微分形式の外微分

第 2 章テンソル場と微分形式 24

2.4 微分形式の外微分

証明各x∈Mに対して

F^∗(φ∧ψ)_x = (dF_x)^∗((φ∧ψ)_F_(x))

= (dFx)^∗(φF(x)∧ψF(x))

= (dF_x)^∗φ_F_(x)∧(dF_x)^∗ψ_F_(x)

= (F^∗φ)_x∧(F^∗ψ)_x

= ((F^∗φ)∧(F^∗ψ))_x となるので、F^∗(φ∧ψ) = (F^∗φ)∧(F^∗ψ)が成り立つ。

2.4. 微分形式の外微分 33 とおくと

ω_x = X

i1<···<ip

b_i₁_···_i_p(x)(dyⁱ¹)_x∧ · · · ∧(dyⁱ^p)_x

となる。x∈U ∩V に対してT_x(M)の2つ基底_∂x^∂i|^xと_∂y^∂i|^xの間の変換行列は

∂

∂yⁱ

¯¯

= Xn

j=1

∂x^j

∂yⁱ(x) ∂

∂x^j

¯¯

となっているので、双対基底の間の変換行列は (dyⁱ)x =

Xn j=1

∂yⁱ

∂x^j(x)(dx^j)x

となり、また

b_i₁_···_i_p(x) = Xn j1,···,jp=1

∂x^j¹

∂yⁱ¹(x)· · ·∂x^j^p

∂yⁱ^p(x)a_j₁_···_j_p(x) が成り立つ。

Xn i=1

∂x^j

∂yⁱ(x)∂yⁱ

∂x^k(x) = δ_jk に注意しておく。

(∗) X

i1<···<ip

Xn i=1

∂b_i₁_···_i_p

∂yⁱ (x)(dyⁱ)_x∧(dyⁱ¹)_x∧ · · · ∧(dyⁱ^p)_x

= 1

Xn i,i1,...,ip=1

∂b_i₁_···_i_p

∂yⁱ (x)(dyⁱ)_x∧(dyⁱ¹)_x∧ · · · ∧(dyⁱ^p)_x

= 1

Xn i,i1,...,ip=1

j,j1,...,jp=1 k,k1,...,kp=1

∂x^j

∂yⁱ(x) ∂

∂x^j

½∂x^j¹

∂yⁱ¹(x)· · ·∂x^j^p

∂yⁱ^p(x)a_j₁_···_j_p(x)

∂yⁱ

∂x^k(x)(dx^k)_x∧ ∂yⁱ¹

∂x^k¹(x)(dx^k¹)_x∧ · · · ∧ ∂yⁱ^p

∂x^k^p(x)(dx^k^p)_x

= 1

Xn i1,...,ip=1

j1,...,jp=1 k,k1,...,kp=1

∂

∂x^k

½∂x^j¹

∂yⁱ¹(x)· · ·∂x^j^p

∂yⁱ^p(x)a_j₁_···_j_p(x)

(dx^k)_x∧ ∂yⁱ¹

∂x^k¹(x)(dx^k¹)_x∧ · · · ∧ ∂yⁱ^p

∂x^k^p(x)(dx^k^p)_x.

ここで Xn

ir=1

∂x^j^r

∂yⁱ^r(x)∂yⁱ^r

∂x^k^r(x) =δ_j_r_k_r

だから Xn ir=1

∂

∂x^k µ∂x^j^r

∂yⁱ^r(x)

¶ ∂yⁱ^r

∂x^k^r(x) = − Xn ir=1

∂x^j^r

∂yⁱ^r(x) ∂

∂x^k

µ∂yⁱ^r

∂x^k^r(x)

= −

Xn ir=1

∂x^j^r

∂yⁱ^r(x) ∂²yⁱ^r

∂x^k∂x^k^r(x)

となり、これはkとk_rに関して対称である。他方、(dx^k)_x∧(dx^k¹)_x∧ · · · ∧(dx^k^p)_x はkとk_rに関して交代的だから

(∗) = 1 p!

