第 3 章 曲面 47
3.3 回転面
= 8³
(a2+b2)zc22 + (−b2+c2)xa22 + (c2 −a2)yb22
´ 16a2b2c2³
x2
a4 +yb42 +zc42
´3/2
=
(−a2−b2+c2)³
x2
a2 +yb22 − zc22´
+ (x2+y2+z2) 2a2b2c2³
x2
a4 +yb42 +zc42
´3/2
= −²(a2+b2−c2) + (x2+y2+z2) 2a2b2c2
³x2
a4 +yb42 +zc42
´3/2 .
このように、関数の一定値をとる点の集まりとして一葉双曲面と二葉双曲面をと らえると、両方同時にGauss曲率と平均曲率を計算することができる。パラメー タ表示を利用してGauss曲率と平均曲率を計算しようとすると、一葉双曲面と二 葉双曲面でパラメータ表示が異なるため、似ているけど少し異なる計算を両方に ついてすることになる。
証明 回転のパラメータをvで表わすと、この回転面のパラメータ表示 p(u, v) = (f(u) cosv, f(u) sinv, g(u))
を得る。f(u), g(u)のuに関する微分をf0(u), g0(u)で表わすことにする。p(u, v)の u, vによる偏微分は
pu(u, v) = (f0(u) cosv, f0(u) sinv, g0(u)), pv(u, v) = (−f(u) sinv, f(u) cosv,0).
これより
pu×pv =f(u)(−g0(u) cosv,−g0(u) sinv, f0(u)) が成り立つ。
kpu×pvk=f(u)p
f0(u)2+g0(u)2 >0
となるので、pu, pv は線形独立になる。これより、p(u, v)が問題の回転面のパラ メータ表示であることがわかる。単位法ベクトルeは
e= pu×pv
kpu×pvk = 1
pf0(u)2+g0(u)2(−g0(u) cosv,−g0(u) sinv, f0(u)).
命題3.2.1を使ってこの回転面のGauss曲率Kと平均曲率Hを求める。そのため にまずpの一階偏微分の内積を求める。
hpu, pui = f0(u)2cos2v+f0(u)2sin2v+g0(u)2 =f0(u)2 +g0(u)2, hpu, pvi = −f0(u)f(u) cosvsinv+f0(u)f(u) sinvcosv = 0, hpv, pvi = f(u)2sin2v+f(u)2cos2v =f(u)2.
よって、
hpu, puihpv, pvi − hpu, pvi2 =f(u)2(f0(u)2+g0(u)2).
次にpの二階偏微分を計算する。
puu = (f00(u) cosv, f00(u) sinv, g00(u)), puv = (−f0(u) sinv, f0(u) cosv,0), pvv = (−f(u) cosv,−f(u) sinv,0).
これより
he, puui = f0(u)g00(u)−f00(u)g0(u) pf0(u)2+g0(u)2 , he, puvi = 0,
he, pvvi = f(u)g0(u) pf0(u)2+g0(u)2.
これまでの計算を使うと、命題3.2.1より、この回転面のGauss曲率K と平均曲 率Hは
K = (f0(u)g00(u)−f00(u)g0(u))f(u)g0(u)
f(u)2(f0(u)2+g0(u)2)2 = (f0(u)g00(u)−f00(u)g0(u))g0(u) f(u)(f0(u)2+g0(u)2)2 , H = (f0(u)2+g0(u)2)f(u)g0(u) +f(u)2(f0(u)g00(u)−f00(u)g0(u))
2f(u)2(f0(u)2+g0(u)2)3/2
= g0(u)
2f(u)(f0(u)2+g0(u)2)1/2 + f0(u)g00(u)−f00(u)g0(u) 2(f0(u)2+g0(u)2)3/2 となる。主曲率κ1, κ2は
K =κ1κ2, H = 1
2(κ1+κ2) となっているので、
κ1 = g0(u)
f(u)(f0(u)2+g0(u)2)1/2, κ2 = f0(u)g00(u)−f00(u)g0(u) (f0(u)2+g0(u)2)3/2
となる。xz平面の曲線(f(u), g(u))のパラメータuを弧長パラメータにすると、
f0(u)2+g0(u)2 = 1 となるので、上の曲率の表示は次のように簡単になる。
K =−f00
f , H = 1 2
µg0 f −f00
g0
¶
, κ1 = g0
f, κ2 =−f00 g0 .
