=ハ

σ〆 ︐ ︑

︑

lノ門rF π  O E  

F Q υ  

J'

π  F  t︑

pb

 

よって、 (3)を 得 る 。 さ ら に 、 EπF(y;

e 

1)の 定 義 及 び (3)より (2)を得る。

( 証 明 終 )

次 に 我 々 は 、 政 府 の 利 潤 関 数 及 び 社 会 厚 生 関 数 を 定 式 化 す る 。 企 業 iが 、 入 札 価 格b(y，θ1) で 勝 つ 時 の 政 府 の 利 潤 は 、

πG(y，θ1) = py  ‑ (1+λ)b(y， 

e 

1)y 

で 表 さ れ る 。 こ こ で 、 pは 公 共 財 の 価 絡 で あ り 、 λは 政 府 が 企 業 に 報 酬 と し て b(y，θ1 ) Yを 支 払 う 時 に か か る 社 会 費 用 を 表 す パ ラ メ ー タ ー を 意 味 す る 。 さ ら に 、 こ の 場 合 の 社 会 厚 生 を 次 の よ う に 定 義 す る 。

W(y，

e 

1)  =πG(y，θ1) +πF(y，θ1 ) 

= py  ‑λb(y， 

e 

1)y  ‑ ψ ( y， 

e 

1)  (6 )  政 府 は 、 各 企 業 が 入 札 を す る 際 に は 、 す べ て 平 等 に 取 り 扱 う も の と し よ う 。 こ の 時 、 期 待 社 会 厚 生 は

EW=fLW(y，θ )nF(θ)^ト 1f (θ)dθ  (7) 

と 表 さ れ る 。 補 題 1を 用 い る こ と に よ り 、 EWは 次 の よ う に 書 換 え ら れ る 。

補 題2 EW=f;{py‑(1+λ)ψ(y，θ )  

+λψθH(θ) ] n f (θ)n‑lf(θ)dθ  (8)  ( 証 明 ) (6)，(7)より

EW=f:Flpy‑λ b(y，θ)y ‑ ψ ( y，θ) ] n F ( θ ) n ‑ l f ( θ ) d θ (  9) 

QU 

︑AU

︑ ︑

Eノ

QV   /

¥  

g﹄&

n u 

VA AU 

n ︑

︑ ︐

J

VA 〆f︑ ︑

p i 

︑ ︑

︐

J

VA v d  

〆g

¥ su  

ψ 

‑L r 

a u a u  

f j  

λ ‑ a

v

先

ra EF J  ρ υ  

AU ︑B︐J

Q ν 

〆 ︐ ︑ ︑

fi n 

︑ ︑ ︐ ノ ρU   〆 ︐ ︑ ︑

FA

n u  

v u    

︑ ︑ ︐ ノ

ρu

 

n

ノ

︑

d〆

'a

¥

ょ

b

︐ ︐ . ‑

? L

︑ 人

目

v z r

﹁

1 1

‑ 8 8  

補

f j J

‑95 ‑

+ f:Fλψ (y，θ)nF(8 )n‑¹f(8)dθ  右 辺 第 1項 を 部 分 積 分 す る と

f:F 

[ J :

_{Fψθ (y}，x)F(x)n‑¹dx]nf(θ)dθ 

fLH(O)ψθ (y，8 )nF(θ)^ト lf(8 )d8 

よ っ て 、 上 式 を (9)に 代 入 す る こ と に よ っ て (8)を 得 る 。 ( 証 明 終 )

さ て 、 政 府 に と っ て の 課 題 は 、 期 待 社 会 厚 生

E W

を 最 大 に す る 公 共 財 の 生 産 量yな ら び に 限 界 的 企 業 θ Fを 求 め る こ と で あ る 。

問 題

[ 1 ] M a x   E W  

y 1 6_F 

問 題 [1 ]の解 ^{γ，θ引 を 最 適 固 定 量 入 札 計 画 と 呼 び 、 特 に

f

を 最 適 固 定 量 生 産 計 画 と 言 う こ と に す る 。 最 大 化1階 の 条 件 は 、 次 の よ う に 表 さ れ る 。

py^{車 ー} (1+λ)ψ(y^{車 ，} 8 }) +λψθ(y^{車 ，} 8;)H(θ

ぎ )