Xn i1,...,ip=1

j1,...,jp=1 k,k1,...,kp=1

∂x^j¹

∂yⁱ¹(x)· · ·∂x^j^p

∂yⁱ^p(x)∂a_j₁_···_j_p

∂x^k (x)· (dx^k)_x∧ ∂yⁱ¹

∂x^k¹(x)(dx^k¹)_x∧ · · · ∧ ∂yⁱ^p

∂x^k^p(x)(dx^k^p)_x

= 1

Xn k,k1,...,kp=1

∂a_k₁_···_k_p

∂x^k (x)(dx^k)_x∧(dx^k¹)_x∧ · · · ∧(dx^k^p)_x

= X

k1<···<kp

Xn k=1

∂a_k₁_···_k_p

∂x^k (x)(dx^k)_x∧(dx^k¹)_x∧ · · · ∧(dx^k^p)_x.

以上でdωの表示が局所座標近傍のとり方によらないことがわかった。dωの一意性もこのことからわかる。またdωがp+ 1次微分形式になることもdωの表示からわかる。

定義 2.4.2 M を多様体とする。定理2.4.1より定まる写像d: Ω^p(M)→Ω^p+1(M) を微分形式の外微分と呼ぶ。

定理 2.4.3 F を多様体Mから多様体N へのC^∞級写像とする。このとき、F による微分形式の引き戻しF^∗ : Ω^p(N)→Ω^p(M)は外微分と可換になる。

証明 m = dimM, n = dimN としておく。ω ∈ Ω^p(N)とする。F(U)⊂ U⁰を満たすM とNの局所座標近傍(U;x¹, . . . , x^m)と(U⁰;y¹, . . . , yⁿ)をとる。

a_j₁_···_j_p(y) = ω_y Ã ∂

∂y^j¹

¯¯

,· · ·, ∂

∂y^j^p

¯¯

とおくとωのU⁰における局所表示は ωy = X

j1<···<jp

aj1···jp(y)(dy^j¹)y∧ · · · ∧(dy^j^p)y

2.4. 微分形式の外微分 35 となる。命題2.3.6の証明中の計算よりx∈Uに対して

(F^∗ω)_x µ ∂

∂xⁱ¹

¯¯

,· · ·, ∂

∂xⁱ^p

¯¯

Xn j1,···,jp=1

∂(y^j¹ ◦F)

∂xⁱ¹ (x)· · ·∂(y^j^p◦F)

∂xⁱ^p (x)aj1···jp(F(x)).

したがって (d(F^∗ω))_x

Xn j1,···,jp=1

i1<···<ip

Xm i=1

∂

∂xⁱ

½∂(y^j¹ ◦F)

∂xⁱ¹ (x)· · ·∂(y^j^p ◦F)

∂xⁱ^p (x)aj1···jp(F(x))

· (dxⁱ)_x∧(dxⁱ¹)_x∧ · · · ∧(dxⁱ^p)_x.

ここで∂²(y^j^r ◦F)

∂xⁱ∂xⁱ^r (x)はiとi_rに関して対称で、(dxⁱ)_x∧(dxⁱ¹)_x∧ · · · ∧(dxⁱ^p)_xは iとirに関して交代的だから

(d(F^∗ω))_x

Xn j1,···,jp=1

i1<···<ip

Xm i=1

∂(y^j¹ ◦F)

∂xⁱ¹ (x)· · ·∂(y^j^p◦F)

∂xⁱ^p (x) ∂a_j₁_···_j_p(F(x))

∂xⁱ · (dxⁱ)_x∧(dxⁱ¹)_x∧ · · · ∧(dxⁱ^p)_x

= 1

Xn j1,···,jp=1

Xm i1,···,ip=1

Xm i=1

∂(y^j¹ ◦F)

∂xⁱ¹ (x)· · ·∂(y^j^p ◦F)

∂xⁱ^p (x) ∂a_j₁_···_j_p(F(x))

∂xⁱ · (dxⁱ)_x∧(dxⁱ¹)_x∧ · · · ∧(dxⁱ^p)_x.

