曲面の曲率

曲面のパラメータによる表示を利用して曲面の種々の曲率を定義しその基本的 性質を調べる。

空間内の曲面のパラメータ表示が

p(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) によって与えられているとする。すると各点で

p_u(u, v) = (x_u(u, v), y_u(u, v), z_u(u, v)), p_v(u, v) = (x_v(u, v), y_v(u, v), z_v(u, v))

は線形独立になる。pu, p_vの張る平面がこの曲面の接平面になる。さらにこれらの ベクトル積p_u×p_vはp_uとp_vに直交するので、接平面に直交することになる。す

なわち、pu×p_vは曲面の法ベクトルになる。これを自分自身の長さで割れば、単 位法ベクトル

e= p_u×p_v kp_u×p_vk

を定めることができる。パラメータ(u₀, v₀)に対応する曲面の点p(u₀, v₀)における 曲面の形状を調べるために関数

f(u, v) = he(u0, v0), p(u, v)i について考える。e0 =e(u₀, v₀)と表わすと、

f(u, v) =he₀, p(u, v)i となる。これをu, vで偏微分すると

f_u =he₀, p_ui, f_v =he₀, p_vi. 特に

f_u(u₀, v₀) =he₀, p_u(u₀, v₀)i= 0, f_v(u₀, v₀) = he₀, p_v(u₀, v₀)i= 0.

したがって、

df_(u0,v0)=f_u(u₀, v₀)du+f_v(u₀, v₀)dv= 0.

さらにHess(f)_(u0,v0)を求めることでp(u₀, v₀)における曲面の形状をおおよそ知る ことできる。

f_uu=he₀, p_uui, f_uv =he₀, p_uvi, f_vu=he₀, p_vui, f_vv =he₀, p_vvi より

Hess(f)(u0,v0) =

"

he₀, p_uui he₀, p_uvi he₀, p_vui he₀, p_vvi

# . 曲面の接ベクトルの内積は

hξp_u+ηp_v, ξ₁p_u+η₁p_vi

= ξξ₁hp_u, p_ui+ξη₁hp_u, p_vi+ηξ₁hp_v, p_ui+ηη₁hp_v, p_vi

= [ξ η]

"

hp_u, p_ui hp_u, p_vi hp_v, p_ui hp_v, p_vi

# "

ξ₁ η₁

#

となる。上の内積の係数行列を P =

"

hp_u, p_ui hp_u, p_vi hp_v, p_ui hp_v, p_vi

#

とおくと、P は正定値対称行列になる。定理1.1.5を利用するとある正定値対称行 列Rが存在し

P =R², P R=RP

が成り立つことがわかる。二次の列ベクトルx,yに対して、

(R⁻¹x)^∗P R⁻¹y=x^∗(R⁻¹)^∗P R⁻¹y=x^∗R⁻¹P R⁻¹y=x^∗P R⁻²y=x^∗y が成り立つので、線形写像x 7→ R⁻¹xは標準的な内積を持つR²から、曲面の接 平面の基底p_u, p_vの係数を対応させると内積を保つことになる。したがって、

(R⁻¹)^∗Hess(f)R⁻¹ = (R^∗)⁻¹Hess(f)R⁻¹ =R⁻¹Hess(f)R⁻¹

が曲面の形状を表わしていることになる。定理1.1.5の証明中に示したこととその 後に書いたことから、上の行列の固有値から曲面のおおよその形がわかる。二次対 称行列R⁻¹Hess(f)R⁻¹の固有値をκ₁, κ₂で表わし、曲面の主曲率と呼ぶ。さらに、

K =κ₁κ₂, H = 1

2(κ₁+κ₂)

とおいて、KとHを曲面のGauss曲率と平均曲率と呼ぶ。これらの曲率の定義 の元になっているのは行列R⁻¹Hess(f)R⁻¹である。Rの成分は明らかにしていな いので、これらの曲率を求めるのは一見すると困難なように思われるが、KとH は以下に示すようにパラメータ表示pを利用して計算できる。

