テンソル場の共変微分

3.4. テンソル場の共変微分 53

(1) ∇Xはテンソル場の型を保ち、縮約と可換になる。さらに、テンソル場S, T に対して

∇^X(S⊗T) =∇^XS⊗T +S⊗ ∇^XT.

(2) C^∞級関数f に対して∇^Xf = Xf となり、ベクトル場Y に対しては∇^XY

はLevi-Civita接続による共変微分に一致する。

証明 まず、条件を満たす∇X が存在すると仮定する。(0,1)型テンソル場、す なわち1次微分形式ωと(1,0)型テンソル場、すなわちベクトル場Y に対して、

ω⊗Y の縮約は

C^(1,1)(ω⊗Y) = C^(1,1) µ

ω_iY^jdxⁱ⊗ ∂

∂x^j

¶

=ω_iYⁱ =ω(Y) となることに注意しておく。

(∇^Xω)(Y) = C^(1,1)(∇^Xω⊗Y)

= C^(1,1)(∇^X(ω⊗Y)−ω⊗ ∇^XY)

= ∇XC^(1,1)(ω⊗Y)−ω(∇XY)

= ∇X(ω(Y))−ω(∇XY)

= X(ω(Y))−ω(∇^XY).

よって、

(∇^Xω)(Y) =X(ω(Y))−ω(∇^XY)

となり、これによって∇^Xωが一意的に定まることがわかる。以上より、(0,0)型 テンソル場、(1,0)型テンソル場、(0,1)型テンソル場への∇^X の作用が一意的に 定まる。

(p, q)型テンソル場T の場合を考える。1次微分形式ω¹, . . . , ω^p とベクトル場 X₁, . . . , X_qをとる。Cで全成分に関する縮約を表すと、

C(T ⊗ω¹⊗ · · · ⊗ω^p⊗X₁⊗ · · · ⊗X_q) =T(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q) となることに注意しておく。

(∇^XT)(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q)

= C(∇^XT ⊗ω¹⊗ · · · ⊗ω^p⊗X₁⊗ · · · ⊗X_q)

= C¡

∇^X(T ⊗ω¹⊗ · · · ⊗ω^p ⊗X1⊗ · · · ⊗Xq)

− Xp

i=1

T ⊗ω¹⊗ · · · ⊗ ∇^Xωⁱ⊗ · · · ⊗ω^p⊗X₁ ⊗ · · · ⊗X_q

− Xq j=1

T ⊗ω¹⊗ · · · ⊗ω^p⊗X₁⊗ · · · ⊗ ∇XX_j ⊗ · · · ⊗X_q

!

3.4. テンソル場の共変微分 55

= X(T(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q))

− Xp

i=1

T(ω¹, . . . ,∇^Xωⁱ, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q)

− Xq

j=1

T(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . ,∇XX_j, . . . , X_q).

これによって∇XT が一意的に定まることがわかる。

逆に、一意性を示した等式で∇^X の作用を定めることにより、対応T 7→ ∇^XT を定める。この対応が条件を満たすことを以下で示す。

C^∞級関数fに対して

(∇^Xω)(f Y) = X(ω(f Y))−ω(∇^X(f Y))

= X(f ω(Y))−ω((Xf)Y +f∇^XY)

= (Xf)ω(Y) +f X(ω(Y))−(Xf)ω(Y)−f ω(∇XY)

= f(∇Xω)(Y)

となるので、∇^Xωは(0,1)型テンソル場になる。

さらに

∇:C^∞(T M)×C^∞(T^(0,1)M)→C^∞(T^(0,1)M); (X, ω)7→ ∇Xω

はT^(0,1)M上の線形接続になることを示しておく。加法の分解は明らかだから、関

数倍に関する性質を調べる。

(∇^{f X}ω)(Y) = f X(ω(Y))−ω(∇^{f X}Y)

= f X(ω(Y))−f ω(∇XY)

= f(∇Xω)(Y) より、

∇^{f X}ω =f∇^Xω.

次に

(∇^X(f ω))(Y) = X(f ω(Y))−f ω(∇^XY)

= (Xf)ω(Y) +f X(ω(Y))−f ω(∇^XY)

= (Xf)ω(Y) +f(∇^Xω)(Y)

= ((Xf)ω+f(∇^Xω))(Y) より、

∇X(f ω) = (Xf)ω+f(∇Xω).

したがって、∇はT^(0,1)M 上の線形接続になる。

(p, q)型テンソル場T に対して、∇^XT も(p, q)型テンソル場になることを示す。

上で示したことより、

∇X(f ω^k) = (Xf)ω^k+f∇Xω^k が成り立つことに注意する。

(∇XT)(ω¹, . . . , f ω^k, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q)

= X(f T(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q))

−f Xp

i=1

T(ω¹, . . . ,∇^Xωⁱ, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q)

−(Xf)T(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q)

−f Xq

j=1

T(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . ,∇XX_j, . . . , X_q)

= f(∇XT)(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q).

