Simons の不等式

4.4. Simonsの不等式 93

によって双線形写像

B(A) :T^⊥M ×T^⊥M →End(Sym(T M)) が定まる。T^⊥Mの正規直交基底ξ₁, . . . , ξ_rをとり、

tr(B(A)) =X

a

B(A)(ξ_a, ξ_a) = X

a

ad(A_ξa)◦ad(A_ξa)

によってtr(B(A))を定めると、tr(B(A))はSym(Sym(T M))のC^∞級断面になり、

半正定値になる。

証明 adの定め方より、x, y ∈T Mに対して

h[s1,[s2, s3]]x, yi = h(s1(s2s3−s3s2)−(s2s3−s3s2)s1)x, yi

= hx,(s₃s₂s₁−s₂s₃s₁−s₁s₃s₂+s₁s₂s₃)yi

= hx,(−(s₂s₃−s₃s₂)s₁+s₁(s₂s₃−s₃s₂))yi

= hx,[s₁,[s₂, s₃]]yi.

したがって、ad(s1)◦ad(s₂)(s₃) = [s₁,[s₂, s₃]]∈Sym(T M)が成り立つ。

B(A)の定義式

B(A)(ξ, η) = ad(A_ξ)◦ad(A_η)∈End(Sym(T M)) (ξ, η ∈T^⊥M) より、写像

B(A) :T^⊥M ×T^⊥M →End(Sym(T M))

は双線形写像になる。tr(B(A))∈Sym(Sym(T M))を示すために、まず、s ∈Sym(T M) とt₁, t₂ ∈End(T M)に対して

h[s, t₁], t₂i=ht₁,[s, t₂]i が成り立つことを示す。

h[s, t₁], t₂i = hst₁−t₁s, t₂i= tr((st₁−t₁s)^∗t₂) = tr((t^∗₁s−st^∗₁)t₂)

= tr(t^∗₁st₂−st^∗₁t₂) = tr(t^∗₁st₂−t^∗₁t₂s) = tr(t^∗₁[s, t₂])

= ht1,[s, t2]i

以上より、s ∈Sym(T M)に対してad(s)はEnd(T M)の対称線形変換になる。こ れより、s, t ∈Sym(T M)に対して

htr(B(A))s, ti=X

a

had(A_ξa)ad(A_ξa)s, ti=X

a

had(A_ξa)s,ad(A_ξa)ti.

したがって、tr(B(A))はSym(Sym(T M))のC^∞級断面になり、半正定値になる。

4.4. Simonsの不等式 95 補題 4.4.3 T M の正規直交基底e₁, . . . , e_nをとり、x, y ∈ T M とξ ∈ T^⊥M に対 して、

hR˜⁰_ξ(x), yi=X

i

(h( ˜∇^xR)(e˜ _i, y)e_i, ξi+h( ˜∇^eiR)(e˜ _i, x)y, ξi) によってR˜⁰を定めると、R˜⁰はL(T^⊥M,Sym(T M))のC^∞級断面になる。

証明 R˜⁰の定め方は正規直交基底e1, . . . , enのとり方によらず、L(T^⊥M,End(T M)) のC^∞級断面になることはすぐにわかる。

R˜⁰の定義式の第一項に第2 Bianchiの恒等式(定理3.5.3(5))を使い、第二項に第 1 Bianchiの恒等式(定理3.5.3(2))を使うと、

hR˜⁰_ξ(x), yi = X

i

(h( ˜∇^xR)(e˜ _i, y)e_i, ξi+h( ˜∇^eiR)(e˜ _i, x)y, ξi)

= −X

i

(h( ˜∇eiR)(y, x)e˜ _i, ξi+h( ˜∇yR)(x, e˜ _i)e_i, ξi)

−X

i

(h( ˜∇^eiR)(x, y)e˜ _i, ξi+h( ˜∇^eiR)(y, e˜ _i)x, ξi)

= X

i

(h( ˜∇^yR)(e˜ _i, x)e_i, ξi+h( ˜∇^eiR)(e˜ _i, y)x, ξi)

= hR˜_ξ⁰(y), xi

を得る。したがって、R˜_ξ⁰ はT Mの対称線形変換になり、R˜⁰はL(T^⊥M,Sym(T M)) のC^∞級断面になる。

補題 4.4.4 T M の正規直交基底e₁, . . . , e_nをとり、x, y ∈ T M とξ ∈ T^⊥M に対 して、

hR(A)˜ ξ(x), yi = X

i

(2hR(e˜ i, y)h(x, ei), ξi+ 2hR(e˜ i, x)h(y, ei), ξi

−hAξ(x),R(e˜ i, y)eii − hAξ(y),R(e˜ i, x)eii +hR(e˜ _i, h(x, y))e_i, ξi −2hA_ξ(e_i),R(e˜ _i, x)yi)

によってR(A)˜ を定めると、R(A)˜ はL(T^⊥M,Sym(T M))のC^∞級断面になる。

証明 R(A)˜ の定め方は正規直交基底e₁, . . . , e_nのとり方によらず、L(T^⊥M,End(T M)) のC^∞級断面になることはすぐにわかる。

以下で、R(A)˜ の定義式におけるxとyに関する対称性を示す。定義式の第一項 と第二項は、xとyをとりかえると入れ代わる。定義式の第三項と第四項も、xと yをとりかえると入れ代わる。第五項は第二基本形式の対称性から、xとyに関し て対称になっている。第六項もxとyに関して対称になっていることを示す。第1 Bianchiの恒等式(定理3.5.3(2))より、

hAξ(ei),R(e˜ i, x)yi = −hAξ(ei),R(x, y)e˜ ii − hAξ(ei),R(y, e˜ i)xi

= −hA_ξ(e_i),R(x, y)e˜ _ii+hA_ξ(e_i),R(e˜ _i, y)xi.

