高橋の定理

定理 4.2.9 M をR^n+r内のコンパクトn次元Riemann部分多様体とする。Mの 各点pの接ベクトル空間T_pM のk次元部分ベクトル空間T_p⁰が存在し、T_p⁰ 内の任 意の2次元部分空間σの断面曲率K_σが、Kσ ≤0を満たすと仮定する。このとき、

r≥kが成り立つ。

証明 M のR^n+rへの挿入をx:M →R^n+rで表す。M 上のC^∞級関数fを f(p) =hx(p), x(p)i (p∈M)

で定める。M はコンパクトだから、fはMのある点p₀で最大値をとる。R^n+rの Levi-Civita接続を∇˜で表すことにすると、任意の接ベクトルX ∈T_p0Mに対して、

0 =Xf = 2h∇˜^Xx, x(p₀)i= 2hX, x(p₀)i

が成り立つ。これより、x(p0)はMの法ベクトルになる。Mの第二基本形式をh で表すことにすると、

X²f = 2h∇˜^XX, x(p₀)i+ 2hX, Xi=hh(X, X), x(p₀)i+ 2hX, Xi. fはp₀で最大値をとるので、X²f ≤0が成り立つ。よって、X 6= 0に対して

0≥ −hX, Xi ≥ hh(X, X), x(p₀)i となり、特に、h(X, X)6= 0となる。

M の断面曲率に関する仮定とGaussの方程式を使うと、X, Y ∈T_p⁰₀に対して、

0≤ −hR(X, Y)Y, Xi=hh(X, Y), h(Y, X)i − hh(X, X), h(Y, Y)i となり、

hh(X, X), h(Y, Y)i ≤ hh(X, Y), h(Y, X)i

を得る。以上より、h:T_p⁰₀ ×T_p⁰₀ →T_p^⊥₀Mは補題4.2.8の仮定を満たすので、r≥k が成り立つ。

系 4.2.10 非正断面曲率を持つコンパクトn 次元Riemann多様体は、R²ⁿ⁻¹ の

Riemann部分多様体にはなり得ない。

4.3. 高橋の定理 91 補題 4.3.2 MをR^N 内のRiemann部分多様体とし、その挿入をx:M →R^N で 表わす。Mの第二基本形式と平均曲率ベクトルをそれぞれhとHで表わす。Mの Levi-Civita接続とLaplacianをそれぞれ∇と∆とすると、

h=∇²x, ∆x=−H

が成り立つ。特に、M が極小部分多様体になるための必要十分条件は、xが調和 関数になることである。

証明 R^NのLevi-Civita接続を∇˜ で表す。例3.5.7より、M上のベクトル場X, Y に対して

(∇²x)(Y, X) =Y Xx−(∇^YX)x=Y X − ∇^YX = ˜∇^YX− ∇^YX =h(Y, X) となるので、xのHessian ∇²xはMの第二基本形式に一致する。

∆x=−tr(∇²x) = −tr(h) = −H

となるので、xのLaplacian ∆xは−Hに一致する。Mが極小部分多様体になると いうことはH = 0ということであり、xが調和関数になるということは∆x= 0と いうことだから、Mが極小部分多様体になることとxが調和関数になることは同 値になる。

定理 4.3.3 (高橋) M をR^N 内のn次元Riemann部分多様体とし、その挿入を x : M → R^N で表わす。ある0でない定数λが存在し、xが∆x = λxを満たす と仮定すると、λは正の定数になり、M はR^N内の原点中心で半径p

n/λの球面 S^N−1(p

n/λ)の極小部分多様体になる。逆に、MがR^N 内の原点中心で半径aの 球面S^N−1(a)の極小部分多様体ならば、λ = n/a²とおくと、xは∆x = λxを満 たす。

証明 まず、ある0でない定数λが存在し、xが∆x=λxを満たすと仮定する。

補題4.3.2より、

−H = ∆x=λx

となる。λ 6= 0だから、Mの各点でベクトルxはMの法ベクトルになる。よって、

M の任意のベクトル場Xに対して、hX, xi= 0となり、

Xhx, xi= 2h∇˜^Xx, xi= 2hX, xi= 0.

よって、関数hx, xiは局所的に定数になる。そこで、局所的にhx, xi=r²とする。

−λx = H =D H,x

r Ex

r = 1 r²

X

i

hh(e_i, e_i), xix= 1 r²

X

i

h∇˜^eie_i, xix

= −1 r²

X

i

he_i,∇˜^eixix=−1 r²

X

i

he_i, e_iix=−n r²x.

これより、λ =n/r²となり、λは正の定数であって、r =p

n/λが成り立つ。特に、

hx, xiはM全体で一定値n/λをとる。したがって、挿入xの像は球面S^N−1(p n/λ) に含まれる。

Mの球面S^N−1(p

n/λ)内の第二基本形式をh⁰とし、平均曲率ベクトルをH⁰で 表わす。さらに、球面S^N−1(p

n/λ)のR^N内の第二基本形式を˜hで表わすことに すると、Mの接ベクトル空間上でh=h⁰ + ˜hが成り立つ。よって、

H =X

i

h(ei, ei) = X

i

h⁰(ei, ei) +X

i

h(e˜ i, ei) =H⁰+X

i

˜h(ei, ei).

Hはxに比例しているので、特にS^N−1(p

n/λ)に接する成分は0になる。よって H⁰ = 0が成り立つ。つまり、Mは球面S^N−1(p

n/λ)内の極小部分多様体になる。

逆に、MはR^N内の原点中心で半径aの球面S^N−1(a)の極小部分多様体である と仮定する。

H =X

i

h(e_i, e_i) =X

i

h⁰(e_i, e_i) +X

i

˜h(e_i, e_i) =X

i

h(e˜ _i, e_i)

より、Hはxに比例する。よって、

−∆x = H =D H,x

a Ex

a = 1 a²

X

i

hh(e_i, e_i), xix= 1 a²

X

i

h∇˜^eie_i, xix

= − 1 a²

X

i

hei,∇˜^eixix=−1 a²

X

i

hei, eiix=−n a²x.

そこで、λ=n/a²とおくと、∆x=λxが成り立つ。

定理 4.3.4 (高橋) コンパクト等質Riemann多様体Mの線形イソトロピー表現が 既約のとき、M は球面の極小部分多様体になり得る。

証明 MはコンパクトRiemann多様体なので、∆の0でない固有値はすべて正 で可算個存在し、各固有値の固有空間は有限次元になることが、楕円型偏微分作 用素の理論から知られている。そこで、∆の0でない固有値λを一つとり、Vλを その固有空間とする。すなわち、

V_λ ={f ∈C^∞(M)|∆f =λf}.

Mの等長変換群の単位連結成分をGで表すと、Gはコンパクト連結Lie群になり、

Mに等長推移的に作用する。さらに、GはC^∞(M)にL²内積に関して等長的に作 用し、Gの作用は∆の作用と可換になるので、固有空間V_λを不変にする。Vλの 正規直交基底f₁, . . . , f_Nをとり、

˜

x(p) = (f₁(p), . . . , f_N(p)) (p∈M)

4.4. Simonsの不等式 93