第 4 章 極小曲面 73
4.6 Gauss 写像
曲面の各点に対してその点での単位法ベクトルを対応させることでGauss写像 を定義する。Gauss写像は曲面から単位球面への写像になり、対応する領域の面積 比がGauss曲率になる。さらに、極小曲面の場合はWeierstrass-Enneperの表現公 式(定理4.4.4)に現われる有理型関数がGauss写像を表わしている。
定義 4.6.1 uv平面の開集合Dで定義されたパラメータ表示p(u, v)で与えられる 曲面について、各点に単位法ベクトルe= (pu×pv)/|pu×pv|を対応させる写像を Gauss写像と呼ぶ。Gauss写像は曲面から単位球面への写像になる。
命題 4.6.2 uv平面の開集合Dで定義されたパラメータ表示p(u, v)で与えられる 曲面のGauss曲率をKで表わすと、
eu×ev =Kpu×pv が成り立つ。
証明 後で、単位法ベクトルeの一階偏微分とpu, pvとの内積が必要になるの で、まずそれらを計算しておく。単位法ベクトルeは接ベクトルpu, pvと直交する ことから、
he, pui=he, pvi= 0 が成り立つ。これらをu, vで微分すると
heu, pui+he, puui= 0, hev, pui+he, puvi= 0, heu, pvi+he, pvui= 0, hev, pvi+he, pvvi= 0.
したがって、次の等式を得る。
heu, pui=−he, puui, hev, pui=−he, puvi, heu, pvi=−he, pvui, hev, pvi=−he, pvvi. 単位法ベクトルeはhe,ei= 1を満たすことから、
heu,ei=hev,ei= 0 となり、eu,evは曲面に接する。そこで、
eu =αpu+βpv, ev =γpu+δpv とおく。euとpu, pvの内積をとると
heu, pui = αhpu, pui+βhpv, pui, heu, pvi = αhpu, pvi+βhpv, pvi すなわち、
"
hpu, pui hpu, pvi hpu, pvi hpv, pvi
# "
α β
#
=
"
heu, pui heu, pvi
#
=
"
−he, puui
−he, puvi
# . これより
"
α β
#
= 1
hpu, puihpv, pvi − hpu, pvi2
"
hpv, pvi −hpu, pvi
−hpu, pvi hpu, pui
# "
−he, puui
−he, puvi
#
= 1
hpu, puihpv, pvi − hpu, pvi2
"
−hpv, pvihe, puui+hpu, pvihe, puvi hpu, pvihe, puui − hpu, puihe, puvi
#
となり、
eu = hpu, pvihe, puvi − hpv, pvihe, puui
hpu, puihpv, pvi − hpu, pvi2 pu+hpu, pvihe, puui − hpu, puihe, puvi hpu, puihpv, pvi − hpu, pvi2 pv を得る。次にevとpu, pvの内積をとると
hev, pui = γhpu, pui+δhpv, pui, hev, pvi = γhpu, pvi+δhpv, pvi すなわち、
"
hpu, pui hpu, pvi hpu, pvi hpv, pvi
# "
γ δ
#
=
"
hev, pui hev, pvi
#
=
"
−he, puvi
−he, pvvi
# . これより
"
γ δ
#
= 1
hpu, puihpv, pvi − hpu, pvi2
"
hpv, pvi −hpu, pvi
−hpu, pvi hpu, pui
# "
−he, puvi
−he, pvvi
#
= 1
hpu, puihpv, pvi − hpu, pvi2
"
−hpv, pvihe, puvi+hpu, pvihe, pvvi hpu, pvihe, puvi − hpu, puihe, pvvi
#
となり、
ev = hpu, pvihe, pvvi − hpv, pvihe, puvi
hpu, puihpv, pvi − hpu, pvi2 pu+ hpu, pvihe, puvi − hpu, puihe, pvvi hpu, puihpv, pvi − hpu, pvi2 pv を得る。