命題 3.2.1 パラメータ表示pを持つ曲面のGauss曲率Kと平均曲率Hは次の式 で与えられる。

K = he₀, p_uuihe₀, p_vvi − he₀, p_uvi² hp_u, p_uihp_v, p_vi − hp_u, p_vi² ,

H = hp_u, p_uihe₀, p_vvi −2hp_u, p_vihe₀, p_uvi+hp_v, p_vihe₀, p_uui 2(hp_u, p_uihp_v, p_vi − hp_u, p_vi²) . 証明 Gauss曲率Kと平均曲率Hの定義より

K = κ₁κ₂ = det(R⁻¹Hess(f)R⁻¹) = det(R⁻¹) det(Hess(f)) det(R⁻¹)

= det(R⁻²) det(Hess(f)) = det(P)⁻¹det(Hess(f))

= he₀, p_uuihe₀, p_vvi − he₀, p_uvi² hp_u, p_uihp_v, p_vi − hp_u, p_vi² ,

H = 1

2(κ₁+κ₂) = 1

2tr(R⁻¹Hess(f)R⁻¹) = 1

2tr(R⁻²Hess(f))

= 1

2tr(P⁻¹Hess(f)).

ここで

P⁻¹Hess(f)

= 1

hpu, puihpv, pvi − hpu, pvi²

"

hp_v, p_vi −hp_u, p_vi

−hp_v, p_ui hp_u, p_ui

# "

he₀, p_uui he₀, p_uvi he₀, p_vui he₀, p_vvi

#

= 1

hpu, puihpv, pvi − hpu, pvi² ·

"

hpv, pvihe0, puui − hpu, pvihe0, pvui ∗

∗ −hp_v, p_uihe₀, p_uvi+hp_u, p_uihe₀, p_vvi

#

となるので、

H = hpu, puihe0, pvvi −2hpu, pvihe0, puvi+hpv, pvihe0, puui 2(hp_u, p_uihp_v, p_vi − hp_u, p_vi²) .

命題 3.2.2 曲面が関数g(x, y)のグラフ(x, y, g(x, y))になっている場合のGauss曲 率Kと平均曲率Hは次の式で与えられる。

K = g_xxg_yy −g_xy²

(1 +g_x²+g_y²)², H = g_xx(1 +g_y²)−2g_xg_yg_xy+g_yy(1 +g_x²) 2(1 +g_x²+g²_y)^3/2

証明 関数g(x, y)のグラフ(x, y, g(x, y))のパラメータ表示は p(x, y) = (x, y, g(x, y))

となる。

p_x = (1,0, g_x), p_y = (0,1, g_y) より

p_x×p_y = (−g_x,−g_y,1) が成り立つ。これより

kp_x×p_yk= q

1 +g_x²+g_y² となり

e= 1

p1 +g_x²+g_y²(−g_x,−g_y,1) は単位法ベクトルになる。

hgx, gxi= 1 +g²_x, hgy, gyi= 1 +g_y², hgx, gyi=gxgy, p_xx = (0,0, g_xx), p_yy = (0,0, g_yy), p_xy = (0,0, g_xy), he₀, p_xxi= √ ^gxx

1+g_x²+g_y², he₀, p_yyi= √ ^gyy

1+g²_x+g²_y, he₀, p_xyi= √ ^gxy

1+g_x²+g²_y

を命題3.2.1で得た等式に代入する。

K = g_xxg_yy−g_xy²

1 +g²_x+g²_y · 1

(1 +g_x²)(1 +g_y²)−g_x²g_y² = g_xxg_yy −g_xy² (1 +g_x²+g_y²)², H = g_xx(1 +g_y²)−2g_xg_yg_xy+g_yy(1 +g_x²)

2(1 +g_x²+g²_y)^1/2 · 1

(1 +g_x²)(1 +g_y²)−g_x²g²_y

= g_xx(1 +g_y²)−2g_xg_yg_xy+g_yy(1 +g_x²) 2(1 +g_x²+g²_y)^3/2 .

