微分方程式系と D- 加群

系 3.2.15. R,R˜ を上と同様として, F を X 上局所有限生成の R-加群とすると F˜ :=

R ⊗˜ _RF は X 上局所有限生成の R˜-加群である.

証明: 定義によって, 各点p に対して, pのある開近傍 U 上でR-加群の完全系列 R^r−→ F −→ 0

が存在する. これと上の命題から U 上の R˜-加群の完全系列 R˜^r−→F −→˜ 0

を得る. これは F˜ が局所有限生成であることを意味する. 2

定義 3.2.16. R,R˜ を上と同様とするとき, ˜R が R 上(右 R-加群として)平坦(flat)とは

X 上のR-加群の任意の完全系列

0−→ F −→ G −→ H −→0 に対して

0−→R ⊗˜ RF −→R ⊗˜ RG −→R ⊗˜ RH −→ 0

が X 上の R˜-加群の完全系列となることである. これは 各点 p∈X に対して R˜p が Rp

上平坦であることと同値である.

定理 3.2.17. Cⁿ 上の正則関数の層 O は Oalg 上, 及び定数層 C[x] 上平坦である. また D は Dalg 上, 及び定数層 A_n 上平坦である.

これは7章(補遺)で証明する.

を満たす.

さてF を左D-加群の層としよう(たとえばO,D や実領域では無限回微分可能関数の

層, Schwartz の distribution の層, 佐藤超関数(hyperfunction)の層など). 命題 3.2.13 に より

0−→ Hom_D(M,F)−→ Hom_D(D^r,F)−→ Hom_D(D^s,F)

は完全系列であるが, f ∈ Hom_D(D^r,F)(V) に対して(f(~e₁), . . . , f(~e_r))∈ F(V)^r を対応 させることにより Hom_D(D^r,F) は F^r に同型であるから

0−→ Hom_D(M,F)−→ F^{ϕ0 r} −→ F^{ψ0 s} (3.3) という完全系列を得る. ここで層準同型 ψ⁰ は, 開集合 V ⊂U と(f₁, . . . , f_r)∈ F(V)^r に 対して

ψ⁰(V)((f₁, . . . , f_r)) =



∑^r

j=1

P_1jf_j,· · ·,

∑r j=1

P_sjf_j



∈ F(V)^s で定義されることがわかる. 従って (3.3) から

Hom_D(M,F)(V) ' (Ker ψ⁰)(V)

= {(f₁, . . . , f_r)∈ F(V)^r |^∑r

j=1

P_ijf_j = 0 (1≤ ∀i≤s)}

を得る. 言換えれば, M の D-加群としての生成元 u₁, . . . , u_r は M において (3.2) とい う関係式を満たしていて, 従って f が Mから F への D-準同型ならば, f_j :=f(u_j) はす べてのi= 1, . . . , sに対して“関数空間”F における微分方程式系

∑r j=1

P_ijf_j =f



∑^r

j=1

P_iju_j



= 0 (i= 1, . . . , s)

を満たさなければならない. 逆にこの微分方程式系をみたすような f₁, . . . , f_r ∈ F があれ ば, すべての j に対して f(u_j) = f_j となるような D-準同型 f が一意的に定まることに なる.

そこで, 連接 D-加群 MはU 上では, “未知関数”(実際にはMの生成元)u₁, . . . , u_r に 対する連立線型微分方程式系 (3.2) を表わし, Hom_D(M,F) はその F における(すなわ ち u₁, . . . , u_r ∈ F としたときの)解の層を表わしていると考えることができる.

ただし M に対して, (3.1) のような完全系列はいろいろ取り得るから, それによって,

対応する具体的な微分方程式系 (3.2) の形は(未知関数の個数 r もこめて)変わりうるこ とになるが, Hom_D(M,F) は(3.1) のような完全系列の選び方によらず,Mと F の抽象 的なD-加群としての構造そのものから定まる. そこで我々は, 開集合 X 上の微分方程式 系とはX 上の連接 D-加群のことと定義しよう. すると(3.1) の完全系列はその一つのU における具体的表示を与えていることになる.