上で得たeu,evのpu, pvによる線形結合による表示を使うと、
eu×ev
=
µ(hpu, pvihe, puvi − hpv, pvihe, puui)(hpu, pvihe, puvi − hpu, puihe, pvvi) (hpu, puihpv, pvi − hpu, pvi2)2
−(hpu, pvihe, puui − hpu, puihe, puvi)(hpu, pvihe, pvvi − hpv, pvihe, puvi) (hpu, puihpv, pvi − hpu, pvi2)2
¶
·pu×pv
= hpu, pvi2(he, puvi2− he, puuihe, pvvi) +hpu, puihpv, pvi(he, puuihe, pvvi − he, puvi2) (hpu, puihpv, pvi − hpu, pvi2)2
·pu×pv
= he, puuihe, pvvi − he, puvi2
hpu, puihpv, pvi − hpu, pvi2 pu×pv =Kpu×pv. 最後の等式では、命題3.2.1の表示を利用した。
以上は一般の曲面のGauss写像の性質である。極小曲面のGauss写像の性質を 調べるには、2次元球面と平面を対応させる立体射影が必要になる。そこで、立体 射影の定義と基本的性質を述べておく。
定義 4.6.3 xyz空間R3内の原点中心の単位球面S2 の点N = (0,0,1)以外の点
(x, y, z)に対して、Nとこの点を通る直線とxy平面との交点を対応させる写像を
立体射影と呼ぶ。
命題 4.6.4 S2− {N}の点(x, y, z)は立体射影によって µ x
1−z, y 1−z
¶
に写る。逆にxy平面の点(ξ, η)に立体射影によって写るS2− {N}の点は
µ 2ξ
ξ2+η2+ 1, 2η
ξ2+η2+ 1,ξ2+η2−1 ξ2+η2+ 1
¶
である。
証明 NとS2− {N}の点(x, y, z)を通る直線はパラメータtを使って (0,0,1) +t(x, y, z−1) = (tx, ty,1 +t(z−1))
と表わすことができる。この直線とxy平面との交点では1 +t(z−1) = 0となる ので、t= 1/(1−z)となる。したがって、(x, y, z)は立体射影によって
µ x
1−z, y 1−z
¶
に写る。逆にこの点を(ξ, η)とすると、
ξ = x
1−z, η = y 1−z. これより、x=ξ(1−z), y =η(1−z)となり、
1−z2 =x2+y2 =ξ2(1−z)2+η2(1−z)2 = (ξ2+η2)(1−2z+z2).
よって、zは次の二次方程式の解になる。
(ξ2+η2+ 1)z2−2(ξ2+η2)z+ (ξ2+η2−1) = 0.
これは次のように因数分解できる。
(z−1){(ξ2+η2+ 1)z−(ξ2+η2−1)}= 0.
N 以外の球面の点を求めているので、
z = ξ2+η2−1 ξ2 +η2+ 1
となる。このzの値を代入すると x =
µ
1− ξ2+η2−1 ξ2+η2+ 1
¶
ξ = 2ξ
ξ2+η2+ 1, y =
µ
1− ξ2+η2−1 ξ2+η2+ 1
¶
η= 2η
ξ2+η2 + 1 となり、求めるS2− {N}の点は
µ 2ξ
ξ2+η2+ 1, 2η
ξ2+η2+ 1,ξ2+η2−1 ξ2+η2+ 1
¶
になる。
定理 4.6.5 uv平面の開集合Dで定義されたパラメータ表示p(u, v)で与えられる 曲面について、u, vが等温座標系であり極小曲面になっていると仮定する。この極 小曲面のGauss写像は像を立体射影によってC∪ {∞}をS2と同一視すると、
ϕ1(w) = ∂x
∂u −i∂x
∂v, ϕ2(w) = ∂y
∂u −i∂y
∂v, ϕ3(w) = ∂z
∂u −i∂z
∂v. と
g = ϕ3 ϕ1−iϕ2 によって定まる有理型関数gになる。
証明 定理4.4.4の証明中に示したことと命題4.4.5より、Gauss写像の像は µ2Re(g)
|g|2+ 1, 2Im(g)
|g|2+ 1,|g|2−1
|g|2+ 1
¶
になる。これは立体射影により、球面からNを除いたものを複素平面と同一視す ると命題4.6.4よりgに他ならない。