また、

(∇^XT)(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , f X_l, . . . , X_q)

= X(f T(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q))

−f Xp

i=1

T(ω¹, . . . ,∇^Xωⁱ, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q)

−f Xq

j=1

T(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . ,∇XX_j, . . . , X_q)

−(Xf)T(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q)

= f(∇^XT)(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q).

以上より、∇^XT は(p, q)型テンソル場になる。

(p, q)型テンソル場Sと(r, s)型テンソル場T に対して、

∇X(S⊗T)(ω¹, . . . , ω^p+r, X₁, . . . , X_q+s)

= X((S⊗T)(ω¹, . . . , ω^p+r, X₁, . . . , X_q+s))

− Xp+r

i=1

(S⊗T)(ω¹, . . . ,∇^Xωⁱ, . . . , ω^p+r, X₁, . . . , X_q+s)

− Xq+s

j=1

(S⊗T)(ω¹, . . . , ω^p+r, X₁, . . . ,∇XX_j, . . . , X_q+s)

= X(S(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q)T(ω^p+1, . . . , ω^p+r, X_q+1, . . . , X_q+s))

3.4. テンソル場の共変微分 57

− Xp

i=1

S(ω¹, . . . ,∇Xωⁱ, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q)T(ω^p+1, . . . , ω^p+r, X_q+1, . . . , X_q+s)

− Xp+r i=p+1

S(ω¹, . . . , ω^p, X1, . . . , Xq)T(ω^p+1, . . . ,∇^Xωⁱ, . . . , ω^p+r, Xq+1, . . . , Xq+s)

− Xq

j=1

S(ω¹, . . . , ω^p, X1, . . . ,∇^XXj, . . . , Xq)T(ω^p+1, . . . , ω^p+r, Xq+1, . . . , Xq+s)

− Xq+s j=q+1

S(ω¹, . . . , ω^p, X1, . . . , Xq)T(ω^p+1, . . . , ω^p+r, Xq+1, . . . ,∇^XXj, . . . , Xq+s)

= (∇^XS)(ω¹, . . . , ω^p, X1, . . . , Xq)T(ω^p+1, . . . , ω^p+r, Xq+1, . . . , Xq+s) +S(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q)(∇XT)(ω^p+1, . . . , ω^p+r, X_q+1, . . . , X_q+s)

= (∇XS⊗T +S⊗ ∇XT)(ω¹, . . . , ω^p+r, X₁, . . . , X_q+s).

したがって、

∇^X(S⊗T) = ∇^XS⊗T +S⊗ ∇^XT が成り立つ。

∇^Xと縮約の可換性を調べる。T を(p, q)型テンソル場とする。

(C^(r,s)T)(ω¹, . . . , ω^p−1, X₁, . . . , X_q−1) = T(ω¹, . . . ,

r

^

dx^a . . . , ω^p−1, X₁, . . . ,

s

^

∂_a . . . , X_q−1) となることに注意すると、

(C^(r,s)∇^XT)(ω¹, . . . , ω^p−1, X1, . . . , Xq−1)

= (∇XT)(ω¹, . . . ,

r

^

dx^a . . . , ω^p−1, X₁, . . . ,

s

^

∂_a . . . , X_q−1)

= X(T(ω¹, . . . ,

r

^

dx^a . . . , ω^p−1, X₁, . . . ,

s

^

∂_a . . . , X_q−1))

−

p−1

X

i=1

T(ω¹, . . . ,∇Xωⁱ, . . . ,

r

^

dx^a . . . , ω^p−1, X₁, . . . ,

s

^

∂_a . . . , X_q−1)

−T(ω¹, . . . ,

r

^

∇X(dx^a). . . , ω^p−1, X₁, . . . ,

s

^

∂_a . . . , X_q−1)

−

q−1

X

j=1

T(ω¹, . . . ,

r

^

dx^a . . . , ω^p−1, X₁, . . . ,∇^XX_j, . . . ,

s

^

∂_a. . . , X_q−1)

−T(ω¹, . . . ,

r

^

dx^a . . . , ω^p−1, X1, . . . ,

s

∇^X^∂a . . . , Xq−1).