= 0  p[l  ‑ F(θ;〉nl+fLI‑〈1+λ 〉ψy(y

ヘ

^{8 )} 

+λψθy(y^事， 8 )H(θ)]nF(8 )n‑¹f(8 )d8  = 0  (10)，(11)か ら 我 々 は 次 の 命 題 を 得 る 。

(10) 

︑ ︐

f' ' A  

'EA 

〆 ︐ ︑ ︑

命 題 1 最 適 固 定 量 入 札 計 画 {y

ぺ

^{θ れ は 、 (10)，}(11)で 与 え ら れ 、 そ れ ら は 潜 在 的 企 業 数nに 依 存 す る 。

政 府 が 最 適 固 定 量 入 札 計 画 {y'* ，θ引 を 用 い る と き 、 潜 在 的 企 業 数 nの 変 化 が 社 会 厚 生

E W

に ど の よ う な 影 響 を 及 ぼ す か は 明 ら か で は な い 。 。 タ イ プ の 企 業 が 一 社 発 注 固 定 量 入 札 に お い て 勝 ち 、 最 適 固 定 量 生 産 計 画 ド を 生 産 す る と き の 社 会 厚 生^{W(y草 ， θ)}に 関 し て は 、 次 の 命 題 が 成 り 立 つ 。

命 題2 一 社 発 注 固 定 量 入 札 に お い て 勝 つ 企 業 が 高 い 生 産 技 術 を 持 つ ほ ど 、

W(y

ぺ

θ )は 大 き く な る 。

( 証 明 ) aW(y*，8 ) / δ θ =  ー(1+λ)内(γ，θ ) + λ 向。(y*，8 )H(θ)  +λψ()( y定， θ)Hてθ)

ψに 関 す る く 仮 定3>，く仮定 6>及びH(θ 〉が monotonic hazard  rate  property  を 満 た す こ と か ら 、

a 

W(y，ぶ θ)/θθ

> 

0を 得 る 。 ( 証 明 終 )

我 々 は 、 次 節 に お い て 一 社 発 注 可 変 量 入 札 モ デ ル を 構 築 す る が 、 そ の 構 築 を 待 た ず し て 最 適 固 定 量 入 札 計 画 {γ ，^θ引 の 次 善 的 性 質 を 明 か に す る こ と が 可 能 で ある。

命 題3 最 も 生 産 性 の 高 い 企 業 の タ イ プ が θの 時 、 政 府 が 一 社 発 注 固 定 量 入 札 を 採 用 す る と き よ り も 期 待 社 会 厚 生 を 大 き く す る 可 変 量 生 産 計 画 y(θ)が 存 在 す る 。

( 証 明 ) 可 変 量 生 産 計 画ye(θ)を

ys(8)  = y本+ β ( θ ‑ fj)  (但し、 βは 十 分 小 さ な 正 数 。 と 定 義 す る 。 こ こ で 、 θハは 次 式 を 満 た し て い る も の と す る 。

P 一 (1+λ)ψy(y，車 θ ) + λ ψハ y()(y，志 θ)H(θ) = 0 

政 府 が 、 生 産 計 画 と し て y*'YB(8 )を そ れ ぞ れ 用 い る 時 の 期 待 社 会 厚 生 は 、

EW(y*，θE)=  f;[py^{車 ー} (1+λ)ψ(y

ぺ

8 ) 

+ λ ψ

。

(y車， θ)H(θ)]nF(θ)n‑lf(θ)dθ EW(Ye (θ) ，θ;) =  fLIWθ(θ)一 (1 +λ)ψ(y 8 (θ) ，θ) 

+ λ ψf}( Y d (θ) ， 

e  ) 

H (θ)]nF(8 )n‑lf(θ) d 8  この時、 EW(Y8(θ) ，θ;) 

> 

EW(y，忘 θ予)を言うには

pYe(8)  ‑ (1+λ)ψ (ye (θ) ， 8) + λ ψ子(ya(θ)，θ)H(θ) 

> 

py率 一 (1+λ)ψ(y*，θ) + λ め(γ，θ)H(θ) ('''8  E [θ;， 

e  ] )  

を 示 せ ば よ い 。

( ケ ー ス 1)θ 〈

6

の時。

p ‑ (1+λ)ψy(y，車

e )  

+ λψ{}y (y，本 θ)H ( 

e  ) 

