M) は局所的には (x, ξ) の有限個の正則関数 の共通零点である.

証明: Mの生成元の個数 rについての帰納法で証明しよう. まずr= 1とする. M=Du なるu∈ M をとって

I :={P ∈ D |P u= 0}, Ik :=I ∩ D(k)

とおけば, 前の議論からわかるように {Ik}I のgood filtration であって, graded ideal gr(I) は局所有限生成だから, 有限個の P1, . . . , Ps ∈ I が存在して, gr(I) は O[ξ] 上 σ(P1), . . . , σ(Ps) で生成される. 従って命題 3.4.9 により

Char(M) ={(x, ξ)|σ(P1)(x, ξ) = . . .=σ(Ps)(x, ξ) = 0} が成り立つから, Char(M)は TX の斉次な解析的部分集合である.

r >1 のときは,MU における生成元u1, . . . , ur をとって, N :=Du1+· · ·+Dur1 ⊂ M

とおくと,N は連接D-加群 MD-部分加群だから連接である. そこでL :=M/N と おけば,

0−→ N −→ M −→ L −→0

は連接 D-加群の完全系列である. L = D[ur] ([ur] は urM/N における剰余類を 表わす) であるから, LN に対しては帰納法の仮定が使えて, 定理 3.4.8 によって Char(M) = Char(L)Char(N)も斉次な解析的部分集合であることがわかる. 2

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