逆に P_ij ∈ D(X)(i= 1, . . . , s;j = 1, . . . , r)が与えられたとしよう. X 上の D-加群の層 N を U ⊂X に対して

N(U) := {^∑s

i=1

Q_i(P_i1, . . . , P_ir)|Q₁, . . . , Q_s∈ D(U)} ⊂ D(U)^r

で定義して M:=D^r/N とおこう. このとき

N =D(P11, . . . , P1r) +. . .+D(Ps1, . . . , Psr)⊂ D^r

と書くことにする. 系 3.2.10 によってN は X 上の D-加群の連接層である. 従って命題 3.2.9 から Mは X 上で定義された D-加群の連接層である. このとき X 上で (3.1) の形 の完全系列があることがわかる. ここで~e_j の M(X) における剰余類を u_j と書けば, ϕ,

ψ は U ⊂X に対して

ϕ(U)(A₁, . . . , A_r) =

∑r j=1

A_ju_j |U ∈ M(U) (A₁, . . . , A_r ∈ D(U)), ψ(U)(B₁, . . . , B_s) =

∑s i=1

B_i(P_i1, . . . , P_ir)∈ D(U)^r (B₁, . . . , B_s ∈ D(U))

で定義される. このようにして, 与えられた P_ij ∈ D(X) (i= 1, . . . , r;j = 1, . . . , s) から X 上の連接D-加群Mが定まる. このとき, Mを微分方程式系と同一視して

M :

∑r j=1

P_iju_j = 0 (i= 1, . . . , s) と書こう.

もちろん一般には与えられた D-加群の連接層 M に対して(3.1) のような完全系列は X 上で存在するとは限らないので, 上のようにして与えられた P_ij 達から定まる M は X 上の連接 D-加群としては特殊なものである. 例えば X 上のベクトル束に値をとるよ うな未知関数に対する微分方程式系に対応する連接 D-加群は, 一般にはX 上で大域的に

は (3.1) のような表示を持たないであろう.

特に P_ij ∈A_n =C[x]h∂i から上のようにして定まるCⁿ 上の連接 D-加群 Mのことを 代数的線型微分方程式系と呼ぼう. このとき (A_n)^r の部分 A_n-加群 N を

N :={^∑s

i=1

Qi(Pi1, . . . , Pir)|Q1, . . . , Qs∈An}

で定義して M := (A_n)^r/N とおけばM は左 A_n-加群であり, 上のように定めたM とは M=D ⊗AnM という関係がある(ここではA_n とM を Cⁿ 上の定数層とみなしている).

実際, ψ⁰((Q₁, . . . , Q_s)) :=^∑s_i=1Q_i(P_i1, . . . , P_ir) とおくと 0←−M ←−(A_n)^r ←−^ψ0 (A_n)^s は A_n-加群の完全系列であるから, 命題3.2.14 により

0←− D ⊗AnM ←− D^r ←− D^{ψ s}

は D-加群の完全系列である. 従って D ⊗AnM =D^r/Im ψ=Mである. すなわち, 代数 的線型微分方程式系とは,有限生成の左 A_n-加群 M の D への係数拡大となるような連接

D-加群のことである. 更に特別な場合として, P_ij ∈C[∂]の場合はこの Mのことを定数

係数線型微分方程式系と呼ぶ(これは座標系の取り方に依存する).

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次に未知関数の変換を考えよう. MをCⁿの開集合X 上の連接D加群であって,p∈X の近傍U で P_ij ∈ D(U) を用いて

M :

∑r j=1

Pijuj = 0 (i= 1, . . . , s)

と表わされるものとしよう. v₁, . . . , v_m ∈ M(U) を任意にとると, p の開近傍 V ⊂ U と A_ij ∈ D(V) が存在して

v_i|V =

∑r j=1

A_iju_j|V (i= 1, . . . , m) と書ける. v₁, . . . , v_m の生成する Mの部分 D-加群の層を

M⁰ :=Dv1+· · ·+Dvm ⊂ M とする. すなわち M⁰ は準層

W 7−→ {Q₁(v₁|W) +· · ·+Q_m(v_m|W)|Q₁, . . . , Q_m ∈ D(W)}

の層化である(W は V の開集合). このとき M⁰ は V 上の連接 D-加群であり, Mの部 分層でもある. 特に M⁰ =Mのときは(V では)M⁰ はMと同じ微分方程式系を表わし ていることになる. 一方 M⁰ の表わす(“未知関数” v₁, . . . , v_m に関する)微分方程式系は pの近傍では

0←− M⁰ ←− D^{ϕ0 m} ←− D^` という形の完全系列から定まるものである. ここで ϕ⁰ は

ϕ⁰(Q₁, . . . , Q_m) = Q₁v₁ +· · ·+Q_mv_m

で定義されるD-準同型である. 従ってMの生成元をとりかえることで,見掛け上は異な

るが, D-加群としては同型な微分方程式系が得られる.