ここで、

∇X∂_a=X^bΓ^c_ba∂_c

であり、

∇^X(dx^a)(∂_c) = X(dx^a(∂_c))−dx^a(∇^X∂_c)

= −dx^a(X^bΓ^d_bc∂d)

= −X^bΓ^a_bc となるので、

∇X(dx^a) =−X^bΓ^a_bcdx^c. これらより、

−T(ω¹, . . . ,

r

^

∇^X(dx^a). . . , ω^p−1, X₁, . . . ,

s

^

∂_a. . . , X_q−1)

−T(ω¹, . . . ,

r

^

dx^a . . . , ω^p−1, X₁, . . . ,

s

∇X^∂_a . . . , X_q−1)

= X^bΓ^a_bcT(ω¹, . . . ,

r

^

dx^c, . . . , ω^p−1, X₁, . . . ,

s

^

∂_a. . . , X_q−1)

−X^bΓ^c_baT(ω¹, . . . ,

r

^

dx^a . . . , ω^p−1, X1, . . . ,

s

^

∂c . . . , Xq−1)

= 0.

よって、

(C^(r,s)∇XT)(ω¹, . . . , ω^p−1, X₁, . . . , X_q−1)

= X(T(ω¹, . . . ,

r

^

dx^a. . . , ω^p−1, X₁, . . . ,

s

^

∂_a. . . , X_q−1))

−

p−1

X

i=1

T(ω¹, . . . ,∇Xωⁱ, . . . ,

r

^

dx^a. . . , ω^p−1, X₁, . . . ,

s

^

∂_a. . . , X_q−1)

−

q−1

X

j=1

T(ω¹, . . . ,

r

^

dx^a. . . , ω^p−1, X₁, . . . ,∇^XX_j, . . . ,

s

^

∂_a . . . , X_q−1)

= X((C^(r,s)T)(ω¹, . . . , ω^p−1, X₁, . . . , X_q−1))

−

p−1

X

i=1

(C^(r,s)T)(ω¹, . . . ,∇Xωⁱ, . . . , ω^p−1, X₁, . . . ,

s

^

∂_a. . . , X_q−1)

−

q−1

X

j=1

(C^(r,s)T)(ω¹, . . . , ω^p−1, X₁, . . . ,∇^XX_j, . . . , X_q−1)

= (∇^XC^(r,s)T)(ω¹, . . . , ω^p−1, X₁, . . . ,∇^XX_j, . . . , X_q−1) となり、

C^(r,s)∇^XT =∇^XC^(r,s)T が成り立つ。したがって、∇X は縮約と可換になる。

3.4. テンソル場の共変微分 59 系 3.4.2 (p, q)型テンソル場T に対して、

(∇^XT)(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q)

= X(T(ω¹, . . . , ω^p, X1, . . . , Xq))

− Xp

i=1

T(ω¹, . . . ,∇^Xωⁱ, . . . , ω^p, X1, . . . , Xq)

− Xq

j=1

T(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . ,∇^XX_j, . . . , X_q) が成り立つ。

系 3.4.3 命題3.4.1で定めた写像

∇:C^∞(T M)×C^∞(T^(p,q)M)→C^∞(T^(p,q)M); (X, T)7→ ∇^XT

はT^(p,q)M上の線形接続になる。

証明 (0,0)型テンソル場、(1,0)型テンソル場の場合は定め方から、(0,1)型テ ンソル場の場合は命題3.4.1の証明中から、∇が線形接続になることはわかる。一

般の(p, q)の場合に示す。加法の分解は明らかだから、関数倍に関する性質を調べ

る。系3.4.2より、

(∇^{f X}T)(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q)

= f X(T(ω¹, . . . , ω^p, X1, . . . , Xq))

− Xp

i=1

T(ω¹, . . . ,∇^{f X}ωⁱ, . . . , ω^p, X1, . . . , Xq)

− Xq

j=1

T(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . ,∇^{f X}X_j, . . . , X_q)

= f X(T(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q))

−f Xp

i=1

T(ω¹, . . . ,∇^Xωⁱ, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q)

−f Xq

j=1

T(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . ,∇XX_j, . . . , X_q)

= f(∇XT)(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q).

よって

∇^{f X}T =f∇^XT.

次に

(∇^X(f T))(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q)

= X(f T(ω¹, . . . , ω^p, X1, . . . , Xq))

− Xp

i=1

f T(ω¹, . . . ,∇^Xωⁱ, . . . , ω^p, X1, . . . , Xq)

− Xq

j=1

f T(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . ,∇^XX_j, . . . , X_q)

= (Xf)T(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q) +f X(T(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q))

−f Xp

i=1

T(ω¹, . . . ,∇^Xωⁱ, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q)

−f Xq

j=1

T(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . ,∇^XX_j, . . . , X_q)

= (Xf)T(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q) f(∇^XT)(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q)

= ((Xf)T +f(∇^XT))(ω¹, . . . , ω^p, X₁, . . . , X_q).