ここで、Aξは対称線形変換であり、R(x, y)˜ は交代線形変換だから、

hA_ξ(e_i),R(x, y)e˜ _ii = 1

2(he_i, A_ξR(x, y)e˜ _ii − hR(x, y)A˜ _ξ(e_i), e_ii)

= 1

2he_i,[A_ξ,R(x, y)]e˜ _ii. さらに、 X

i

he_i,[A_ξ,R(x, y)]e˜ _ii= tr([A_ξ,R(x, y)]) = 0˜ となり、

X

i

hA_ξ(e_i),R(e˜ _i, x)yi = X

i

(−hA_ξ(e_i),R(x, y)e˜ _ii+hA_ξ(e_i),R(e˜ _i, y)xi)

= X

i

hA_ξ(e_i),R(e˜ _i, y)xi.

よって、第六項もxとyに関して対称になっている。したがって、R(A)˜ _ξはT M の対称線形変換になり、R(A)˜ はL(T^⊥M,Sym(T M))のC^∞級断面になる。

定理 4.4.5 (Simons) MをM˜ の極小部分多様体と仮定する。今までと同様にし て∇¯A,∇¯²Aを定め、T Mの正規直交基底e₁, . . . , e_nをとり、

tr( ¯∇²A) = X

i

∇¯ei∇¯eiA

とおくと、

tr( ¯∇²A) =−A◦A^∗ ◦A−tr(B(A))◦A+ ˜R(A) + ˜R⁰ が成り立つ。

定理の証明をする前にいくつかの準備をしておく。

補題 4.4.6 M の点pとT_p^⊥M の正規直交基底ξ₁, . . . , ξ_rをとると、u, v, z ∈ T_pM に対して

Q^T(u, v)z =X

a

(hA_ξa(v), ziA_ξa(u)− hA_ξa(u), ziA_ξa(v)) が成り立つ。

4.4. Simonsの不等式 97 証明 Q^T の定義(補題4.2.6)と補題4.1.4より、任意のw∈TpMに対して、

hQ^T(u, v)z, wi

= hh(u, w), h(v, z)i − hh(u, z), h(v, w)i

= X

a

(hh(u, w), ξ_aihh(v, z), ξ_ai − hh(u, z), ξ_aihh(v, w), ξ_ai)

= X

a

(hAξa(u), wihAξa(v), zi − hAξa(u), zihAξa(v), wi)

=

*X

a

(hA_ξa(v), ziA_ξa(u)− hA_ξa(u), ziA_ξa(v)), w +

. これが任意のwについて成り立つので、

Q^T(u, v)z =X

a

(hAξa(v), ziAξa(u)− hAξa(u), ziAξa(v)) を得る。

補題 4.4.7 Mのベクトル場S, T, U, V に対して

( ¯R(U, V)h)(S, T) =R^⊥(U, V)(h(S, T))−h(R(U, V)S, T)−h(S, R(U, V)T) とおくと、

( ¯∇U∇¯Vh)(S, T)−( ¯∇V∇¯Uh)(S, T) = ( ¯R(U, V)h)(S, T) が成り立つ。

証明 左辺の第一項は、

( ¯∇U∇¯Vh)(S, T)

= ∇^⊥U(( ¯∇Vh)(S, T))−( ¯∇∇UV)(S, T)−( ¯∇V)(∇US, T)−( ¯∇V)(S,∇UT)

= ∇^⊥U(∇^⊥V(h(S, T))−h(∇^VS, T)−h(S,∇^VT))

−∇^⊥_∇UV(h(S, T)) +h(∇∇UVS, T) +h(S,∇∇UVT)

−∇^⊥V(h(∇^US, T)) +h(∇^V∇^US, T) +h(∇^US,∇^VT)

−∇^⊥V(h(S,∇^UT)) +h(∇^VS,∇^UT) +h(S,∇^V∇^UT).

これのU とV を入れ変えた項を引き、∇^UV − ∇^VU = [U, V]を使うと、Ricciの

公式(定理3.5.6)の証明と同様にして、

( ¯∇^U∇¯^Vh)(S, T)−( ¯∇^V∇¯^Uh)(S, T) = ( ¯R(U, V)h)(S, T) を得る。

補題 4.4.8 M をM˜ の極小部分多様体と仮定する。T Mの正規直交基底e₁, . . . , e_n をとると、M の接ベクトルzに対して

X

i

( ¯∇^eih)(e_i, z) = X

i

( ˜R(e_i, z)e_i)^⊥ が成り立つ。

証明 Codazziの方程式(命題4.2.3)より、

X

i

( ¯∇eih)(e_i, z) = X

i

( ¯∇eih)(z, e_i) =X

i

(( ¯∇zh)(e_i, e_i) + ( ˜R(e_i, z)e_i)^⊥).