定理 3.2.3 R³の開集合上で定義された関数f(x, y, z)と定数aに対して S ={(x, y, z)|f(x, y, z) = a}

上でdf 6= 0と仮定する。このとき、曲面SのGauss曲率Kと平均曲率Hは次の 式で与えられる。

K = 1

(f_x²+f_y²+f_z²)² ×

{(f_yyf_zz−f_yz² )f_x²+ (f_xxf_zz −f_xz² )f_y²+ (f_xxf_yy−f_xy² )f_z² +2(f_xzf_yz−f_xyf_zz)f_xf_y+ 2(f_xyf_xz −f_yzf_xx)f_yf_z +2(f_xyf_yz−f_xzf_yy)f_zf_x},

H = ± 1

2(f_x²+f_y²+f_z²)^3/2 ×

{(f_xx+f_yy)f_z²+ (f_yy+f_zz)f_x² + (f_zz+f_xx)f_y²

−2(f_xyf_xf_y+f_yzf_yf_z+f_zxf_zf_x)}.

符号は曲面の単位法ベクトルのとり方に依存して定まる。

証明 S上でdf 6= 0となっていることから、S上の各点でf_x 6= 0またはf_y 6= 0 またはfz 6= 0が成り立つ。fz 6= 0の場合を考えよう。三変数関数の陰関数定理(定 理1.3.3)より、陰関数g(x, y)が局所的に存在する。f(x, y, g(x, y)) =aを満たすの で、(x, y, g(x, y))はSの局所的なパラメータ表示になる。さらに定理1.3.3より

g_x(x, y) =−f_x(x, y, g(x, y))

f_z(x, y, g(x, y)), g_y(x, y) =−f_y(x, y, g(x, y)) f_z(x, y, g(x, y)) が成り立つ。gx(x, y)をさらにxで偏微分する。

g_xx(x, y)

= − 1

f_z(x, y, g(x, y))² ×

[{fxx(x, y, g(x, y)) +fxz(x, y, g(x, y))gx(x, y)}fz(x, y, g(x, y))

−f_x(x, y, g(x, y)){f_zx(x, y, g(x, y)) +f_zz(x, y, g(x, y))g_x(x, y)}].

関数f とその偏微分の値をとる点はすべて(x, y, g(x, y))なので、(x, y, g(x, y))を 省略して計算する。

g_xx = − 1

f_z²(f_xxf_z+f_xzf_zg_x−f_xf_zx−f_xf_zzg_x)

= − 1 f_z²

µ

fxxfz−fxzfz· fx

f_z −fxfzx+fxfzz· fx

f_z

¶

= − 1

f_z³(f_xxf_z²−2f_xzf_xf_z+f_zzf_x²).

g_x(x, y)をさらにyで偏微分する。

g_xy(x, y)

= − 1

f_z(x, y, g(x, y))² ×

[{fxy(x, y, g(x, y)) +fxz(x, y, g(x, y))gy(x, y)}fz(x, y, g(x, y))

−f_x(x, y, g(x, y)){f_zy(x, y, g(x, y)) +f_zz(x, y, g(x, y))g_y(x, y)}].

関数f とその偏微分の値をとる点はすべて(x, y, g(x, y))なので、(x, y, g(x, y))を 省略して計算する。

g_xy = − 1

f_z²(f_xyf_z+f_xzg_yf_z−f_xf_zy−f_xf_zzg_y)

= − 1 f_z²

µ

f_xyf_z−f_xz· f_y

f_z ·f_z−f_xf_zy+f_xf_zz· f_y f_z

¶

= − 1

f_z³(f_xyf_z²−f_xzf_yf_z−f_yzf_xf_z +f_zzf_xf_y).

g_y(x, y)をさらにyで偏微分する。

g_yy(x, y) = − 1

f_z(x, y, g(x, y))² ×

[f_yy(x, y, g(x, y)) +f_yz(x, y, g(x, y))g_y(x, y)}f_z(x, y, g(x, y))

−f_y(x, y, g(x, y)){f_zy(x, y, g(x, y)) +f_zz(x, y, g(x, y))g_y(x, y)}].