例 3.3.2 例3.2.4では定理3.2.3を使って球面のGauss曲率と平均曲率、主曲率を 求めた。球面は回転面だから、命題3.3.1を使って球面のGauss曲率と平均曲率、
主曲率を求めることもできる。ここではその計算を実行する。xz平面の曲線を (f(u), g(u)) = ³
rcosu
r, rsinu r
´ ³
−π
2r < u < π 2r´
によって定める。パラメータuはこの曲線の弧長パラメータになっている。この曲線 をz軸の回りに回転した回転面は、半径rの球面から北極(0,0, r)と南極(0,0,−r) を除いたものになる。
f0(u) =−sinu
r, f00(u) =−1 rcosu
r, g0(u) = cosu r となるので、
K =−−1rcosur rcosur = 1
r2, H = 1 2
µ cosur
rcosur − −1rcosur cosur
¶
= 1 r, κ1 = cosur
rcosur = 1
r, κ2 =−−1rcosur cosur = 1
r.
例 3.3.3 回転面の一つ、輪環面のGauss曲率と平均曲率、主曲率を命題3.3.1を 使って求める。0< r < Rをとっておく。輪環面は次のxz平面の曲線をz軸の回 りに回転した回転面である。
(f(u), g(u)) =
³
R+rcosu
r, rsinu r
´ . パラメータuはこの曲線の弧長パラメータになっている。
f0(u) =−sinu
r, f00(u) = −1 r cosu
r, g0(u) = cosu r となるので、
K =− −1rcosur
R+rcosur = cosur r(R+rcosur), H = 1
2
µ cosur
R+rcosur −−1rcosur cosur
¶
= 1 2
µ cosur
R+rcosur + 1 r
¶ , κ1 = cosur
R+rcosur, κ2 =−−1rcosur cosur = 1
r.
主曲率κ2 = 1/rはxz 平面の曲線(f(u), g(u))の曲率に一致している。よって、
(f(u), g(u))に接する方向が主曲率1/rに対応する方向になる。その直交方向、つ まり回転の方向が主曲率κ1に対応する方向になる。
曲率の動く範囲を求める。0< r < Rより0< R+rcosur が成り立つ。これよ り、κ1の正負はcosur の正負で決まる。z成分が最大になる円
{(Rcosv, Rsinv, r)|v ∈R} とz成分が最小になる円
{(Rcosv, Rsinv,−r)|v ∈R}
を境界にして、外側ではK >0となり内側ではK <0となる。
回転面を利用してGauss曲率一定の曲面や平均曲率一定の曲面の例を構成する。
Gauss曲率が正の一定値である曲面の例は例3.2.4で扱った球面である。Gauss曲 率が0で一定の曲面の例は例3.2.5で扱った柱面である。そこで、ここではGauss 曲率が負の一定値である曲面を構成しよう。
例 3.3.4 命題3.3.1の設定でGauss曲率K =−f00(u)/f(u) = −c2の例を構成しよ う。これはf00(u) =c2f(u)という条件になる。これはf(u)の微分方程式であり、
f(u) = 1 ce−cu
は解の一つになる。uが弧長パラメータになるためには、
g0(u) =±p
1−f0(u)2 =±√
1−e−2cu が成り立つことである。これより
g(u) =± Z u
0
√1−e−2ctdt (0≤u <∞)
とすると、uは曲線(f(u), g(u))の弧長パラメータになる。したがって、xz平面の
曲線 µ
1 ce−cu,
Z u 0
√1−e−2ctdt
¶
をz軸の回りに回転した回転のGauss曲率は−c2になる。
平均曲率が0で一定の回転面を次の例で考察する。
例 3.3.5 命題3.3.1の設定で平均曲率 H = 1
2
µg0(u)
f(u) − f00(u) g0(u)
¶
= 0
の例を構成しよう。uがxz平面の曲線(f(u), g(u))の弧長パラメータになっている 場合を考えると、f0(u)2+g0(u)2 = 1が成り立つので、H = 0は
f(u)f00(u) = g0(u)2 = 1−f0(u)2 という条件になる。これはf(u)の微分方程式であり、
f0(u)2+f(u)f00(u) = 1 となる。左辺は(f(u)f0(u))0に等しいので、積分すると
f(u)f0(u) =u+a (aは定数).