ここで、Mが極小部分多様体であるという仮定より、

X

i

( ¯∇^zh)(ei, ei) = ¯∇^z ÃX

i

h(ei, ei)

!

= 0

となるので補題を得る。

定理4.4.5の証明 M の任意の点pをとり、pで等式の成り立つことを示す。

T_pM の正規直交基底e₁, . . . , e_nと任意の元x, y ∈ T_pM をとり、pの近傍上のベク トル場E₁, . . . , E_n, X, Y に拡張する。その際、任意のz ∈T_pMに対して、

∇^zE₁ =· · ·=∇^zE_n=∇^zX =∇^zY = 0 となるように拡張することができる。

補題 4.4.9

tr( ¯∇²h)(x, y)

= X

i

(( ¯R(e_i, x)h)(e_i, y) + ( ˜∇x( ˜R(E_i, Y)E_i)^⊥)^⊥+ ( ˜∇ei( ˜R(E_i, X)Y)^⊥)^⊥).

証明 以下の計算はすべて点pで値をとる。

tr( ¯∇²h)(x, y)

= X

i

( ¯∇^ei∇¯^eih)(x, y) =X

i

∇^⊥ei(( ¯∇^Eih)(X, Y))

= X

i

∇^⊥ei(( ¯∇^Xh)(E_i, Y) + ( ˜R(E_i, X)Y)^⊥) (Codazziの方程式)

= X

i

(( ¯∇Ei∇¯Xh)(E_i, Y) +∇^⊥ei( ˜R(E_i, X)Y)^⊥)

= X

i

(( ¯R(e_i, x)h)(e_i, y) + ( ¯∇^X∇¯^Eih)(E_i, Y) +∇^⊥ei( ˜R(E_i, X)Y)^⊥) (補題4.4.7)

4.4. Simonsの不等式 99

= X

i

(( ¯R(e_i, x)h)(e_i, y) +∇^⊥X(( ¯∇Eih)(E_i, Y)) +∇^⊥ei( ˜R(E_i, X)Y)^⊥)

= X

i

(( ¯R(e_i, x)h)(e_i, y) +∇^⊥X( ˜R(E_i, Y)E_i)^⊥+∇^⊥ei( ˜R(E_i, X)Y)^⊥) (補題4.4.8)

= X

i

(( ¯R(e_i, x)h)(e_i, y) + ( ˜∇^x( ˜R(E_i, Y)E_i)^⊥)^⊥+ ( ˜∇^ei( ˜R(E_i, X)Y)^⊥)^⊥).

補題4.4.9の右辺の各項を調べる。

補題 4.4.10 X

i

( ¯R(e_i, x)h)(e_i, y) = X

i

n

( ˜R(e_i, x)(h(e_i, y)))^⊥+Q^⊥(e_i, x)(h(e_i, y))

−h(( ˜R(e_i, x)e_i)^T, y)−h(Q^T(e_i, x)e_i, y)

−h(e_i,( ˜R(e_i, x)y)^T)−h(e_i, Q^T(e_i, x)y) o

.

証明 補題4.4.7で定めたR¯の第二基本形式への作用の定義と、Gaussの方程式

の言い換え(補題4.2.6)、Ricciの方程式の言い換え(補題4.2.7)より、

X

i

( ¯R(e_i, x)h)(e_i, y)

= X

i

©R^⊥(e_i, x)(h(e_i, y))−h(R(e_i, x)e_i, y)−h(e_i, R(e_i, x)y)ª

= X

i

n

( ˜R(e_i, x)(h(e_i, y)))^⊥+Q^⊥(e_i, x)(h(e_i, y))

−h(( ˜R(e_i, x)e_i)^T, y)−h(Q^T(e_i, x)e_i, y)

−h(e_i,( ˜R(e_i, x)y)^T)−h(e_i, Q^T(e_i, x)y)o . 補題 4.4.11

X

i

( ˜∇^x( ˜R(E_i, Y)E_i)^⊥)^⊥

= X

i

n

(( ˜∇^xR)(e˜ _i, y)e_i)^⊥+ ( ˜R(h(x, e_i), y)e_i)^⊥+ ( ˜R(e_i, h(x, y))e_i)^⊥ +( ˜R(e_i, y)(h(x, e_i)))^⊥−h(x,( ˜R(e_i, y)e_i)^T)o

. 証明

X

i

( ˜∇^x( ˜R(E_i, Y)E_i)^⊥)^⊥

= X

i

n

( ˜∇^x( ˜R(E_i, Y)E_i))^⊥−( ˜∇^x( ˜R(E_i, Y)E_i)^T)^⊥o

= X

i

n

(( ˜∇^xR)(E˜ _i, Y)E_i))^⊥+ ( ˜R( ˜∇^xE_i, Y)E_i)^⊥+ ( ˜R(E_i,∇˜^xY)E_i)^⊥ +( ˜R(Ei, Y) ˜∇^xEi)^⊥−h(x,( ˜R(ei, y)ei)^T)

o

. (Gaussの公式) ここで、Gaussの公式より、

∇˜^xEi = ∇^xEi+h(x, Ei) =h(x, ei)