関数f とその偏微分の値をとる点はすべて(x, y, g(x, y))なので、(x, y, g(x, y))を 省略して計算する。

gyy = − 1

f_z²(fyyfz+fyzfzgy −fyfzy−fyfzzgy)

= − 1 f_z²

µ

f_yyf_z−f_yzf_z· f_y

fz −f_yf_zy+f_yf_zz ·f_y fz

¶

= − 1

f_z³(f_yyf_z²−2f_yzf_yf_z+f_zzf_y²).

以上よりGauss曲率は

K = 1

f_z⁶

½ 1 +³

fx

fz

´2

+³

fy

fz

´2¾2 ×

{(fxxf_z²−2fxzfxfz +fzzf_x²)(fyyf_z²−2fyzfyfz+fzzf_y²)

−(f_xyf_z²−f_xzf_yf_z−f_yzf_xf_z+f_zzf_xf_y)²}

= 1

f_z²(f_x²+f_y²+f_z²)² ×

{(fxxfyyf_z⁴−2fxzfyyfxf_z³−2fyzfxxfyf_z³ +f_yyf_zzf_x²f_z²+ 4f_xzf_yzf_xf_yf_z²+f_xxf_zzf_y²f_z²

−2f_yzf_zzf_x²f_yf_z −2f_xzf_zzf_xf_y²f_z+f_zz²f_x²f_y²)

−(f_xy² f_z⁴−2f_xyf_xzf_yf_z³−2f_xyf_yzf_xf_z³

+f_xz² f_y²f_z²+f_yz² f_x²f_z²+ 2f_xyf_zzf_xf_yf_z²+ 2f_xzf_yzf_xf_yf_z²

−2f_xzf_zzf_xf_y²f_z−2f_yzf_zzf_x²f_yf_z+f_zz²f_x²f_y²)}

= 1

f_z²(f_x²+f_y²+f_z²)² × {f_xxf_yyf_z⁴−f_xy² f_z⁴

−2f_xzf_yyf_xf_z³−2f_yzf_xxf_yf_z³+ 2f_xyf_xzf_yf_z³+ 2f_xyf_yzf_xf_z³ +f_yyf_zzf_x²f_z²+ 2f_xzf_yzf_xf_yf_z²+f_xxf_zzf_y²f_z²

−f_xz² f_y²f_z²−f_yz² f_x²f_z²−2f_xyf_zzf_xf_yf_z²}

= 1

(f_x²+f_y²+f_z²)² × {f_xxf_yyf_z²−f_xy² f_z²

−2f_xzf_yyf_xf_z−2f_yzf_xxf_yf_z+ 2f_xyf_xzf_yf_z+ 2f_xyf_yzf_xf_z +f_yyf_zzf_x²+ 2f_xzf_yzf_xf_y+f_xxf_zzf_y²

−f_xz² f_y²−f_yz²f_x²−2f_xyf_zzf_xf_y}

= 1

(f_x²+f_y²+f_z²)² ×

{(f_yyf_zz−f_yz² )f_x²+ (f_xxf_zz −f_xz² )f_y²+ (f_xxf_yy−f_xy² )f_z² +2(f_xzf_yz−f_xyf_zz)f_xf_y+ 2(f_xyf_xz −f_yzf_xx)f_yf_z +2(f_xyf_yz−f_xzf_yy)f_zf_x}.

平均曲率は

H = 1

2f_z⁵

½ 1 +

³fx

fz

´2

+

³fy

fz

´2¾3/2 ×

{−(f_xxf_x²−2f_xzf_xf_z+f_zzf_x²)(f_z²+f_y²) +2f_xf_y(f_xyf_z² −f_xzf_yf_z−f_yzf_xf_z+f_zzf_xf_y)

−(f_yyf_z²−2f_yzf_yf_z+f_zzf_y²)(f_z²+f_x²)}

= 1

2sgn(f_z)f_z²(f_x²+f_y²+f_z²)^3/2 ×

{−(f_xxf_z⁴−2f_xzf_xf_z³+f_zzf_x²f_z²+f_xxf_z²f_y² −2f_xzf_xf_zf_y²+f_zzf_x²f_y²) +2f_xyf_xf_yf_z²−2f_xzf_xf_y²f_z−2f_yzf_x²f_yf_z+ 2f_zzf_x²f_y²