他方

(dω)_y = X

j1<···<jp

Xn j=1

∂a_j₁_···_j_p

∂y^j (y)(dy^j)_y∧(dy^j¹)_y ∧ · · · ∧(dy^j^p)_y

= 1

Xn j1,···,jp=1

Xn j=1

∂a_j₁_···_j_p

∂y^j (y)(dy^j)_y∧(dy^j¹)_y∧ · · · ∧(dy^j^p)_y だから

(F^∗(dω))x = (dFx)^∗(dω)_F_(x)

= 1

Xn j1,···,jp=1

Xn j=1

∂a_j₁_···_j_p

∂y^j (F(x))(dF_x)^∗(dy^j)_F_(x)∧ (dF_x)^∗(dy^j¹)_F_(x)∧ · · · ∧(dF_x)^∗(dy^j^p)_F(x).

ここで

(dF_x)^∗(dy^j)_F_(x) = (dy^j)_F_(x)◦dF_x =d(y^j◦F)_x = Xm

i=1

∂(y^j ◦F)

∂xⁱ (x)(dxⁱ)_x でさらに

Xn j=1

∂a_j₁_···_j_p

∂y^j (F(x))(dF_x)^∗(dy^j)_F_(x)

= Xn

j=1

Xm i=1

∂aj1···jp

∂y^j (F(x))∂(y^j◦F)

∂xⁱ (x)(dxⁱ)_x

= Xm

i=1

∂a_j₁_···_j_p(F(x))

∂xⁱ (x)(dxⁱ)_x だから

(F^∗(dω))_x

= 1

Xn j1,···,jp=1

Xm i1,···,ip=1

Xm i=1

∂(y^j¹ ◦F)

∂xⁱ¹ (x)· · ·∂(y^j^p◦F)

∂xⁱ^p (x) ∂a_j₁_···_j_p(F(x))

∂xⁱ (x)· (dxⁱ)_x∧(dxⁱ¹)_x∧ · · · ∧(dxⁱ^p)_x

= (d(F^∗ω))_x.

したがってF^∗(dω) = d(F^∗ω)が成り立つ。

注意 2.4.4 定理2.4.3においてMがNの部分多様体でF :M →Nが包含写像のとき、N上の微分形式を外微分してからMに制限しても先にM に制限してから M上の微分形式として外微分しても結果は等しくなる。特別な場合としてMがN の開集合の場合がある。これらの場合は包含写像を省略して記述することもある。

補題 2.4.5 M を多様体とする。外微分

d: Ω^p(M)→Ω^p+1(M) は実線形写像になる。

証明定理2.4.1の外微分の定め方よりdは実線形写像になる。

定理 2.4.6 M を多様体とするとφ ∈Ω^p(M), ψ ∈Ω^q(M) に対して d(φ∧ψ) = dφ∧ψ+ (−1)^pφ∧dψ

が成り立つ。

2.4. 微分形式の外微分 37 証明 n= dimMとし(U;x¹, . . . , xⁿ)をMの局所座標近傍とする。Uにおける φとψの局所表示を

φ_x = X

i1<···<ip

a_i₁_···_i_p(x)(dxⁱ¹)_x∧ · · · ∧(dxⁱ^p)_x

ψ_x = X

j1<···<jq

b_j₁_···_j_q(x)(dx^j¹)_x∧ · · · ∧(dx^j^q)_x とすると

(φ∧ψ)_x = X

i1<···<ip

j1<···<jq

a_i₁_···_i_p(x)b_j₁_···_j_q(x)·

(dxⁱ¹)_x∧ · · · ∧(dxⁱ^p)_x∧(dx^j¹)_x∧ · · · ∧(dx^j^q)_x

となる。そこでk₁ < · · ·< k_p+qに対して、{i₁, . . . , i_p, j₁, . . . , j_q} 6={k₁, . . . , k_p+q} のときは