例 3.3.1. Cⁿ 上の層 O を左 D-加群とみなそう. D-準同型h:D −→ O をP ∈ D に対し てh(P) =P1∈ O で定義しよう(ここで P1は関数 1∈ O への微分作用素P の作用を表 わす). P を (a_α ∈ O(U) として) (1.3)の形で表わしたとき P1 = a₀ であるから, P1 = 0 ならば適当な Q1, . . . , Qn ∈ D を用いて P = Q1∂1+· · ·+Qn∂n と書ける. 逆に P がこ う書けるときP1 = 0 であるから,

0←− O ←− D^h ←− D^{ψ n}

は Cⁿ 上の D-加群の完全系列である(ただしψ(Q₁, . . . , Q_n) :=Q₁∂₁+· · ·+Q_n∂_n). すな わちO は D-加群としてはCⁿ 上の(定数係数)微分方程式系

∂₁u=. . .=∂_nu= 0 に対応している. U が Cⁿ の連結開集合のとき

{f ∈ O(U)|∂₁f =. . .=∂_nf = 0}=C

であるから微分方程式系O の正則関数解の層 Hom_D(O,O)はCⁿ 上の定数層Cである.

例 3.3.2. n= 1 として, 複素数λ に対してC 上の連接 D-加群Mλ を Mλ :=D/D(x∂ −λ) =Du_λ

で定義しよう(u_λ は 1∈ D(C)の Mλ における剰余類を表わす). すなわち Mλ は C 上 の微分方程式(x∂−λ)u_λ = 0 を表わしている.

さてD-準同型F :Mλ+1 −→ Mλ を

F(Au_λ+1) =Axu_λ (A∈ D)

で定義しよう. F が well-definedであることを確かめるため,p をCの任意の点としてF が Dp-準同型

F :Dp/Dp(x∂−λ−1)−→ Dp/Dp(x∂−λ)

を誘導することを見よう. 実際 A ∈ Dp(x∂ −λ−1) のとき, A =B(x∂−λ−1) となる B ∈ Dp が存在する. このとき

0 = F(Au_λ+1) =AF(u_λ+1) =Axu_λ でなければならないが, 一方(1.1) から

Ax=B(x∂ −λ−1)x=Bx(x∂−λ)∈ Dp(x∂−λ)

であるから, F が well-defined であることがわかった. (A7→Ax は D からD への D-準 同型であるからF が D-準同型であることは明らか.)

次にλ 6=−1 と仮定してD-準同型G:Mλ −→ Mλ+1 を G(Au_λ) = 1

λ+ 1A∂u_λ+1 (A∈ D) で定義しよう. あるB ∈ Dp によって A=B(x∂−λ) と書けるとき,

A∂ =B(x∂−λ)∂ =B∂(x∂−λ−1) であるから G は D-準同型としてwell-defined である. 更に

F(G(u_λ)) = 1

λ+ 1F(∂u_λ+1)

= 1

λ+ 1∂xuλ = 1

λ+ 1(x∂+ 1)uλ

= 1

λ+ 1(λ+ 1)u_λ =u_λ かつ

G(F(uλ+1)) = G(xuλ) = 1

λ+ 1x∂uλ+1

= 1

λ+ 1(λ+ 1)u_λ+1 =u_λ+1 56

であるから, F, G は共に同型で互いに逆写像である. 以上により λ 6=−1ならば Mλ と Mλ+1 はD-加群としてC上で同型であることがわかった. 特にv_λ :=F(u_λ+1)∈ Mλ(C) とおけばMλ =Du_λ =Dv_λ であり, Mλ の生成元をv_λ にとりかえると,Mλ は微分方程 式(x∂ −λ−1)vλ = 0 を表わすことになる.

