第 4 章 微分作用素環のグレブナ基底 75
4.4 微分作用素環に対する tangent cone アルゴリズム
をみたす Qijk ∈ An が存在する. これを (K0h∂i)r における関係式とみなせるから, G は Nˆ のグレブナ基底である. 2
P~ ∈ (D0)r のとき, P~ ∈ (K0h∂i)r とみなせて, coefR(P~)∈ O0 =C{x} となることに注 意しておく.
命題 4.3.6. N を (D0)r の有限部分集合 G の生成する (D0)r の左部分 D0-加群とする. Nˆ を Gの生成する(K0h∂i)r の左部分K0h∂i-加群とする. G がNˆ のR-順序に関するグ レブナ基底であって, かつすべての P~ ∈ G に対して lcoefR(P~)(0) 6= 0 ならば, G は N のD-順序に関するグレブナ基底でもある.
証明: G={P~1, . . . , ~Ps} とおく. G は Nˆ のグレブナ基底だから, β(k):= lexpR(P~k) とお いて, lp(P~i) = lp(P~j)のとき,
Sij := ltermR(P~j)∂β(i)∨β(j)−β(j)−ltermR(P~i)∂β(i)∨β(j)−β(i)
とおくと, (K0h∂i)r におけるGによる簡約操作(アルゴリズム4.1.12)においてlcoefR(P~k) による割算のみが用いられ, 仮定から lcoefR(P~k) は C{x} の可逆元であることに注意す れば,
SijP~i−SjiP~j =
∑s k=1
QijkP~k, lexpD(Qijk)≺D lexpD(P~i)∨lexp(P~j)
をみたすQijk ∈ D0 が存在することがわかる. 故に G は N のグレブナ基底でもある. 2
証明: Leibniz の公式(命題3.1.4)によって, R :=P Q とおくと R(x0, x, ξ) = ∑
ν∈Nn
1 ν!
(∂|ν|
∂ξνP(x0, x, ξ)
) (∂|ν|
∂xνQ(x0, x, ξ)
)
(4.1) である. 仮定から
P(x0, x, ξ) = ∑
|β|−|α|−µ=m
aµ,α,βx0µxαξβ, Q(x0, x, ξ) = ∑
|β|−|α|−µ=`
bµ,α,βx0µxαξβ という形に書けるから, これと (4.1) から補題の結論がわかる. 2
定義 4.4.3. (F-斉次化) P =∑α,βaα,βxα∂β をWeyl代数 An の元とするとき, P のF-斉 次化Ph を
Ph :=∑
α,β
aα,βx|0β|−|α|+mxα∂β ∈An[x0]
で定義する. ただし m := degF(P) := max{|α| − |β| | aα,β 6= 0} とおいた. Ph は −m 階 F-斉次である. また P~ = (P1, . . . , Pr)∈(An)r に対して,mk := degF(Pk), m:= max{mk | k= 1, . . . , r}とおいて, P~ のF-斉次化 P~h を
P~h := (x0m−m1(P1)h, . . . , x0m−mr(Pr)h)∈(An[x0])r で定義する. P~h は −m 階 F-斉次である.
補題 4.4.4. P, Q∈An に対して (P Q)h =PhQh. 証明:
P =∑
α,β
aαβxα∂β, Q=∑
α,β
bαβxα∂β
として, m:= degF(P),`:= degF(Q)とおくと,補題4.4.2から xα∂βxα0∂β0 は |β|+|β0| −
|α| − |α0| 階F-斉次であるから, degF(P Q) = m+` であることがわかる. 従って (P Q)h = ∑
α,β,α0,β0
aαβbα0β0x0|β|+|β0|−|α|−|α0|−m−`xα∂βxα0∂β0
= ∑
α,β
aαβx0|β|−|α|−m
xα∂β ∑
α0,β0
bα0β0x0|β0|−|α0|−`
xα0∂β0
= PhQh. 2
N2n+1 の順序≺H を
(µ, α, β)≺H (µ0, α0, β0) ⇐⇒ |β|<|β0|
or (|β|=|β0|, µ+|α|< µ0+|α0|)
or (|β|=|β0|, µ+|α|=µ0+|α0|, µ < µ0) or (|β|=|β0|, µ=µ0, |α|=|α0|, β≺L β0) or (β =β0, µ=µ0, |α|=|α0|, α≺Lα0)
で定義してH-順序と呼ぼう. H-順序は N2n+1 の項順序である. An[x0]の元
P = ∑
µ,α,β
aµ,α,βx0µxα∂β 6= 0 に対して,その leading exponent と leading coefficientを
lexpH(P) := maxH{(µ, α, β)|aµ,α,β 6= 0}, lcoefH(P) :=aµαβ ((µ, α, β) := lexpH(P)) で定義する(maxH はH-順序に関する最大元を表わす).