sgn

Ã i₁ · · · i_p j₁ · · · j_q k₁ · · · k_p k_p+1 · · · k_p+q

= 0 としておくと

(φ∧ψ)_x

= X

k1<···<kp+q

i1<···<ip

j1<···<jq

sgn

Ã i₁ · · · i_p j₁ · · · j_q k₁ · · · k_p k_p+1 · · · k_p+q

· a_i₁_···_i_p(x)b_j₁_···_j_q(x)(dx^k¹)_x∧ · · · ∧(dx^k^p+q)_x

となるので

d(φ∧ψ)_x

= X

k1<···<kp+q

i1<···<ip

j1<···<jq

sgn

Ã i₁ · · · i_p j₁ · · · j_q k₁ · · · k_p k_p+1 · · · k_p+q

· Xn

i=1

∂(a_i₁_···_i_p(x), b_j₁_···_j_q(x))

∂xⁱ (dxⁱ)_x∧(dx^k¹)_x∧ · · · ∧(dx^k^p+q)_x

= X

k1<···<kp+q

i1<···<ip

j1<···<jq

sgn

Ã i₁ · · · i_p j₁ · · · j_q k1 · · · kp kp+1 · · · kp+q

· Xn

i=1

½∂ai1···ip

∂xⁱ (x)b_j₁_···_j_q(x) +a_i₁_···_i_p(x)∂bj1···jq

∂xⁱ (x)

· (dxⁱ)_x∧(dx^k¹)_x∧ · · · ∧(dx^k^p+q)_x

= X

i1<···<ip

j1<···<jq

Xn i=1

½∂ai1···ip

∂xⁱ (x)bj1···jq(x) +ai1···ip(x)∂bj1···jq

∂xⁱ (x)

· (dxⁱ)x∧(dxⁱ¹)x∧ · · · ∧(dxⁱ^p)x∧(dx^j¹)x∧ · · · ∧(dx^j^q)x

= (dφ∧ψ)_x+ (−1)^p(φ∧dψ)_x.

よって、d(φ∧ψ) = dφ∧ψ+ (−1)^pφ∧dψ が成り立つ。

定理 2.4.7 M を多様体とする。外微分

d: Ω^p(M)−→Ω^p+1(M) はd◦d= 0を満たす。

証明 n = dimM としておく。まずω∈Ω⁰(M)についてd²ω = 0が成り立つことを示そう。(U;x¹, . . . , xⁿ)をM の局所座標近傍とする。x∈U に対して

(dω)_x= Xn

j=1

∂ω

∂x^j(x)(dx^j)_x だから

(d²ω)_x = Xn

i=1

Xn j=1

∂²ω

∂xⁱ∂x^j(x)(dxⁱ)_x∧(dx^j)_x.

ここで_∂x^∂i²∂x^ω^j(x)はiとjに関して対称的で(dxⁱ)_x∧(dx^j)_xはiとjに関して交代的である。したがって(d²ω)_x = 0となりd²ω= 0。

次にp > 0のときω ∈Ω^p(M;V)のUにおける局所表示を ω_x = X

i1<···<ip

a_i₁_···_i_p(x)(dxⁱ¹)_x∧ · · · ∧(dxⁱ^p)_x

とすると

(dω)_x = X

i1<···<ip

Xn i=1

∂a_i₁_···_i_p

∂xⁱ (x)(dxⁱ)_x∧(dxⁱ¹)_x∧ · · · ∧(dxⁱ^p)_x

= X

i1<···<ip

(da_i₁_···_i_p)_x∧(dxⁱ¹)_x∧ · · · ∧(dxⁱ^p)_x となるので、定理2.4.1より

(d²ω)_x = X

i1<···<ip

(d²a_i₁_···_i_p)_x∧(dxⁱ¹)_x∧ · · · ∧(dxⁱ^p)_x

+ X

i1<···<ip

(da_i₁_···_i_p)_x∧ Xp j=1

(−1)^j(dxⁱ¹)_x∧ · · · ∧(d²xⁱ^j)_x∧ · · · ∧(dxⁱ^p)_x

= 0.