∇˜xY = ∇xY +h(x, Y) =h(x, y) となるので

X

i

( ˜∇^x( ˜R(E_i, Y)E_i)^⊥)^⊥

= X

i

n

(( ˜∇^xR)(e˜ _i, y)e_i)^⊥+ ( ˜R(h(x, e_i), y)e_i)^⊥+ ( ˜R(e_i, h(x, y))e_i)^⊥ +( ˜R(ei, y)(h(x, ei)))^⊥−h(x,( ˜R(ei, y)ei)^T)

o . を得る。

補題 4.4.12 X

i

( ˜∇ei( ˜R(E_i, X)Y)^⊥)^⊥

= X

i

n

(( ˜∇^eiR)(e˜ _i, x)y)^⊥+ ( ˜R(e_i, h(e_i, x))y)^⊥+ ( ˜R(e_i, x)(h(e_i, y)))^⊥

−h(e_i,( ˜R(e_i, x)y)^T)o . 証明

X

i

( ˜∇^ei( ˜R(E_i, X)Y)^⊥)^⊥

= X

i

n

( ˜∇^ei( ˜R(E_i, X)Y))^⊥−( ˜∇^ei( ˜R(E_i, X)Y)^T)^⊥o

= X

i

n

(( ˜∇^eiR)(E˜ i, X)Y))^⊥+ ( ˜R( ˜∇^eiEi, X)Y)^⊥+ ( ˜R(Ei,∇˜^eiX)Y)^⊥ +( ˜R(E_i, X) ˜∇eiY)^⊥−h(e_i,( ˜R(e_i, x)y)^T)

o

. (Gaussの公式) ここで、Gaussの公式とM が極小部分多様体であるという仮定より、

X

i

∇˜eiE_i = X

i

(∇eiE_i+h(e_i, E_i)) =X

i

h(e_i, e_i) = 0

∇˜^eiX = ∇^eiX+h(ei, X) =h(ei, x)

∇˜eiY = ∇eiY +h(e_i, Y) = h(e_i, y)

4.4. Simonsの不等式 101 となるので

X

i

( ˜∇^ei( ˜R(E_i, X)Y)^⊥)^⊥

= X

i

n

(( ˜∇^eiR)(e˜ i, x)y)^⊥+ ( ˜R(ei, h(ei, x))y)^⊥+ ( ˜R(ei, x)(h(ei, y)))^⊥

−h(e_i,( ˜R(e_i, x)y)^T) o

. を得る。

補題 4.4.13 ξ∈T_p^⊥Mに対して、次の等式が成り立つ。

htr( ¯∇²h)(x, y), ξi

= hR(A)˜ ξ(x), yi+hR˜⁰_ξ(x), yi

+X

i

(hQ^⊥(e_i, x)(h(e_i, y)), ξi − hh(Q^T(e_i, x)e_i, y), ξi − hh(e_i, Q^T(e_i, x)y), ξi).

証明 補題4.4.9に補題4.4.11、補題4.4.12、補題4.4.10の結果を代入し、補題 4.1.4、第1 Bianchiの恒等式(定理3.5.3(2))、R˜⁰の定義(補題4.4.3)とR(A)˜ の定義 (補題4.4.4)を使うと、

htr( ¯∇²h)(x, y), ξi

= X

i

h( ¯R(ei, x)h)(ei, y), ξi+X

i

h( ˜∇^x( ˜R(Ei, Y)Ei)^⊥)^⊥, ξi

+X

i

h( ˜∇ei( ˜R(E_i, X)Y)^⊥)^⊥, ξi

= X

i

DR(e˜ _i, x)(h(e_i, y)) +Q^⊥(e_i, x)(h(e_i, y))

−h(( ˜R(e_i, x)e_i)^T, y)−h(Q^T(e_i, x)e_i, y)

−h(e_i,( ˜R(e_i, x)y)^T)−h(e_i, Q^T(e_i, x)y), ξE

+X

i

D

( ˜∇^xR)(e˜ _i, y)e_i+ ˜R(h(x, e_i), y)e_i+ ˜R(e_i, h(x, y))e_i + ˜R(ei, y)(h(x, ei))−h(x,( ˜R(ei, y)ei)^T), ξ

E

+X

i

D

( ˜∇eiR)(e˜ _i, x)y+ ˜R(e_i, h(e_i, x))y+ ˜R(e_i, x)(h(e_i, y))