さらにベクトルの場合を扱うため, N2n+1× {1, . . . , r} の全順序≺H を (µ, α, β, i)≺H (µ0, α0, β0, j) ⇐⇒ |β|<|β0|
or (|β|=|β0|, µ < µ0)
or (|β|=|β0|, µ=µ0, i < j)
or (|β|=|β0|, µ=µ0, i=j, (µ, α, β)≺H (µ0, α0, β0)) で定義する. これは1.2節の条件 (r-1), (r-2) を満たす.
P~ = ∑
µ,α,β,i
aµαβix0µxα∂β~ei ∈(An)r に対して,
lexpH(P~) := maxH{(µ, α, β, i)|aµαβi 6= 0}
で P~ の leading exponent を定義する. さらにlexp(P~) = (µ, α, β, i) のとき, lpH(P~) := i, lcoefH(P~) :=aµαβi
で leading point と leading coefficient を定義する.
定義 4.4.5. N を (An[x0])r の左部分 An[x0]-加群とする. N の有限部分集合 G が(H-順 序に関する)N のグレブナ基底とは
EH(N) :={lexpH(P~)|P~ ∈N \ {0}}= mono(EH(G)) が成立すること.
H-順序に関しては, 4.1節の議論が適用できるので, (An[x0])r の左部分加群N の有限個 の生成元が与えられたとき, それからアルゴリズム4.1.21より N のH-順序に関するグレ ブナ基底が得られる. さらにそのとき, もし生成元がすべてF-斉次だったとすると, 補題
4.4.2 により, それらのS-作用素もF-斉次であり,またF-斉次な元による簡約操作はF-斉
次性を保存するから, 結局アルゴリズム4.1.21を適用して得られるN のグレブナ基底は F-斉次な (An[x0])r の元からなる.
次の補題は補題4.4.4から明らか:
補題 4.4.6. P~ ∈(An)r と Q∈An に対して (Q ~P)h =QhP~h. 98
補題 4.4.7. P~1, . . . , ~Ps ∈ (An)r に対して P~ := P~1 +· · ·+P~s とおくと, 適当な µ,µ1,. . ., µs ∈Nをとれば
x0µP~h =x0µ1(P~1)h+· · ·+x0µs(P~s)h が成立する.
証明: m := degF(P~),mk:= degF(P~k)とおくとm ≤m0 := max{mk|k ∈ {1, . . . , s}} で
ありF-斉次化の定義から
x0m0−mP~h =x0m0−m1(P~1)h+· · ·+x0m0−ms(P~s)h が成立する. 2
写像 $ :N2n+1× {1, . . . , r} −→N2n× {1, . . . , r} を $(µ, α, β, i) = (α, β, i) で定義す る. また (An[x0])r の元をP~(x0)で表わすとき P~(1) ∈(An)r は P~ の x0 に 1 を代入した 作用素(のベクトル)を表わす.
補題 4.4.8. (1) すべての P~ ∈(An)r に対して lexpD(P~) =$(lexpH(P~h)).
(2) P~(x0)∈(An[x0])r がF-斉次ならば lexpD(P~(1)) =$(lexpH(P~(x0))).
証明: P~ ∈(An)r に対して P~h =P~h(x0) はF-斉次で P~h(1) =P~ であるから, (1) は (2) から従う.