よって

∇^X(f T) = (Xf)T +f(∇^XT)

となり、∇はT^(p,q)M上の線形接続になる。

系 3.4.4 (p, q)型テンソル場T に対して∇T を

(∇T)(ω¹, . . . , ω^p, X1, . . . , Xq;X) = (∇^XT)(ω¹, . . . , ω^p, X1, . . . , Xq)

(ωⁱ ∈C^∞(T^(0,1)M), X_j, X ∈C^∞(T^(1,0)M)) によって定めると、∇T は(p, q+ 1)型テンソル場になる。

注意 3.4.5 C^∞級関数fに対して、∇fは(0,1)型テンソル場になるが、文献によっ ては∇f を、次に定義する勾配ベクトル場を表す記号として使うことがある。任 意のベクトル場Xに対して、

hgradf, Xi=df(X)

を満たすようにベクトル場gradfを定め、gradfをfの勾配ベクトル場と呼ぶ。上 のgradfの定義式にあるdfは∇fだから、各接ベクトル空間での1次形式∇fの

Riemann計量に関する双対ベクトルがgradfということになる。Riemann計量に

3.4. テンソル場の共変微分 61 よって、1次微分形式とベクトル場を同一視すれば、∇fはgradfに対応する。∇f の成分は∂_ifになり、gradfの成分を、

gradf = (gradf)ⁱ∂_i によって定めると、

(gradf)^kg_kj =hgradf, ∂_ji=∂_jf となるので、

(gradf)ⁱ = (gradf)^kg_kjg^ij =g^ij∂_jf.

一般に1次微分形式の成分がω_i のとき、その双対ベクトル場の成分はg^ijω_jにな り、逆に、ベクトル場の成分がXⁱのときは、その双対1次微分形式の成分はg_ijX^j になる。

定義 3.4.6 ∇T = 0となるテンソル場を平行テンソル場と呼ぶ。

例 3.4.7 Riemann多様体(M, g)のLevi-Civita接続∇は、

(∇Xg)(Y, Z) = X(g(Y, Z))−g(∇XY, Z)−g(Y,∇XZ) = 0 を満たすので、∇g = 0となり、Riemann計量は平行テンソル場になる。

命題 3.4.8 (p, q)型テンソル場T の局所表示を T =T_j^i1···ip

1···jq∂_i1 ⊗ · · · ⊗∂_ip⊗dx^j1 ⊗ · · · ⊗dx^jq とすると、

∇T = T_j^i1···ip

1···jq;k∂_i1 ⊗ · · · ⊗∂_ip⊗dx^j1 ⊗ · · · ⊗dx^jq ⊗dx^k

= ∇kT_jⁱ₁¹_···j^···i_q^p∂_i1 ⊗ · · · ⊗∂_ip ⊗dx^j1 ⊗ · · · ⊗dx^jq ⊗dx^k の成分は、

∇^kT_j^i1···ip

1···jq =∂_kT_j^i1···ip

1···jq + Xp a=1

Γⁱ_kl^aT_j^{i1···l···ip}

1···jq − Xq

b=1

Γ^m_kj

bT_j^i1···ip

1···m···jq

で与えられる。ここで、lはa番目であり、mはb番目である。

証明 系3.4.2より、

∇^∂kdxⁱ =−Γⁱ_kadx^a

となることに注意しておく。

∇^kT_j^i1···ip

1···jq = (∇^∂kT)(dxⁱ¹, . . . , dx^ip, ∂_j1, . . . , ∂_jq)

= ∂_k(T(dxⁱ¹, . . . , dx^ip, ∂_j1, . . . , ∂_jq))

− Xp a=1

T(dxⁱ¹, . . . ,∇^∂kdx^ia, . . . , dx^ip, ∂_j1, . . . , ∂_jq)

− Xq

b=1

T(dxⁱ¹, . . . , dx^ip, ∂_j1, . . . ,∇∂k∂_jb, . . . , ∂_jq1)

= ∂_kT_jⁱ₁¹_···^···_jⁱ_q^p

− Xp a=1

T(dxⁱ¹, . . . ,−Γⁱ_kl^adx^l, . . . , dx^ip, ∂_j1, . . . , ∂_jq)

− Xq

b=1

T(dxⁱ¹, . . . , dx^ip, ∂_j1, . . . ,Γ^m_kj

b∂_m, . . . , ∂_jq1)

= ∂_kT_j^i1···ip

1···jq + Xp a=1

Γⁱ_kl^aT_j^{i1···l···ip}

1···jq − Xq

b=1

Γ^m_kj

bT_j^i1···ip

1···m···jq

ドキュメント内 II I Riemann 2003 (ページ 56-65)