八

く p ‑ (1+λ)ψY(Y，車 θ ) +λψθy(y"'，θ)H( 8 ) = 0 

‑97  ‑

βは 十 分 小 さ な 正 数 な の で 、

P ‑ (1+λ)ψY (y d (θ )  ，θ )  + λ ψf}Y (y 8 (θ)，8)H(8) く O が 成 り 立 つ 。 さ ら に 、 Y8 (8 )く y車なので

PY_s(θ) 一 (1+λ)ψ(yβ(θ)，θ )  + λ ψe(y₆(8 ，) θ) H (θ) 

> 

PY事ー (1 +λ)ψ(yボ， 8 ) + λ ψB( Y本，θ)H(θ) を得る。

(ケース 2)θ 〉

θ

ペの 時 。 ( ケ ー ス 1) と 同 様 に 証 明 出 来 る 。 ( 証 明 終 )

2. 一 社 発 注 可 変 量 入 札 モ デ ル

2 . 1 モ デ ル

本 節 で は 、 最 も 生 産 性 の 高 い 企 業 の タ イ プ が 0で 表 さ れ る と き 、 こ の 企 業 に 対 し て 可 変 量 生 産 計 画Yv(θ)及 び 報 酬 計 画B(θ)を 割 り 当 て る 一 社 発 注 可 変 量 入 札 モ デ ル を 構 築 す る 。 こ こ でB(θ)は 、 政 府 に よ り 支 払 わ れ る 報 酬 の 期 待 値 を 表 す も の

と す る 。 可 変 量 入 札 の 手 順 は 次 の 通 り で あ る 。

(VA1)  政 府 は 、 可 変 量 生 産 ・ 報 酬 計 画 {Yv (θ) ， B (θ) } 及 び 留 保 価 格 を 公 表 す る。

(VA2)  企 業 は 、 自 己 の タ イ プ を 政 府 に 報 告 す る 。 (VA3)  最 も 高 い タ イ プ の 企 業 が 勝 つ 。

さて、 θiタ イ プ の 企 業 が 自 己 の タ イ プ と し て

x

を 報 告 し た と き の 期 待 利 潤 は Eπ ^F'(x;θ 1.)  =  B(x)‑ψ(Yv(x) ，θi)f(x)n‑1 

で 表 さ れ る 。 政 府 は 、 各 企 業 が 真 の タ イ プ を 報 告 す る よ う に 生 産 ・ 報 酬 計 画 { Yv (θ) ， B (θ) } を 策 定 す る も の と し よ う 。 ご の 時 、 次 の 補 題 を 得 る 。

補 題3 可 変 量 生 産 ・ 報 酬 計 画 {Yv (θ) ， B (θ) } が 誘 因 両 立 的 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は 、 次 の (A)，(B)で 表 さ れ る 。

(A)f7‑ψθ(Yv( 8 ，) 8 )F(θ)ト 1d 

8 ミ f:~ ‑

^{ψθ(Yv(x)，8 )F(x)n‑1d8} 

( V '  

x，θ1ε [

f ! ̲ ，

e])  (B)  B(θ1) = EπF(8 v;θv) + F(8 l)n‑lψ(Yv(8 1)，θ1 ) 

+ f::‑ψf;(Yv(8 )， θ)F(θ)n‑1d8  (ただし、 ^{θ v}は 一 社 発 注 可 変 量 入 札 に お け る 限 界 的 企 業 の タ イ プ を 表 す 。 )

( 証 明 ) ( 十 分 性 ) 簡 単 化 の た め EπF(θv;θv) = 0としよう。 ^(B)を 用 い る と 企 業 iが 自 己 の タ イ プ と し て

x

を 報 告 し た 時 の 期 待 利 潤 は 、

Eπ F (X ;θ1) =ψ(Yv(X)，X)F(X)n‑l  ‑ψ(Yv(X)，θl)F(x)n‑l 

+ 

f :

v‑ψθ(Yv(θ) ，θ)F(θ)n‑1d8 

= 

f:~- ψe(

^{Y v ( X ) ， 8 ) F ( X )ト}1dO+f;yo(yv(θ )，^{θ)F(θ)ト ldθ} 他方、 ^(A)か ら 閉 区 間 [fl，

8]