P~(x0) = ∑
µ,α,β,i
aµαβix0µ
xα∂β~ei ∈(An[x0])r
がm階F-斉次とすると,aµαβi 6= 0のとき,|β|−|α|−µ=mである. そこで|β|−|α|−µ=m かつ|β0| − |α0| −µ0 =m とすると, H-順序の定義から
(µ, α, β, i)≺H (µ0, α0, β0, j) ⇐⇒ |β|<|β0|
or (|β|=|β0|, µ < µ0)
or (|β|=|β0|, µ=µ0, i < j)
or (|β|=|β0|, µ=µ0, i=j β ≺Lβ0) or (β =β0, µ=µ0, i=j, α≺L0 α0)
であるから, |β| = |β0| のとき µ+|α| = µ0 +|α0| であることに注意すれば, このとき (µ, α, β, i) ≺H (µ0, α0, β0, j) と (α, β, i) ≺D (α0, β0, j) は同値になる. 以上のことから, (2) がわかる. 2
定理 4.4.9. N を (An)r の元 P~1, . . . , ~Pm の生成する (An)r の左部分 An-加群とする. Nh を (P~1)h, . . . ,(P~m)h の生成する (An[x0])r の左部分 An[x0]-加群として, Gh を Nh のH-順序に関するグレブナ基底であって, F-斉次なものからなるものとする. このとき G:= {P~(1) | P~(x0)∈ Gh} は, P~1, . . . , ~Pm の生成する (D0)r の左部分 D0-加群 N の D-順序に関するグレブナ基底である.
証明: 2段階に分けて証明する. 以下 Gh ={Q~1(x0), . . . , ~Qs(x0)}とおく.
(第1段階) G が N を(D0 上)生成すること: 各 Q~k(x0) は Nh の元だから, 適当な Rk1(x0), . . . , Rkm(x0)∈An[x0]によって
Q~k(x0) = Rk1(x0)(P~1)h(x0) +· · ·+Rkm(x0)(P~m)h(x0) と表わされる. この両辺に x0 = 1 を代入して
Q~k(1) =Rk1(1)P~1+· · ·+Rkm(1)P~m ∈N
を得る. 次に各 k に対して (P~k)h ∈ Nh だから, 適当な Tk1(x0), . . . , Tks(x0) ∈ An[x0] に よって
(P~k)h(x0) =Tk1(x0)Q~1(x0) +· · ·+Tks(x0)Q~s(x0) と書ける. これに x0 = 1 を代入して
P~k =Tk1(1)Q~1(1) +· · ·+Tks(1)Q~s(1)
を得るから,P~k は Gの元の An-係数の一次結合で表わされる. N は P~1, . . . , ~Ps が D0 上 生成する (D0)r の部分加群であったから,N は D0 上 Gで生成される.
(第2段階) lexpH(Q~k) = (µk, α(k), β(k), ik)として,
Sij(x0) := lcoefH(Q~j)x0µi∨µj−µixα(i)∨α(j)−α(i)∂β(i)∨β(j)−β(i) とおけば,仮定によってF-斉次な Rijk(x0)∈An[x0] が存在して
Sij(x0)Q~i(x0)−Sji(x0)Q~j(x0) =
∑s k=1
Rijk(x0)Q~k(x0), lexpH(Rijk(x0)Q~k(x0))≺H lexpH(Q~i(x0))∨lexpH(Q~j(x0)) が成立する. これにx0 = 1 を代入すれば, 補題4.4.8によって
Sij(1)Q~i(1)−Sji(1)Q~j(1) =
∑s k=1
Rijk(1)Q~k(1), lexpD(Rijk(1)Q~k(1))≺D lexpD(Q~i(1))∨lexpD(Q~j(1)) を得る.
Sij(1)Q~i(1)−Sji(1)Q~j(1) = spD(P~i, ~Pj)
だから,定理4.2.15により,G は N のD-順序に関するグレブナ基底である. 2 次の系は上記の定理の証明と定理4.2.18から直ちにわかる:
系 4.4.10. 定理4.4.9 と同じ仮定の下で,定理4.4.9の証明と同じ記号を用いて V~ij := (0, . . . ,
(i)
Sij(1), . . . ,
(j)
Sji(1), . . . ,0)−(Rij1(1), . . . , Rijs(1)) とおけば, 1次シジジー加群
{(U1, . . . , Us)∈(D0)s |U1Q~1(1) +· · ·+UsQ~s(1) = 0} は D0 上 {V~ij |i < j, lpD(Q~i(1)) = lpD(Q~j(1))} で生成される.
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