−h(e_i,( ˜R(e_i, x)y)^T), ξE

= hR˜⁰_ξ(x), yi

+X

i

nhR(e˜ _i, x)(h(e_i, y)), ξi − hA_ξ(y),R(e˜ _i, x)e_ii − hA_ξ(e_i),R(e˜ _i, x)yi

+hR(h(x, e˜ _i), y)e_i, ξi+hR(e˜ _i, h(x, y))e_i, ξi+hR(e˜ _i, y)(h(x, e_i)), ξi

−hA_ξ(x),R(e˜ _i, y)e_ii+hR(e˜ _i, h(e_i, x))y, ξi+hR(e˜ _i, x)(h(e_i, y)), ξi

−hA_ξ(e_i),R(e˜ _i, x)yio

+X

i

©hQ^⊥(ei, x)(h(ei, y)), ξi − hh(Q^T(ei, x)ei, y), ξi − hh(ei, Q^T(ei, x)y), ξiª

= hR˜⁰_ξ(x), yi+hR(A)˜ _ξ(x), yi

+X

i

©hQ^⊥(e_i, x)(h(e_i, y)), ξi − hh(Q^T(e_i, x)e_i, y), ξi − hh(e_i, Q^T(e_i, x)y), ξiª .

Q^T またはQ^⊥を含む項を以下で調べる。

補題 4.4.14 ξ₁, . . . , ξ_rをT_p^⊥Mの正規直交基底とすると、次の等式が成り立つ。

X

i

hQ^⊥(ei, x)(h(ei, y)), ξi=X

a

hAξa ◦[Aξ, Aξa](x), yi.

証明 Q^⊥の定義(補題4.2.7)、Q^⊥(e_i, x)∈Alt(T^⊥M)と補題4.1.4より、

X

i

hQ^⊥(e_i, x)(h(e_i, y)), ξi=−X

i

hQ^⊥(e_i, x)ξ, h(e_i, y)i

= −X

i

X

a

hQ^⊥(e_i, x)ξ, ξ_aihh(e_i, y), ξ_ai

= −X

i

X

a

h[A_ξ, A_ξa](e_i), xihA_ξa(y), e_ii

= X

i

X

a

h[A_ξ, A_ξa](x), e_iihA_ξa(y), e_ii

= X

a

h[A_ξ, A_ξa](x), A_ξa(y)i=X

a

hA_ξa ◦[A_ξ, A_ξa](x), yi. 補題 4.4.15

−X

i

hh(Q^T(e_i, x)e_i, y), ξi=−X

a

hA_ξA_ξaA_ξa(x), yi 証明 補題4.1.4と補題4.4.6より、

−X

i

hh(Q^T(e_i, x)e_i, y), ξi=−X

i

hA_ξ(y), Q^T(e_i, x)e_ii

= X

i

X

a

hAξ(y),hAξa(ei), eiiAξa(x)− hAξa(x), eiiAξa(ei)i. ここで、Mは極小部分多様体だから、

X

i

hA_ξa(e_i), e_ii=X

i

hh(e_i, e_i), ξ_ai= 0

4.4. Simonsの不等式 103 となり、

−X

i

hh(Q^T(e_i, x)e_i, y), ξi=−X

i

X

a

hA_ξ(y), A_ξa(e_i)ihA_ξa(x), e_ii

= −X

i

X

a

hA_ξaA_ξ(y), e_iihA_ξa(x), e_ii=−X

a

hA_ξaA_ξ(y), A_ξa(x)i

= −X

a

hy, AξAξaAξa(x)i. 補題 4.4.16

−hh(e_i, Q^T(e_i, x)y), ξi=X

a

hA_ξaA_ξA_ξa(x), yi − hA_A∗◦A(ξ)(x), yi. 証明 補題4.1.4と補題4.4.6より、

−hh(e_i, Q^T(e_i, x)y), ξi

= −X

i

hAξ(ei), Q^T(ei, x)yi

= X

i

X

a

hA_ξ(e_i),hA_ξa(e_i), yiA_ξa(x)− hA_ξa(x), yiA_ξa(e_i)i

= X

i

X

a

(hA_ξ(e_i), A_ξa(x)ihA_ξa(e_i), yi − hA_ξ(e_i), A_ξa(e_i)ihA_ξa(x), yi).

ここで、

X

i

hAξ(ei), Aξa(x)ihAξa(ei), yi=X

i

hei, AξAξa(x)ihei, Aξa(y)i

= hAξAξa(x), Aξa(y)i=hAξaAξAξa(x), yi. また、

X

i

hAξ(ei), Aξa(ei)i=hAξ, Aξai=hA(ξ), A(ξa)i=hA^∗◦A(ξ), ξai となるので、

−X

i

X

a

hA_ξ(e_i), A_ξa(e_i)ihA_ξa(x), yi = −X

a

hA^∗◦A(ξ), ξ_aihA_ξa(x), yi

= −­

A_A∗◦A(ξ)(x), y® . したがって、

−hh(ei, Q^T(ei, x)y), ξi=X

a

hAξaAξAξa(x), yi − hA_A∗◦A(ξ)(x), yi. を得る。

定理4.4.5の証明の続き 補題4.4.14、補題4.4.15、補題4.4.16で得た結果を補 題4.4.13の結果に代入すると、

htr( ¯∇²h)(x, y), ξi = hR(A)˜ _ξ(x), yi+hR˜⁰_ξ(x), yi

+X

a

hA_ξa◦[A_ξ, A_ξa](x), yi −X

a

hA_ξA_ξaA_ξa(x), yi

+X

a

hA_ξaA_ξA_ξa(x), yi − hA_A∗◦A(ξ)(x), yi

= hR(A)˜ _ξ(x), yi+hR˜⁰_ξ(x), yi

+X

a

(hA_ξa◦[A_ξ, A_ξa](x), yi − h[A_ξ, A_ξa]◦A_ξa(x), yi)