さらにこの左辺は(f(u)2)0/2に等しいので、積分すると 1
2f(u)2 = 1
2u2+au+b (bは定数).
よって、f(u)2 =u2+ 2au+ 2bとなり、
f(u) = √
u2+ 2au+ 2b を得る。よって
f0(u) = u+a
√u2+ 2au+ 2b
となる。f0(u)2+g0(u)2 = 1より g0(u) =±p
1−f0(u)2 =± r
1− (u+a)2
u2+ 2au+ 2b =±
r 2b−a2 u2+ 2au+ 2b. これを満たすg(u)を簡単に見つけるために、a = 0とおく。さらに2b =c2 (c >0) とおく。すると、
g0(u) =±
r c2
u2+c2 =± c
√u2 +c2 となる。t=csinhsとおくとdt/ds=ccoshsとなり、
g(u) = ± Z u
0
√ cdt
t2 +c2 =±
Z sinh−1 uc 0
ccoshsds psinh2s+ 1
= ±
Z sinh−1uc 0
cds=±csinh−1 u c. 以上より
x = f(u) = √
u2 +c2, z = g(u) =±csinh−1 u
c. よって、
sinh2z c = u2
c2 = x2−c2 c2 = x2
c2 −1 となり、
x2
c2 = sinh2 z
c + 1 = cosh2 z c. これより問題の回転面を生成するxz平面の曲線は
x=ccoshz c
になる。これは懸垂線と呼ばれる曲線である。そしてこの懸垂線を回転して得ら れる回転面は懸垂面と呼ばれる。
定義 3.3.6 平均曲率が恒等的に0になる曲面を極小曲面と呼ぶ。例3.3.5より、懸 垂面は極小曲面になる。
命題3.3.1ではパラメータ表示された曲線から構成された回転面の曲率を求めた。
平面上の関数から定まる曲線から構成された回転面の曲率を求めることもできる。
命題 3.3.7 xz平面の開集合で定義された関数f(x, z)から定まる曲線f(x, z) = a がz軸と交わらないと仮定する。この曲線をz軸の回りに回転した回転面のGauss 曲率Kと平均曲率Hは
K = fx(fxxfz2−2fxzfxfz+fzzfx2) x(fx2+fz2)2 ,
H = ±
½ fx
2x(fx2+fz2)1/2 + fxxfz2−2fxzfxfz+fzzfx2 2(fx2+fz2)3/2
¾
となる。符号は曲面の単位法ベクトルのとり方に依存して定まる。主曲率κ1, κ2は κ1 =± fx
x(fx2+fz2)1/2, κ2 =±fxxfz2 −2fxzfxfz +fzzfx2
(fx2+fz2)3/2 (複合同順).