に 属 す る 任 意 の

x

，8に対して、

EπF(X; 8 1) 話

: f

^{i‑‑Oe(Yv(8，)} θ)F(8 )n‑1d8  + f:_y‑ψfj( Yv (θ) ，^{θ)F(θ)ト ldθ}

=f;:‑ψθ (Yv( 8 )， 8 )F(θ)n‑1dθ 

=  EπF(θi ; 8 1) 

よ っ て 、 可 変 量 生 産 ・ 報 酬 計 画 {Yv (θ) ， B (θ) } は 誘 因 両 立 的 と な る 。

( 必 要 性 ) 可 変 量 生 産 ・ 報 酬 計 画 {Yv (θ)，B(8 ) } が 誘 因 両 立 的 で あ る と し 、 便 宜 上 Eπ F(θ) = Eπ F(θ;θ)と し よ う 。 こ の 時 、 誘 因 両 立 性 条 件

EπF(θ) 孟 EπF(X;θ ) ('tfX，θε[θ ，^{θ ]  )}  は 、 次 の 不 等 式 の 成 立 を 意 味 す る 。

[ψ(Yv(X)，X) ー ψ(Yv(X)，θ)]F(X)n‑l孟 EπF(θ) ‑ EπF(X)  話 {ψ(Yv(θ)， X) ー ψ(Yv(θ)，θ )  ] F (θ) n ‑1  上 式 の 各 辺 を θ ‑X で割り、

x

→ θと す る と

dEπF (θ)/d 8  = ‑F(θ) n ‑1ψ

' 8

(Yv (θ) ，θ )   EπF(θ v) = 0なので、

‑99  ‑

EπF(θ1) =  f :一向(Yv(θ)，θ)F(θ)n‑1dθ 

よ っ て 、 企 業 の 期 待 利 潤 の 定 義 か ら

B(θ1)  =  F(θ1 ) n ‑1ψ(Yv(θ1 ) ，θ1 ) 

+  f:;一向(Yv(8 ，) θ)F(8 )n‑1d8  となり、 (B)を 得 る 。 さ ら に 、

EπF(θ1) ‑ EπF(X;θ1 ) 

= 

f:~- ψθ(Yv(θ)

^，θ)F(θ)n‑1d8 

f:~- ψθ(Yv(x) ， 8

^{)F(x)n‑1dθ} 

左 辺 が 非 負 な の で 、 (A)が 成 り 立 つ 。 ( 証 明 終 )

政 府 に と っ て 、 θ1は 確 率 変 数 で あ る の で 、 企 業 iに た い す る 政 府 の 期 待 支 払 EB (θ1 )は

EB(81)=f:if:;‑h(yv(O)，θ)F(θ)ト 1d 8 

+ψ(Yv(θ1)，8 1)F(θ1)n‑l]f(8 1)dθ1 

部 分 積 分 を 用 い る こ と に よ り

EB(81)=fLF(θ)^ト 1f (θ) [ψ(Yv(θ) ，θ ) ー ψθ(Yv(θ)，θ)H(θ) ] dθ 

政 府 は 、 す べ て の 企 業 を 平 等 に 扱 う の で 政 府 に と っ て の 期 待 支 払 はnEB(θ け と な る 。 こ の こ と か ら 、 こ の 場 合 の 期 待 社 会 厚 生 は 、

EWv(y(θ) ，θv)=nf;F(θ)^ト 1f(θ)[pyv(8)ー (1+λ)ψ(yv(8)， θ) 

+λψ(}( y v (θ) ，θ)H(θ) ] d θ ( 1 2 )   こ の 時 、 政 府 に と っ て の 問 題 は 、 (12) 式 を 最 大 に す る 可 変 量 生 産 計 画 Yv(8 )及 び 限 界 的 企 業 の タ イ プ θ vを 求 め る こ と で あ り 、 次 の よ う に 定 式 化 さ れ る 。

問 題 [2 ]  Max  EWv(yv(・)，θv) 

Yv(.)p (Jv 

問 題 [2 ] の 解 {y~ ^(θ) ， θ ぢ}を最適可変量入札計画と呼び、特に y~(θ) を最適可 変 量 生 産 計 画 と 言 う こ と に す る 。