−hA_A∗◦A(ξ)(x), yi

= hR(A)˜ _ξ(x), yi+hR˜⁰_ξ(x), yi

+X

a

h[A_ξa,[A_ξ, A_ξa]](x), yi − hA_A∗◦A(ξ)(x), yi. ここで、

X

a

[A_ξa,[A_ξ, A_ξa]] = −X

a

ad(A_ξa)ad(A_ξa)(A_ξ)

= −tr(B(A))(A_ξ) となるので、

htr( ¯∇²h)(x, y), ξi

= hR(A)˜ ξ(x), yi+hR˜⁰_ξ(x), yi −tr(B(A))(Aξ)(x), yi − hAA^∗◦A(ξ)(x), yi. 補題4.1.4より、

hh(x, y), ξi=hA_ξ(x), yi だから、

h( ¯∇²h)(x, y), ξi=h( ¯∇²A)ξ(x), yi となり、

htr( ¯∇²h)(x, y), ξi=htr( ¯∇²A)_ξ(x), yi. したがって、

tr( ¯∇²A) =−A◦A^∗ ◦A−tr(B(A))◦A+ ˜R(A) + ˜R⁰ を得る。

系 4.4.17 M を曲率Kの定曲率空間M˜ のn次元極小部分多様体と仮定する。こ のとき、

tr( ¯∇²A) =nKA−A◦A^∗◦A−tr(B(A))◦A

4.4. Simonsの不等式 105 が成り立つ。さらに、Mの余次元が1のときは、

tr( ¯∇²A) =nKA− |A|²A が成り立つ。

証明 M˜ は曲率Kの定曲率空間だから、補題3.6.4より、

R(X, Y˜ )Z =K(hY, ZiX− hX, ZiY)

が成り立つ。よって、∇˜R˜ = 0となる。これより、定理4.4.5のtr( ¯∇²A)の表示の 中で、R˜⁰ = 0となる。次に、R(A)˜ を計算する。補題4.4.4とR˜の表示より、

hR(A)˜ _ξ(x), yi

= X

i

(2hR(e˜ _i, y)h(x, e_i), ξi+ 2hR(e˜ _i, x)h(y, e_i), ξi

−hA_ξ(x),R(e˜ _i, y)e_ii − hA_ξ(y),R(e˜ _i, x)e_ii +hR(e˜ _i, h(x, y))e_i, ξi −2hA_ξ(e_i),R(e˜ _i, x)yi)

= KX

i

(2hhy, h(x, e_i)ie_i− he_i, h(x, e_i)iy, ξi +2hhx, h(y, e_i)ie_i− he_i, h(y, e_i)ix, ξi

−hA_ξ(x),hy, e_iie_i− he_i, e_iiyi − hA_ξ(y),hx, e_iie_i− he_i, e_iixi

+hhh(x, y), eiiei− hei, eiih(x, y), ξi −2hAξ(ei),hx, yiei− hei, yixi)

= K(−hA_ξ(x), yi+nhA_ξ(x), yi − hA_ξ(y), xi+nhA_ξ(y), xi

−nhh(x, y), ξi −X

i

hA_ξ(e_i), e_iihx, yi+ 2X

i

hA_ξ(e_i), xihe_i, yi)

= KnhA_ξ(x), yi. (M は極小部分多様体だから X

i

hA_ξ(e_i), e_ii= 0) したがって、

tr( ¯∇²A) =nKA−A◦A^∗ ◦A−tr(B(A))◦A が成り立つ。

次に、Mの余次元が1の場合を考える。Mの各点で任意のξ∈T^⊥M はξ₁と線 形従属になるので、AξはA_ξ1と線形従属になり、

tr(B(A))◦A(ξ) = [A_ξ1,[A_ξ1, A_ξ]] = 0.

したがって、tr(B(A))◦A= 0となる。次に

hA^∗◦A(ξ1), ξ1i=hA(ξ1), A(ξ1)i=|A|² となるので、A^∗◦A(ξ₁) =|A|²ξ₁。よって、

A◦A^∗◦A(ξ₁) = |A|²A(ξ₁).

すなわち、A◦A^∗ ◦A =|A|²Aが成り立つ。以上より、

tr( ¯∇²A) = nKA− |A|²A が成り立つ。

補題 4.4.18 Mをn+r次元Riemann多様体内のn次元Rieamnn部分多様体とす ると、Mのシェイプ作用素Aは、

hA◦A^∗◦A+ tr(B(A))◦A, Ai ≤ µ

2−1 r

¶

|A|⁴ を満たす。

証明 補題4.4.1より、

A^∗◦A:T^⊥M →T^⊥M

は半正定値対称線形変換だから、非負固有値を持ち、対角化可能である。よって、

T_p^⊥M の正規直交基底ξ1. . . , ξrが存在し、

A^∗◦A(ξa) = λ²_aξa (1≤a≤r) となる。

hA◦A^∗ ◦A, Ai = X

a

hA◦A^∗◦A(ξ_a), A(ξ_a)i=X

a

λ²_ahA(ξ_a), A(ξ_a)i

= X

a

λ²_ahA^∗◦A(ξ_a), ξ_ai=X

a

λ⁴_a.