−(f_yyf_z⁴−2f_yzf_yf_z³+f_zzf_y²f_z²+f_yyf_z²f_x²−2f_yzf_yf_zf_x²+f_zzf_y²f_x²)}

= 1

2sgn(f_z)f_z²(f_x²+f_y²+f_z²)^3/2 × {−(f_xx+f_yy)f_z⁴+ 2(f_xzf_x+f_yzf_y)f_z³

+(−f_zzf_x²−f_xxf_y²+ 2f_xyf_xf_y −f_zzf_y²−f_yyf_x²)f_z²}

= 1

2sgn(fz)f_z²(f_x²+f_y²+f_z²)^3/2 × {−(f_xx+f_yy)f_z²+ 2(f_xzf_x+f_yzf_y)f_z

−fzzf_x² −fxxf_y²+ 2fxyfxfy−fzzf_y²−fyyf_x²}

= −1

2sgn(f_z)(f_x²+f_y²+f_z²)^3/2 ×

{(f_xx+f_yy)f_z²+ (f_yy+f_zz)f_x²+ (f_zz+f_xx)f_y²

−2(f_xyf_xf_y+f_yzf_yf_z+f_zxf_zf_x)}. f_x6= 0やf_y 6= 0の場合も同様に計算できる。

例 3.2.4 例3.1.1で扱った

f(x, y, z) = x²+y² +z² ((x, y, z)∈R³) による表示

S²(r) = {(x, y, z)∈R³ |f(x, y, z) = r²}

から定理3.2.3を使って球面のGauss曲率と平均曲率、さらに主曲率を求める。

f_x = 2x, f_y = 2y, f_z = 2z,

f_xx =f_yy =f_zz = 2, f_xy =f_yx =f_yz =f_zy =f_zx=f_xz = 0 よりGauss曲率Kと平均曲率Hは

K = 1

(4x² + 4y²+ 4z²)²{4(2x)²+ 4(2y)²+ 4(2z)²}= 16(x²+y²+z²) 16(x²+y² +z²)²

= 1

x²+y²+z² = 1 r²,

H = 1

2(4x²+ 4y² + 4z²)^3/2{4(2x)²+ 4(2y)²+ 4(2z)²}= 16(x²+y²+z²) 16(x² +y²+z²)^3/2

= 1

(x²+y²+z²)^1/2 = 1 r.

これらより、主曲率はκ₁ =κ₂ = 1/rとなることもわかる。

例 3.2.5 xy平面の曲線をz軸の方向にそのまま延ばした曲面を柱面と呼ぶ。xy平 面の曲線f(x, y) =aをz軸の方向にそのまま延ばした曲面も同じ定義式f(x, y) = a で表わすことができる。定理3.2.3を使ってこの柱面のGauss曲率と平均曲率、さ らに主曲率を求める。fz = 0よりK = 0が成り立つ。さらに

H = 1

2(f_x²+f_y²)^3/2{f_yyf_x²−2f_xyf_xf_y+f_xxf_y²}

= 1

2(f_x²+f_y²)^3/2[−f_y f_x]

"