したがって(d²ω)_x = 0となりd²ω= 0。

2.4. 微分形式の外微分 39 定義 2.4.8 n次元多様体Mに対して

Z^p(M) = {ω ∈Ω^p(M)|dω = 0} B^p(M) = {dη |η∈Ω^p⁻¹(M)}

とおく。外微分dはd² = 0を満たすので、B^p(M)⊂Z^p(M)となる。そこで、

H^p(M) =Z^p(M)/B^p(M)

とおき、H^p(M)をM のp次de Rhamコホモロジー群と呼ぶ。

χ(M) = Xn

p=0

(−1)^pdimH^p(M) とおき、χ(M)をM のEuler数と呼ぶ。

MのC^∞級p次元特異単体群をC_p(M)で表し、

Z_p(M) = {c∈C_p(M)|∂c= 0} B_p(M) = {∂c|c∈C_p+1(M)}

とおく。境界作用素∂は∂² = 0を満たすので、Bp(M)⊂Zp(M)となる。そこで、

H_p(M) = Z_p(M)/B_p(M)

とおき、Hp(M)をMのC^∞級p次特異ホモロジー群と呼ぶ。

定理 2.4.9 (de Rham) ω ∈Z^p(M)に対して、ωの代表するH^p(M)内の元を[ω]

で表すことにする。線形写像

Z_p(M)→R; c7→

はH_p(M)^∗の元を誘導し、それによってH^p(M)とH_p(M)^∗は線形同型になる。

補題 2.4.10 Mを多様体とする。ω∈ Z^p(M)に対してωの代表するH^p(M)の元を[ω]で表すことにする。[ω]∈ H^p(M)と[η] ∈H^q(M)に対して[ω∧η]は代表元 ω, ηのとりかたに依存せず[ω]と[η]に対して定まる。

証明 ω⁰ ∈Ω^p⁻¹(M)とη⁰ ∈Ω^q⁻¹(M)をとる。

(ω+dω⁰)∧(η+dη⁰) =ω∧η+ω∧dη⁰+dω⁰∧η+dω⁰∧dη⁰ となり

d(ω∧η⁰) = dω∧η⁰+ (−1)^pω∧dη⁰ = (−1)^pω∧dη⁰, d(ω⁰∧η) = dω⁰∧η+ (−1)^p−1ω⁰ ∧dη=dω⁰ ∧η, d(ω⁰∧dη⁰) = dω⁰∧dη⁰+ (−1)^p⁻¹ω⁰∧d²η⁰ =dω⁰∧dη⁰

はすべてB^p+q(M)の元になるので、[(ω+dω⁰)∧(η+dη⁰)] = [ω∧η] が成り立つ。

したがって、[ω∧η]は代表元ω, ηのとりかたに依存せず[ω]と[η]に対して定まる。

定義 2.4.11 n次元多様体M に対して H^∗(M) =

Xn p=0

H^p(M)

に補題2.4.10によって外積を定めることができ代数の構造を持つので、H^∗(M)を

Mのde Rhamコホモロジー代数と呼ぶ。

例 2.4.12 多様体Mに対してZ⁰(M)は微分して0になる関数全体なので、Mの連結成分の個数だけRを直和したものになる。よって、H⁰(M) = Z⁰(M)もMの連結成分の個数だけRを直和したものになる。

実数直線Rを1次元多様体とみなしたときのde Rhamコホモロジー代数を求める。Z¹(R) = Ω¹(R)の任意の元はC^∞級関数f(x)によってf(x)dxと表すことができる。F(x) = Rx

0 f(t)dtとおくとdF = f(x)dxが成り立つ。したがって、

Z¹(R) =B¹(R)となりH¹(R) ={0}を得る。上の結果と合わせるとH^∗(R)∼=R となる。ただし、左辺のRは代数としてのRである。

1次元の円周S¹のde Rhamコホモロジー代数を求める。

S¹ ={(x, y)∈R² |x²+y² = 1}

の座標として(cosθ,sinθ)となるθを使うことにする。Z¹(S¹) = Ω¹(S¹)の任意の元は周期2πのC^∞級周期関数f(θ)によってf(θ)dθと表すことができる。

I :Z¹(S¹)→R; f(θ)dθ7→

Z 2π 0

f(θ)dθ

によって線形写像Iを定める。Iは全射になる。Ω⁰(S¹)の任意の元は周期2πのC^∞ 級周期関数g(θ)で表すことができる。dg=g⁰(θ)dθとなり

I(dg) = Z 2π

g⁰(θ)dθ =g(2π)−g(0) = 0.