命題4.4.2の証明中示したように、s∈Sym(T M)に対してad(s)はEnd(T M)の 対称線形変換になることに注意して、B(A)の定義(命題4.4.2)を使うと、

htr(B(A))◦A, Ai=X

b

htr(B(A))◦A(ξ_b), A(ξ_b)i

= X

a,b

had(A_ξa)ad(A_ξa)A_ξb, A_ξbi=X

a,b

had(A_ξa)A_ξb,ad(A_ξa)A_ξbi

= X

a,b

|[A_ξa, A_ξb]|² =X

a6=b

|[A_ξa, A_ξb]|².

最後の|[A_ξa, A_ξb]|²を評価するために、次の補題を準備する。

補題 4.4.19 S ∈Sym(Rⁿ)とT ∈End(Rⁿ)に対して、

|[S, T]|² ≤2|S|²|T|² が成り立つ。

4.4. Simonsの不等式 107 証明 Sは対称だから、Sを対角化する正規直交基底をとることにより、Sは対 角行列であると仮定してよい。そこで、Sの対角成分をs_iとし、T = [t_ij]として おく。このとき、[S, T]の(i, j)成分は(s_i−s_j)t_ij になるので、

|[S, T]|² =X

i,j

(s_i −s_j)²t²_ij ≤max(s_i−s_j)²X

i,j

t²_ij = max(s_i−s_j)²|T|². ここで、(i, i)成分のみ1で他の成分は0になる行列をE_i で表し、(si0 −s_j0)² = max(s_i−s_j)²とすると、

max(s_i−s_j)² = (s_i0 −s_j0)² =hE_i0 −E_j0, Si² ≤2|S|². したがって、

|[S, T]|² ≤2|S|²|T|² が成り立つ。

補題4.4.18の証明の続き 補題4.4.19より、

htr(B(A))◦A, Ai=X

a6=b

|[A_ξa, A_ξb]|² ≤2X

a6=b

|A_ξa|²|A_ξb|² = 2X

a6=b

λ²_aλ²_b.

すでに得ている結果と合わせると、

hA◦A^∗◦A+ tr(B(A))◦A, Ai ≤ X

a

λ⁴_a+ 2X

a6=b

λ²_aλ²_b

= 2 ÃX

a

λ²_a

!2

−X

a

λ⁴_a. ここで、Cauchy-Schwarzの不等式より、

ÃX

a

λ²_a

!2

= ÃX

a

1·λ²_a

!2

≤X

b

1X

a

λ⁴_a=rX

a

λ⁴_a となるので、

1 r

ÃX

a

λ²_a

!2

≤X

a

λ⁴_a. 以上より、

hA◦A^∗◦A+ tr(B(A))◦A, Ai ≤ µ

2− 1 r

¶

|A|⁴ が成り立つ。

定義 4.4.20 θをn次元Riemann多様体M上の1次微分形式とする。∇θはM上 の(0,2)型テンソル場になり、

divθ = tr(∇θ) = Xn

i=1

(∇eiθ)(e_i)

によってM上のC^∞級関数divθを定める。ただし、e1, . . . , e_nはMの局所的な正 規直交ベクトル場である。divθをθの発散と呼ぶ。

補題 4.4.21 θをコンパクトRiemann多様体M 上の1次微分形式とすると、

Z

M

divθ = 0 が成り立つ。

証明 M が向き付け可能の場合は、M に向きを定め体積要素をvolとすると、

M上の関数fに対して Z

M

f = Z

M

fvol.

特に、 Z

M

divθ = Z

M

divθvol.

M が向き付け可能でない場合は、二重被覆写像π : ˜M → M で、M˜ が向き付け 可能なものが存在する。πによるM のRiemann計量のM への引き戻しはM˜ の

Riemann計量になり、πは局所的等長写像になる。M˜ の体積要素をvolで表すと、

M上の関数fに対して Z

M

f = 1 2

Z

M˜

f ◦πvol.

πは局所的等長写像になっているので、(divθ)◦π= div(π^∗θ)が成り立つので、

Z

M

divθ = 1 2

Z

M˜

divθ◦πvol = 1 2

Z

M˜

div(π^∗θ)vol.

