4.5 補論
4.5.8 Chambers, Dorfman, and Wehrly [16] の推定量
Chambers, Dorfman, and Wehrly [16] はノンパラメトリック回帰法を用いてロバストな予測を行い、仮定 したモデル(4.4)のもとでのバイアスの調整を行うNonparametric Calibration推定量を提案した。
FˆCDW(t) =N−1
X
i∈s
I(Yi≤t) +X
j∈r
G(tˆ −βˆ0−βˆ1xj) +X
j∈r
X
i∈s
wij h
I(Yi≤t)−G(tˆ −βˆ0−βˆ1xi) i
(4.42) ここで、wijはウェイト(4.26)である。モデルがデータに厳密に当てはまる場合、(4.42)の第3項が0となり
model-based推定量(4.17)と一致する。モデルのデータへの当てはまりが悪い場合でも、それによって生じる
バイアスが調整され、(4.17)よりも高い精度が期待できる。反対に、モデルが正しく定式化された場合でも、
実際には第3項が0になることはないので、この場合、推定値の精度は多少下がることになる。また、FˆCDW は、ウェイトをπ−1i −1とすることにより、FˆRKM と等しくなる。FˆRKMとの相違は、FˆRKMがウェイトとし て、ラベルiの包含確率を利用するのに対して、FˆCDW はカーネル推定を利用して標本からウェイト計算し、
利用している点である(Valliant, Dorfman and Royall [143] )。
5 おわりに
本稿では、ノンパラメトリック・カーネル推定を利用する多峰性検定と視覚的方法を利用して、「全国物価 統計調査」の価格分布の分析を行った。また、有限母集団における累積分布関数推定量について検討した。
第2章では、カーネル密度推定量の性質を利用する多峰性検定を利用して、「全国物価統計調査」の価格分 布の分析を行った。特に、指定商標銘柄の価格分布の多峰性検定を行い、多峰性が検出された銘柄について、
多峰性の要因分析を行った。ここでは、電気冷蔵庫、養毛剤、ビール、即席カレーの価格分布を分析した。本 稿で取り上げていない銘柄も含め、多くの銘柄の価格分布は多峰分布であり、多峰性の要因分析を行った。多 峰性の要因は店舗規模や銘柄によって大きく異なるが、経営戦略としての「ディスカウント販売」の有無、店 舗の業態、競合店の有無や競合店の業態、立地環境、パート・アルバイト比率などが、主な要因として抽出さ れた。特に、大規模店舗では経営戦略、小規模店舗では店舗の経営環境に関係する属性の影響が大きいという 傾向が見られた。本稿で行った研究では、「商業統計調査」で調査されている小売り店舗の属性のうち、商品 の仕入れ先や年間商品販売額など、店舗の価格形成に影響が大きいと考えられる属性のいくつかを利用してい ない。これらの属性を利用することにより、価格分布の多峰性の要因をより詳細に分析することが可能になる と考えられる。この点は今後の検討課題である。
モード・ツリーやモード・フォレストなど、カーネル推定を利用して、分布の多峰性を視覚的に検討する方 法が提案されている。第3章ではモード・ツリーとモード・フォレストを、多峰性検定でp値を評価する際に 補助的に利用し、「全国物価統計調査」の価格分布の分析に援用した。また、モード・フォレストを二次元に拡 張し、二変量モード・フォレストを考案した。そして、二次元の多峰型分布から乱数を発生させ、二変量モー ド・フォレストが、多峰性の検討に有益な方法であることを示した。「全国物価統計調査」では、一つの店舗 で複数の銘柄価格が調査されている。ここでは、二次元価格分布の分析に二変量モード・フォレストが有益で あることを示すため、二次元価格分布の擬似データを作成し検討を行った。この結果、二変量モード・フォレ ストが二次元価格分布の多峰性検出に有用であることが期待される。
第 4章では、有限母集団における分布関数推定について取り上げた。補助変数が与えられている場合に、
補助変数を利用して累積分布関数を推定するための推定量が提案されている。ここでは、主要な推定量すべ てについてシミュレーション実験を行い、その性質について考察した。シミュレーションでは、無条件の性 質と条件付き性質について、様々な角度から検討した。シミュレーション実験の結果から、モデルの定式化 が適当なケースでは、FˆCD推定量が優れたパフォーマンスを示した。モデルの定式化が不適当な場合には、
FˆRKM,FˆCDW などモデルの失敗の影響を受けにくい推定量がよい結果を示した。また、カーネル推定を利用 するFˆN RKM,FˆCDW,FˆDCK なども、よいパフォーマンスを示すことを明らかにした。また、FˆCD,FˆRKM に ついては、分布関数の精度を評価するために、ジャックナイフ法で分散を推定する方法が提案されている。こ こでは、FˆCD,FˆRKM 以外の推定量についても、ジャックナイフ法による分散の推定を試みた。そして、シミュ レーション実験を行い、無条件、条件付き性質について検討した。その結果、FˆCD,FˆRKM,FˆN RKM,FˆDCK な ど、カーネル推定を利用する推定量も含め、多くの推定量では、ジャックナイフ法による分散推定量が、無条 件、条件付き性質ともによい結果を示すことを明らかにした。一方、vjCD, vjRKM 以外の推定量については、
ジャックナイフ分散推定量の一致性の証明が行われていない。また、ノンパラメトリック法を利用する推定量 では、バンド幅を計算する方法が検討されておらず、バンド幅を適切に決めることができれば、よりよい結果 が期待できる。これらについては今後の検討課題としたい。
このように本稿では、ノンパラメトリック平滑化法の代表であるカーネル推定の応用を中心に研究を行った。
カーネル推定は、適用範囲が広く様々な方向で応用が可能であると考えられる。今後も理論、応用両面での研 究を進めていきたい。
謝辞：本稿の執筆に当たって、早稲田大学の野口和也教授、西郷浩教授、佐竹元一郎名誉教授、信州大学の 舟岡史雄教授からはたいへん貴重なコメントをいただきました。この場をお借りし厚く御礼申し上げます。
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