最 大 化1階 の 条 件 か ら

PYv(θ0)  = (1+λ)ψ(Yv(θ ヴ)，θご)一 λψo(Yv( 

e 

~)，

e

ぢ)H (θ ぢ) (13)  P  = (1+λ 〉ψy(ytcθ)，θ) ‑ λ ψ YB (y~ (θ) ，θ)H(θ)  (14) 

最 適 可 変 量 生 産 計 画Y0(

e 

) に た い し て dyヴ(θ

)/de > 

0 

(θ vZ三

e

~三 θ)

と な る こ と が 、 容 易 に 確 認 で き る 2)。 従 っ て 、 最 適 可 変 量 生 産 計 画 は 生 産 性 の 高 い 企 業 に よ り 多 く の 生 産 量 を 割 り 当 て る こ と に な る 。

命 題4 最 適 可 変 量 生 産 ・ 報 酬 計 画 {Yt(θ) ， B本(θ)}は、 (13)，(14)か ら 得 ら れ 、

I ，. 耳〈

B

ぺ

θ ) = F(e)n-lψ (y~(e) ，

e) 

+ J~~-øg(Y~(X) ， X)F(X)n-ldx となる。

(14)式 は 、 最 適 可 変 量 生 産 計 画 が 0タ イ プ 以 外 の 企 業 が 入 札 で 勝 つ 場 合 に は 、 事 後 的 に は 最 適 と な ら な い こ と を 意 味 し て い る 。 こ の ケ ー ス は 、 企 業 数 が 無 限 の

と き 確 率 1で 生 ず る 。 事 後 的 に 最 適 な 状 態 、 か ら の 読 書 を は 、 ー λψyθ

( y ‑ : ( e )

，

e)x 

H(θ 〉 に よ っ て 表 さ れ る 。 こ れ は 、 情 報 の 非 対 称 性 の た め 生 ず る も の で あ り 、 生 産 性 の 高 い 企 業 が 自 己 の タ イ プ を 低 く 報 告 す る こ と を 防 ぐ た め に 、 よ り 生 産 性 の 低 い 企 業 に は 事 後 的 に 最 適 な 水 準 以 下 の 生 産 を さ せ る よ う に し て い る 。

次の二つの命題は、最適可変量生産・報酬計画 {y~(e) ， B 車 (θ) } の 性 質 を 特 徴 づ げている。

命 題5 一 社 発 注 可 変 量 入 札 に お い て 勝 つ 企 業 の 生 産 技 術 が 高 い ほ ど 、 W(y

ご

(θ)，θ )は 大 き く な る 。

( 証 明 ) ( 14 ) を 用 い る こ と に よ り 、

dW(yぎ(θ)， θ)/dθ= ー (1+λ)ψθ(y~(θ)，θ )  +λψθθ( y~(θ) ，θ)H(θ)  + λ ψ θ (  y0(θ)， 

e  ) 

Hて

e) 

ψに 関 す る く 仮 定3>，く仮定6>及 びH(θ)が皿onotonic hazard  rate  property  を満たすことから、 dW(y~(

e 

 ^，)

e 

)/dθ> 0を 得 る 。 ( 証 明 終 )

‑101 ‑

命 題6 潜在的企業数 n が増えるにつれ、期待社会厚生 EWv(Y~(8) ， 8~) は大きく なる。

( 証 明 )

EWv(Y~(

^8)， 

8~)

^{= nf:t:F(8 )トlf(8)W(山 8)，8)d8}

=F(B)nW(yv(6) ， E)-fLF(0)n( 州 (y~(8) ，

8 )/d8 )d8 

=  W(Yv(8)， 8) 

f~F ( 

8 ) n (d W (y 

t  ( 

8 ， ) 8 ) / d 8 ) d 8 

命題 5 より dW(y~(8 )， 8 )/d8 

> 

0 なので、 EWv(Y~( 8 ， ) 8 ~)は n の増加とともに増 え る 。 ( 証 明 終 )

2.2  一 社 発 注 固 定 量 入 札 モ デ ル と の 比 較

我 々 は 、 既 に 命 題3に お い て 最 適 固 定 量 入 札 計 画 の 次 善 的 性 質 を 明 か に し て い る が 、 そ の こ と は (11)と(14)を 直 接 比 較 す る こ と か ら も わ か る 。 し か し な が ら 、 企 業 数 が 無 限 の と き 最 適 可 変 量 入 札 計 画 の 最 適 固 定 量 入 札 計 画 に 対 す る 優 位 性 は 、 失われる。