が成り立つ。よって、補題を示すためには、Mが向きの付いたコンパクトRiemann 多様体の場合に示せば十分である。

M の任意の点xをとり、その近傍で定義された正の向きの正規直交ベクトル場 e₁, . . . , e_nを∇(ei)xe_j = 0を満たすようにとる。このとき、

[e_i, e_j]_x =∇(ei)xe_j − ∇(ej)xe_i = 0

となることに注意しておく。θi =θ(e_i)とおくと、点xにおいて divθ=X

i

(∇^eiθ)(e_i) =X

i

(∇^ei(θ(e_i))−θ(∇^eie_i)) = X

i

e_iθ_i

4.4. Simonsの不等式 109 となる。e¹, . . . , eⁿをe₁, . . . , e_nの双対基底とし、

∗θ = Xn

i=1

(−1)ⁱ⁺¹θ_ie¹∧ · · · ∧eˆⁱ∧ · · · ∧eⁿ

によって(n−1)次微分形式∗θを定める。∗θは正の向きの正規直交ベクトル場の とり方によらず、M 上の(n−1)次微分形式を定めることがわかる。(Mに向きが ないと∗θは定まらない。)さらに、点xでは

d(∗θ)(e₁, . . . , e_n) = Xn

i=1

(−1)ⁱ⁺¹e_i((∗θ)(e₁, . . . ,ˆe_i, . . . , e_n))

+X

j<k

(−1)^j+k(∗θ)([e_j, e_k], e₁, . . . ,eˆ_j, . . . ,eˆ_k, . . . , e_n)

= Xn

i=1

(−1)ⁱ⁺¹e_i(−1)ⁱ⁺¹θ_i = divθ.

よって

d(∗θ) = divθvol となり、Stokesの定理より

Z

M

divθvol = Z

M

d(∗θ) = 0.

定理 4.4.22 (Simonsの不等式) Mを定曲率1の(n+r)次元球面S^n+r(1)内のコ ンパクト極小部分多様体とする。このとき、M のシェイプ作用素Aは

Z

M

µ

|A|²− n 2−1/r

¶

|A|² ≥0 を満たす。

証明

θ(X) = h∇¯^XA, Ai (X ∈T M) によってM上の1次微分形式θを定める。定義より、

−htr( ¯∇²A), Ai=−X

i

h∇¯^ei∇¯^eiA, Ai

= −X

i

e_ih∇¯eiA, Ai+X

i

h∇¯∇eieiA, Ai+X

i

h∇¯eiA,∇¯eiAi

= −divθ+ trh∇¯A,∇¯Ai.

よって、補題4.4.21と補題4.4.18より、

0 ≤ Z

M

trh∇¯A,∇¯Ai= Z

M

divθ− Z

Mhtr( ¯∇²A), Ai

= −

Z

M

htr( ¯∇²A), Ai

= Z

M

(−n|A|²+hA◦A^∗◦A, Ai+htr(B(A))◦A, Ai)

≤

Z

M

½

−n|A|²+ µ

2−1 r

¶

|A|⁴

¾

= µ

2− 1 r

¶

Z

M

µ

|A|²− n 2−1/r

¶

|A|². したがって、不等式

Z

M

µ

|A|²− n 2−1/r

¶

|A|² ≥0 を得る。

系 4.4.23 定理4.4.22と同じ仮定のもとで、さらにM は連結であると仮定する。

このとき、|A|²の値に関して次のいずれか一つが成り立つ。

(1) ある点p∈Mが存在し、|A|²p > n 2−1/r。

(2) 恒等的に|A|² = 0が成り立つ、すなわち、M は全測地的球面Sⁿ(1)になる。

(3) 恒等的に|A|² = n

2−1/rが成り立つ。

証明 (1)を否定する。すなわち、すべての点で

|A|² ≤ n 2−1/r が成り立つと仮定する。

|A|²− n

2−1/r ≤0 となり、定理4.4.22より

0≥ Z

M

µ

|A|²− n 2−1/r

¶

|A|² ≥0,

すなわち、 Z

M

µ

|A|²− n 2−1/r

¶

|A|² = 0.

4.4. Simonsの不等式 111

定理4.4.22の証明中に示したことより、

Z

M

trh∇¯A,∇¯Ai= 0

となり、∇¯A = 0が成り立つ。よって、M 上の任意のベクトル場Xに対して X|A|² =XhA, Ai= 2h∇¯^XA, Ai= 0

となり、Mの連結性より、|A|²はM上定数になる。積分が0になることから µ

|A|²− n 2−1/r

¶

|A|² = 0 となり、恒等的に

|A|² = 0 または |A|² = n 2−1/r.

|A|² = 0のときは、Mは全測地的になり、M =Sⁿとなる。

命題 4.4.24 Mを曲率Kの定曲率空間内のn次元極小部分多様体とし、Mのシェ イプ作用素をAで表し、スカラー曲率をτで表すと、

τ =Kn(n−1)− |A|² が成り立つ。

証明 命題4.2.5より、

K(hY, ZihX, Wi − hX, ZihY, Wi)

=hR(X, Y)Z, Wi+hh(X, Z), h(Y, W)i − hh(X, W), h(Y, Z)i となるので、Mが極小部分多様体であることから、

τ = X

i,j

hR(e_i, e_j)e_j, e_ii

= X

i,j

(K(he_j, e_jihe_i, e_ii − he_i, e_jihe_i, e_ji)

−hh(e_i, e_j), h(e_j, e_i)i+hh(e_i, e_i), h(e_j, e_j)i)

= Kn(n−1)−X

i,j

hh(e_i, e_j), h(e_i, e_j)i. ここで、補題4.1.4より、

hAξa(ei), eji=hh(ei, ej), ξai=h^a_ij

ドキュメント内 II I Riemann 2003 (ページ 96-115)