f_xx f_xy f_xy f_yy

# "

−f_y f_x

#

となり、Hは平面曲線f(x, y) = aの曲率の1/2になる。主曲率は0と平面曲線 f(x, y) =aの曲率になる。

例 3.2.6 正の定数a, b, cに対して例3.1.5で扱った f(x, y, z) = x²

a² + y² b² +z²

c² ((x, y, z)∈R³) による表示

E ={(x, y, z)∈R³ |f(x, y, z) = 1}

から定理3.2.3を使って楕円面のGauss曲率と平均曲率を求める。

fx = 2x

a², fy = 2y

b², fz = 2z c², fxx = 2

a², fyy = 2

b², fzz = 2 c², f_xy =f_yx =f_yz =f_zy =f_zx =f_xz = 0 よりGauss曲率Kと平均曲率Hは

K = 1

³4x²

a⁴ +^4y_b4² + ^4z_c4²

´2

½ 4

b²c² · 4x² a⁴ + 4

c²a² · 4y² b⁴ + 4

a²b² · 4z² c⁴

¾

=

16

³x²

a² + ^y_b²2 + ^z_c²2

´ 16a²b²c²³

x²

a⁴ + ^y_b4² +^z_c²4

´2 = 1

a²b²c²³

x²

a⁴ +^y_b4² +^z_c4²

´2,

H = 1

2³

4x²

a⁴ + ^4y_b4² +^4z_c4²

´3/2 ×

½µ 2 a² + 2

b²

¶4z² c⁴ +

µ2 b² + 2

c²

¶4x² a⁴ +

µ2 c² + 2

a²

¶4y² b⁴

¾

= 8³

(a²+b²)^z_c²2 + (b²+c²)^x_a²2 + (c²+a²)^y_b2²

´ 16a²b²c²³

x²

a⁴ + ^y_b²4 + ^z_c²4

´3/2

=

(a²+b²+c²)

³x²

a² + ^y_b²2 + ^z_c²2

´−(x²+y²+z²)

2a²b²c²³

x²

a⁴ + ^y_b4² +^z_c²4

´3/2

= (a²+b²+c²)−(x²+y²+z²) 2a²b²c²³

x²

a⁴ +^y_b4² +^z_c4²

´3/2 .

例 3.2.7 正の定数a, b, cに対して例3.1.6で扱った f(x, y, z) = x²

a² +y² b² − z²

c² ((x, y, z)∈R³) による表示

HI = {(x, y, z)∈R³ |f(x, y, z) = 1}, HII = {(x, y, z)∈R³ |f(x, y, z) = −1}

から定理3.2.3を使って一葉双曲面と二葉双曲面のGauss曲率と平均曲率を求め

る。以下の計算では一葉双曲面の場合に²= 1とし、二葉双曲面の場合に² =−1 とする。こうしておけばどちらの場合も曲面の定義式はf(x, y, z) = ²になる。

fx = 2x

a², fy = 2y

b², fz =−2z c², fxx = 2

a², fyy = 2

b², fzz =−2 c², f_xy =f_yx=f_yz =f_zy =f_zx=f_xz = 0 よりGauss曲率Kと平均曲率Hは

K = 1

³4x²

a⁴ +^4y_b4² +^4z_c4²

´2

½

− 4

b²c² ·4x² a⁴ − 4

c²a² · 4y² b⁴ + 4

a²b² · 4z² c⁴

¾

=

16³

−^x_a²² − ^y_b²² +^z_c2²

´ 16a²b²c²

³x²

a⁴ +^y_b4² +^z_c4²

´2 = −²

a²b²c²

³x²

a⁴ +^y_b²4 + ^z_c²4

´2,

H = 1

2

³4x²

a⁴ +^4y_b4² + ^4z_c4²

´3/2 ×

½µ2 a² + 2

b²

¶4z² c⁴ +

µ2 b² − 2

c²

¶4x² a⁴ +

µ

−2 c² + 2

a²

¶4y² b⁴

¾

= 8³

(a²+b²)^z_c²2 + (−b²+c²)^x_a²2 + (c² −a²)^y_b2²

´ 16a²b²c²³

x²

a⁴ +^y_b4² +^z_c4²

´3/2

=

(−a²−b²+c²)³

x²

a² +^y_b2² − ^z_c²²´

+ (x²+y²+z²) 2a²b²c²³

x²

a⁴ +^y_b4² +^z_c4²

´3/2

= −²(a²+b²−c²) + (x²+y²+z²) 2a²b²c²

³x²

a⁴ +^y_b4² +^z_c4²

´3/2 .

このように、関数の一定値をとる点の集まりとして一葉双曲面と二葉双曲面をと らえると、両方同時にGauss曲率と平均曲率を計算することができる。パラメー タ表示を利用してGauss曲率と平均曲率を計算しようとすると、一葉双曲面と二 葉双曲面でパラメータ表示が異なるため、似ているけど少し異なる計算を両方に ついてすることになる。

ドキュメント内 II 2006 (ページ 56-66)