証明 f(x, z) = a上でdf 6= 0となっていることから、この曲線上の各点でfx 6= 0 またはfz 6= 0が成り立つ。fz 6= 0の場合を考えよう。二変数関数の陰関数定理 (定理1.1.3)より、陰関数g(x)が局所的に存在する。f(x, g(x)) =aを満たすので、
(x, g(x))はこの曲線の局所的なパラメータ表示になる。問題の回転面は、局所的
にはxz平面の曲線(x, g(x))の回転面になる。この回転面のGauss曲率Kと平均 曲率Hは命題3.3.1より
K = g00(x)g0(x) x(1 +g0(x)2)2,
H = g0(x)
2x(1 +g0(x)2)1/2 + g00(x) 2(1 +g0(x)2)3/2 となる。主曲率κ1, κ2は
κ1 = g0(x)
(1 +g0(x)2)1/2, κ2 = g00(x) (1 +g0(x)2)3/2 となる。陰関数定理(定理1.1.3)より
g0(x) = −fx(x, g(x))
fz(x, g(x)) =−fx fz
. 陰関数g(x)の二階微分は
g00(x) = − 1
fz2{(fxx+fxzg0)fz −fx(fzx+fzzg0)}
= − 1 fz2
½
fxxfz −fxzfx−fzxfx+fzzfx2 fz
¾
= − 1
fz3(fxxfz2−2fxzfxfz+fzzfx2).
以上より
K = 1
x µ
1 +³
fx
fz
´2¶2 · fx
fz4(fxxfz2−2fxzfxfz+fzzfx2)
= fx(fxxfz2−2fxzfxfz+fzzfx2) x(fx2+fz2)2 ,
H = − fx
2xfz µ
1 +³
fx
fz
´2¶1/2 −fxxfz2−2fxzfxfz+fzzfx2 2fz3
µ 1 +³
fx
fz
´2¶3/2
= −sgn(fz)
½ fx
x(fx2+fz2)1/2 +fxxfz2−2fxzfxfz+fzzfx2 (fx2+fz2)3/2
¾
となる。主曲率κ1, κ2はこれらの表示からわかる。
回転面に対して座標xとzは対等ではないので、fx 6= 0の場合も考えよう。二変数 関数の陰関数定理(定理1.1.3)より、陰関数h(z)が局所的に存在する。f(h(z), z) =a を満たすので、(h(z), z)はこの曲線の局所的なパラメータ表示になる。問題の回 転面は、局所的にはxz平面の曲線(h(z), z)の回転面になる。この回転面のGauss 曲率Kと平均曲率Hは命題3.3.1より
K = −h00(z) h(z)(h0(z)2+ 1)2,
H = 1
2h(z)(h0(z)2+ 1)1/2 + −h00(z) 2(h0(z)2+ 1)3/2 となる。主曲率κ1, κ2は
κ1 = 1
h(z)(h0(z)2+ 1)1/2, κ2 = −h00(z) (h0(z)2 + 1)3/2 となる。陰関数定理(定理1.1.3)より
h0(z) = −fz(h(z), z)
fx(h(z), z) =−fz fx
. 陰関数h(z)の二階微分は
h00(z) = − 1
fx2{(fzxh0+fzz)fx−fz(fxxh0+fxz)}
= − 1 fx2
½
−fzxfz+fzzfx+fxxfz2
fx −fxzfz
¾
= − 1
fx3(fxxfz2−2fxzfxfz+fzzfx2).
以上より
K = fxxfz2−2fxzfxfz+fzzfx2 h
µ 1 +³
fz
fx
´2¶2
fx3
= fx(fxxfz2−2fxzfxfz+fzzfx2) h(fx2+fx2)2
= fx(fxxfz2−2fxzfxfz+fzzfx2) x(fx2+fx2)2 ,
H = 1
2h µ³fz
fx
´2
+ 1
¶1/2 + fxxfz2−2fxzfxfx 2fx3
µ³fz
fx
´2
+ 1
¶3/2
= sgn(fz)
½ fx
x(fx2+fz2)1/2 + fxxfz2−2fxzfxfz+fzzfx2 (fx2+fz2)3/2
¾ .
