4.3.1 論理式から線形不等式への置き換え
混合論理動的システム(Mixed Logical Dynamical System, MLDS)とは，PWARXモ デルのような論理条件を含むシステムを，0-1変数と不等式制約条件によって等価的に表 すシステム表現の一種である．本節で使用する変数を表4.1にまとめる．
置き換えの例として，次の論理命題Xを考える．
X ≡ {f(x)≤0} (4.3)
この命題の真偽を0-1変数δで関連づけることを考える．つまり，
{{f(x)≤0} ↔ {δ= 1}
{f(x)>0} ↔ {δ= 0} (4.4) が成り立つとする．式(4.4)を幾何学的に考えると，図4.3のようになる．
図4.3のf(x)について，δを用いた不等式で表わすと，
{
f(x)≤M(1−δ)
f(x)≥+ (m−)δ (4.5)
表4.1 置換例の変数一覧
M :f(x)の最大値 m:f(x)の最小値 :微小正数 δ : 0-1変数 z:連続値補助変数
図4.3 MLDSの置換例１ 図4.4 MLDSの置換例２
となる．したがって，式(4.4)で表わされる関連付けは，式(4.5)の線形不等式群と等価 であるといえる．
もう一つの例として，0-1変数δと，線形関数f(x)の積
z≡δf(x) (4.6)
により新たな補助変数zを導入する場合に適用することについて考える．式(4.6)は，
{{δ = 0} → {z= 0}
{δ = 1} → {z=f(x)} (4.7)
と等価である．式(4.7)は，幾何学的に考えると図4.4のようになる．
図4.4のzについて，f(x)およびδを用いた不等式で表わすと，
z≤M δ z≥mδ
z≤f(x)−m(1−δ) z≥f(x)−M(1−δ)
(4.8)
が成り立つ．したがって，非線形な表現である式(4.6)が，線形不等式群である式(4.8) と等価であるといえる．
ここで，MLDSの簡単な例を紹介する (文献[25] から抜粋)．次のように，連続変数
x(t)のとる値によりダイナミクスが異なるシステムを取り上げる．
x(t+ 1) = {
0.8x(t) +u(t) if x(t)≥0,
−0.8x(t) +u(t) if x(t)<0, (4.9) ここで，m ≤x(t)≤M とする．つぎに，x(t) ≥0 の条件は，表現変換として論理変数 δ(t) を用いることで {
[δ(t) = 1]↔[x(t)≥0]
[δ(t) = 0]↔[x(t)<0] (4.10)
と関連付ける．これにより，場合分けを含む式(4.9)を，単一式(4.11)のように書き換え ることが可能となる．
x(t+ 1) = 1.6δ(t)x(t)−0.8x(t) +u(t) (4.11)
これで式(4.11)は単一式になったが，その前提となる式(4.10)が新たに導入されてし
まった．そこで，式(4.10)を式(4.5)と同様に {−mδ(t)≤x(t)−m
−(M+)δ ≤ −x(t)− (4.12)
と不等式表現に書き換える．ここで，は微小正数である．
また，式(4.11)にはδ(t)x(t)という非線形項を含むので，これにも対処する必要があ
る．そこで，z(t) =δ(t)x(t) と定義される連続値補助変数を用いると，式(4.8)と同様に
z(t)≤M δ z(t)≥mδ
z(t)≤x(t)−m(1−δ(t)) z(t)≥x(t)−M(1−δ(t))
(4.13)
となり，これらの制約を組み合わせることで，式(4.9)は次のように表現可能となる．
x(t+ 1) = 1.6z(t)−0.8x(t) +u(t) (4.14) 以上をまとめると，式(4.9)のシステム方程式は，線形等式表現である式(4.14)と線形 不等式表現である式(4.12), 式(4.13)の組み合わせで記述できることになる．
4.3.2 MLDS システムの一般形
MLDSシステムは次のような状態方程式と線形不等式によって表される．
x(t+ 1) =Atx(t) +B1tu(t) +B2tδ(t) +B3tz(t) y(t) =Ctx(t) +D1tu(t) +D2tδ(t) +D3tz(t) E2tδ(t) +E3tz(t)≤E1tu(t) +E4tx(t) +E5t
(4.15)
し，δ(t)は，離散値入力あるいは離散値補助変数を表している．z(t)は連続値補助変数で ある．A，B，C，D，Eは適当な次数の行列であり，添え字tは時変を意味している．