なお巾級数展開からわかるように

Hom_D(M0,O)₀ 'C, Hom_D(M₋1,O)₀ = 0 であるから M0 と M₋1 は D-加群として同型でない.

問題 1. U を C の連結開集合, a₁, . . . , a_m ∈ O(U) として

P :=∂^m+a₁∂^m−1+· · ·+a_m−1∂+a_m ∈ D(U)

とおき, U 上の連接 D-加群 M を M := D/DP = Du で定義する(u は 1 ∈ D の剰余 類). 一方P~₁, . . . , ~P_m ∈ D(U)^m を

P~₁ := (∂,−1,0, . . . ,0), P~₂ := (0, ∂,−1,0, . . . ,0), . . .

P~_m−1 := (0, . . . ,0, ∂,−1),

P~m := (am, am−1, . . . , a2, ∂+a1) で定義し,U 上の連接 D-加群 L を

L :=D^m/DP~₁+· · ·+DP~_m =Dv₁+· · ·+Dv_m

で定義する(v_i は単位ベクトル~e_i ∈ D^m の剰余類). このとき, それぞれF(u) = v₁, G(Q₁v₁+· · ·+Q_mv_m) = (Q₁+Q₂∂+· · ·+Q_m∂^m−1)u (Q₁, . . . , Q_m ∈ D) を満たすようなU 上のD-準同型

F :M −→ L, G:L −→ M が定義でき互いに逆写像になっていることを示せ.

M を p ∈ Cⁿ の開近傍 U で (3.1) のような表示を持つ連接D-加群とする. D の連接

性により pの開近傍 V ⊂U では

0←− M←− D^{ϕ r} ←− D^{ψ s}←− D^{χ t}

というD-加群の完全系列が存在する. このときQ_ij ∈ D(V)があって,任意のA₁, . . . , A_t∈ D に対して

χ(A₁, . . . , A_t) =

( _t

∑

i=1

A_iQ_i1, . . . ,

∑t i=1

A_iQ_is

)

=

∑t i=1

A_i(Q_i1, . . . , Q_is)

となる. すると ψ◦χ= 0 より

∑s k=1

QikPkj = 0 (i= 1, . . . , t; j = 1, . . . , r)

が成立する. 従ってF を D-加群として f_j, g_i ∈ F が非斉次線型偏微分方程式系

∑r j=1

P_ijf_j =g_i (i= 1, . . . , s) (3.4) を満たしているとすると,

∑s i=1

Q_kig_i =

∑r j=1

∑s i=1

Q_kiP_ijf_j = 0 (k = 1, . . . , t) (3.5) でなければならない. 従って (3.5) は与えられた g₁, . . . , g_s ∈ F に対して (3.4) が解 f₁, . . . , f_r ∈ F を持つための必要条件(両立条件)を表わしている.

例 3.3.3. 例 3.3.1 において

0←− O←− D^h ←− D^{ψ n}←−^{χ ⊕}

i<j

D (3.6)

は Cⁿ 上のD-加群の完全系列である. ここで

⊕

i<j

D = {(P_ij)_1≤i<j≤n)|P_ij ∈ D}, χ((Pij)i<j) = ^∑

1≤i<j≤n

Pij(0, . . . ,

(i)

∂j, . . . ,

−(j)∂i, . . . ,0)∈ Dⁿ

である. 実際,{∂₁, . . . , ∂_n}は多項式環 C[∂]'C[ξ]において明らかにグレブナ基底になっ ているから, 定理1.2.26 により

0←−C←−^h0 C[∂]←−^ψ0 C[∂]ⁿ←−^{χ0 ⊕}

i<j

C[∂]

は C[∂]-加群の完全系列である. ただし h⁰, ψ⁰, χ⁰ はh, ψ, χ を D から定数層 C[∂] へ制限 したものである. D は C[∂] 上平坦であることがわかるので, この完全系列にテンソル積

D⊗C[∂] を施せば, (3.6)が完全系列であることがわかる. 従って, 非斉次方程式系

∂_if =g_i (i= 1, . . . , n) が D-加群F において解 f を持つためには, 両立条件

∂jgi =∂igj (1≤i < j ≤n) が満たされていることが必要である.

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ドキュメント内 改訂版PDF (ページ 58-65)