よってB¹(S¹)⊂kerIが成り立つ。逆にの包含関係を示すためにf(θ)dθ ∈kerIをとる。F(θ) = Rθ

0 f(t)dtとおくとF(θ)はθに関するC^∞級関数になり、R2π

0 f(t)dt= 0 となることからF(θ)は周期2πのC^∞級周期関数になる。さらに

B¹(S¹)3dF =F⁰(θ)dθ=f(θ)dθ

となるのでkerI ⊂B¹(S¹)を得る。以上よりB¹(S¹) = kerIが成り立ち、

H¹(S¹) =Z¹(S¹)/B¹(S¹) =Z¹(S¹)/kerI ∼= imI =R.

定理 2.4.13 Mを多様体とする。ω ∈Ω^p(M)に対して次の公式が成り立つ。p= 0 のときX ∈X(M)に対して

dω(X) =Xω.

p= 1のときX, Y ∈X(M)に対して

dω(X, Y) =X(ω(Y))−Y(ω(X))−ω([X, Y]).

2.4. 微分形式の外微分 41 証明 p= 0のときX ∈X(M)に対して

dω(X) = Xω となることはC^∞級関数の微分dωの定義である。

次にp= 1の場合を考える。ωの局所表示を ω =X

a_idxⁱ

で表すと、ωの外微分dωの局所表示は dω =X

i,j

∂ai

∂x^jdx^j∧dxⁱ になる。ベクトル場X, Y の局所表示を

X =X

ξⁱ ∂

∂xⁱ, Y =X

η^j ∂

∂x^j で表す。外積の定義より

dω(X, Y) =X

i,j

∂a_i

∂x^j(ξ^jηⁱ−η^jξⁱ) が成り立つ。

ω(Y) =X

a_iηⁱ となるので

X(ω(Y)) = X

i,j

ξ^j ∂

∂x^j(a_iηⁱ) =X

i,j

ξ^j µ∂a_i

∂x^jηⁱ+a_i∂ηⁱ

∂x^j

¶ .

XとY を入れ替えることにより Y(ω(X)) = X

i,j

η^j µ∂a_i

∂x^jξⁱ+a_i∂ξⁱ

∂x^j

も得られる。ベクトル場のブラケット積の定義から [X, Y] = X

i,j

ξⁱ∂η^j

∂xⁱ

∂

∂x^j −X

i,j

η^j∂ξⁱ

∂x^j

∂

∂xⁱ

= X

i,j

µ ξ^j∂ηⁱ

∂x^j −η^j∂ξⁱ

∂x^j

¶ ∂

∂xⁱ

となるので、

ω([X, Y]) =X

i,j

a_i µ

ξ^j∂ηⁱ

∂x^j −η^j∂ξⁱ

∂x^j

¶ . 以上の計算結果より

dω(X, Y) = X(ω(Y))−Y(ω(X))−ω([X, Y]) を得る。

注意 2.4.14 定理2.4.13の条件下でp >0のときX1, . . . Xp+1 ∈X(M)に対して dω(X₁, . . . , X_p+1)

= Xp+1

i=1

(−1)ⁱ⁻¹X_i(ω(X₁, . . . ,Xˆ_i, . . . , X_p+1))

i<j

(−1)^i+jω([X_i, X_j], X₁, . . . ,Xˆ_i, . . . ,Xˆ_j, . . . , X_p+1).

が成り立つことが知られている。

ドキュメント内 II I Riemann 2003 (ページ 35-46)

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2.4 微分形式の外微分

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