結局,式(4.15)は通常の状態方程式表現にδ，zといった補助変数が加わり，さらにδ，z を一意に定めるために第3式の線形不等式が加わった表現方法となっている．後の計算負 荷を小さくするためには，第3式をできるだけ簡潔に表現する必要がある．
4.3.3 運転行動モデルの MLDS 表現
この節では，式(4.16)に示すシステムをMLDSで表現する手法を示す．なお，5.3.1節 で記したように，計算負荷を小さくするために運転行動モデルのMode数を2として表現 する．以下，iは0.2秒ごとのステップ数を表す．
{
y[i] =θ11·u1[i−3] +θ12·u2[i−3] +θ13·u3[i−3] +θ14·y[i−1] if u∈[M odeA]
y[i] =θ21·u1[i−3] +θ22·u2[i−3] +θ23·u3[i−3] +θ24·y[i−1] if u∈[M odeB]
(4.16) モードの切り替え条件を表す分離面の線形式を式(4.17)に示す．
S1[i] =η11·u1[i−3] +η12·u2[i−3] +η13·u3[i−3] +η14·y[i−1] +η15 (4.17) S1[i]>0とS1[i]≤0でModeが分離されるので，表現変換として論理変数δ[i]を用いる
ことで {
[δ1[i] = 1]↔[S1[i]>0]
[δ1[i] = 0]↔[S1[i]≤0] (4.18) と関連付ける．これを式(4.5)と同様にして不等式表現に書き換えると，
{
S1[i]≤S1,M ·δ1[i]
S1[i]≥+ (s1,m−)·(1−δ1[i]) (4.19) となる．したがって，式(4.18)で表わされる関連付けを，式(4.19)の線形不等式群で表 現することが可能となる．式(4.16)を，δ1を用いた表現に書き直してみる．
{
y[i] =θ11·u1[i−3] +θ12·u2[i−3] +θ13·u3[i−3] +θ14·y[i−1] if δ1[i] = 1 y[i] =θ21·u1[i−3] +θ22·u2[i−3] +θ23·u3[i−3] +θ24·y[i−1] if δ1[i] = 0
(4.20) ここで，0−1変数δと変数u, yの積zを次のように定義する．
z11[i] =δ1·u1[i] z12[i] =δ1·u2[i]
z13[i] =δ1·u3[i] z14[i] =δ1·y[i]
z21[i] = (1−δ1)·u1[i] z22[i] = (1−δ1)·u2[i]
z23[i] = (1−δ1)·u3[i] z24[i] = (1−δ1)·y[i]
(4.21)
式(4.21)で定義した変数zを用いて式(4.20)の人間モデルは以下のように表現すること ができる．
y[i] =θ11·z11[i−3] +θ12·z12[i−3] +θ13·z13[i−3] +θ14·z14[i−1]
+θ21·z21[i−3] +θ22·z22[i−3] +θ23·z23[i−3] +θ24·z24[i−1] (4.22) しかし，式(4.21)には非線形項が含まれているので，これに対処する必要がある．そこ
で，式(4.8)と同様にして不等式群を作ると，
z11[i]≤u1M ·δ1[i] z11[i]≥u1m·δ1[i]
z11[i]≤u1[i]−u1m·(1−δ1[i]) z11[i]≥u1[i]−u1M ·(1−δ1[i]) ...
z14[i]≤u4M ·δ1[i] z14[i]≥u4m·δ1[i]
z14[i]≤u4[i]−u4m·(1−δ1[i]) z14[i]≥u4[i]−u4M ·(1−δ1[i])
(4.23)
z21[i]≤u1M ·(1−δ1[i]) z21[i]≥u1m·(1−δ1[i]) z21[i]≤u1[i]−u1m·δ1[i] z21[i]≥u1[i]−u1M ·δ1[i]
...
z24[i]≤u4M ·(1−δ1[i]) z24[i]≥u4m·(1−δ1[i]) z24[i]≤u4[i]−u4m·δ1[i] z24[i]≥u4[i]−u4M ·δ1[i]
(4.24)
となる．
以上をまとめると，式(4.16)のシステムは，線形等式表現である式(4.22)と線形不等 式表現である式(4.19), 式(4.23),式(4.24)の組み合わせで記述できることになる．