例 3.3.8 例3.3.2ではパラメータ表示された平面曲線を回転して表示された球面
のGauss曲率と平均曲率、主曲率を命題3.3.1を使って計算した。ここでは、関数
が一定値をとる点の集りとして表示された平面曲線を回転して球面を表わし、命
題3.3.7を利用して球面のGauss曲率と平均曲率、主曲率を計算する。xz平面の
関数f(x, z)を
f(x, z) =x2+z2 ((x, z)∈R2, x >0)
によって定めると、f(x, z) = r2が定めるxz平面の曲線をz軸の回りに回転して 得られる回転面が半径rの球面になる。f(x, z)の一階偏微分と二階偏微分は次の ようになる。
fx = 2x, fz = 2z, fxx = 2, fxz = 0, fzz = 2.
これらより
K = 2x{2(2z)2+ 2(2x)2}
x{(2x)2+ (2z)2}2 = 16x(x2+z2)
16x(x2+z2)2 = 1
x2+z2 = 1 r2,
H = 2x
2x{(2x)2+ (2z)2}1/2 + 2(2x)2+ 2(2z)2
2{(2x)2+ (2z)2}3/2 = 1
(x2+z2)1/2 = 1 r,
κ1 = 2x
x{(2x)2+ (2z)2}1/2 = 1
r, κ2 = 2(2x)2+ 2(2z)2 {(2x)2 + (2z)2}3/2 = 1
r.
例 3.3.9 例3.3.3ではパラメータ表示された平面曲線を回転して得らる輪環面の
Gauss曲率と平均曲率、主曲率を命題3.3.1を使って計算した。ここでは、関数が
一定値をとる点の集りとして表示された平面曲線を回転して輪環面を表わし、命 題3.3.7を利用して輪環面のGauss曲率と平均曲率、主曲率を計算する。例3.3.3 と同様、0< r < Rをとっておく。xz平面の関数f(x, z)を
f(x, z) = (x−R)2+z2 ((x, z)∈R2)
によって定めると、f(x, z) = r2が定めるxz平面の曲線をz軸の回りに回転して 得られる回転面が輪環面になる。
f(x, z) =x2−2Rx+R2+z2
となり、f(x, z)の一階偏微分と二階偏微分は次のようになる。
fx = 2x−2R, fz = 2z, fxx = 2, fxz = 0, fzz = 2.
これらより
K = (2x−2R){2(2z)2+ 2(2x−2R)2}
x{(2x−2R)2+ (2z)2}2 = (x−R){(x−R)2+z2}
x{(x−R)2+z2} = x−R x ,
H = 2x−2R
2x{(2x−2R)2+ (2z)2}1/2 + 2(2z)2+ 2(2x−2R)2 2{(2x−2R)2 + (2z)2}3/2
= x−R
2x{(x−R)2 +z2}1/2 + (x−R)2+z2
2{(x−R)2+z2}3/2 = x−R 2rx + 1
2r, κ1 = x−R
rx , κ2 = 1 r.
これらの結果はxz平面の曲線のパラメータ表示 (x, z) = ³
R+rcosu
r, rsinu r
´
を代入すると、例3.3.3の結果と一致することがわかる。
例 3.3.10 命題3.3.7を利用して懸垂面の主曲率を求め、極小曲面であることを再 確認する。懸垂面はxz平面の曲線
x=ccoshz c
をz軸の回りに回転して得られる回転面である。そこで f(x, z) = x−ccoshz
c とおくと、f(x, z) = 0が問題の曲線になる。
fx = 1, fz =−sinhz
c, fxx = 0, fxz = 0, fzz =−1
ccoshz c. これらより、
κ1 = 1
x¡
1 + sinh2 zc¢1/2 = 1
xcoshzc = c x2, κ2 = − coshzc
ccosh3zc =− 1
ccosh2 zc =− c x2
となり、平均曲率は0になることがわかる。さらにGauss曲率は−c2/x4になる。