命 題7 入 札 を す る 企 業 数 が 無 限 の 時 、 つ ぎ の こ と が 言 え る 。

(A) 最適固定量入札計画 {y* ， 8;} 及び最適可変量入札計画 {y~(8) ， 8~}

は 、 共 に 事 後 的 に 最 適 と な る 。

(B) 最 適 固 定 量 入 札 計 画 {y*，8r} 及び最適可変量入札計画 {y~(8) ， 8~}

を そ れ ぞ れ 用 い た と き の 企 業 の 期 待 利 潤 は ど の タ イ プ もOとなる。

(C)最 適 固 定 量 入 札 計 画 {y*，8: } 及 び 最 適 可 変 量 入 札 計 画 {y~ (θ)， 8ぢ}

を そ れ ぞ れ 用 い た と き の 社 会 厚 生 は 共 に 、 py ~

(e 

)一 (1+λ)ψ (y~(ë) ，

e) 

( 証 明 ) 次 の 事 実 を 示 す こ と は 、 容 易 で あ る 。

1 i m nF ( 8 ) n ‑1 f ( 8) = 

r 

1  (8 =  8) 

n

→

ω J  

( 8 矢 8 ) 

従 っ て 、 政 府 は

e

タ イ プ の 企 業 を 確 率 1で 知 る こ と が 出 来 る 。 こ の こ と か ら 、 (11) ，  (14)は 、 そ れ ぞ れ

p 

= 

(1 +λ)ψy(y車， 8 ) 

p = (1 +λ)ψy(y~( 百)， 8 ) 

と な り 、 事 後 的 に 最 適 と な る 。 さ ら に こ の 2式から、 y車 = y?; ( 

8 

) が な り た つ の で 最 適 固 定 量 入 札 計 画 {y

ぺ

8: } 及 び 最 適 可 変 量 入 札 計 画 {y~(θ) ， 8 引をそれぞ れ 用 い た と き の 社 会 厚 生 は 共 に 、 py~ ( 

8 

) ー (1 +λ)ψ (y~(8) ， e) となる。また、

こ の 場 合 、 す べ て の 企 業 の 期 待 利 潤 が 0に な る こ と は 、 明 か で あ ろ う 。 ( 証 明 終 )

つ ぎ に 、 一 社 発 注 固 定 量 入 札 モ デ ル に お け る 限 界 的 企 業

θf

と 一 社 発 注 可 変 量 入 札 モ デ ル に お け る 限 界 的 企 業 8~を比較する。

命 題8 可 変 量 入 札 は 、 固 定 量 入 札 よ り も 入 札 に 参 加 す る 企 業 の 競 争 を 、 促 進 す る 。 す な わ ち 、 。ぎく

θf

( 証 明 ) 最 適 固 定 量 生 産 計 画 ド に 関 し て (11 )より、

fi[(1+λ)ψy(y

ぺ

8)ー λψ仰 (y

ヘ

θ)H(θ)] n F (θ)ト lf(8)dθ

P = 

[1 ‑ F(θ

予 )

ⁿ J 

く (1+λ)ψy(y 車， θ~) ー λψé} Y(y^車， θ;)H(θ

下 )

他方、 8=8:: の時の最適可変量生産計画 y~(θ わは (14) を満たすものなので P = (1 +λ)ψy(y~(θ わ， θ わー λψθY(y ~(θ~) ， θ~)H(θ 下)

ここで、 T(y) = p ‑ (1+λ 〉 ψy(y ， θ~) +λψω(y，8:‑)H(8:) 

費 用 関 数 ψ に 関 す る 仮 定 か ら 、 T(y)は 単 調 減 少 で あ る こ と が わ か る 。 よ っ て 、 y~(θ わく y 本となる。従って、 y~(θ わく y く y 草を満たす y に関して

p く (1+λ)ψY(y ， θ~) ー λψθY(y ， θ~)H(θ~) なので、

pyC(θ:) 

> 

(1+λ)ψ(y ぢ (θ わ， θ;) 一 λψ。(y~(θ~) ， θ;)^H ( 8 

t )  

が 成 り 立 つ 。 何 と な れ ば 、

~ ‑‑* 

f:L81)pdy く fyfd(1+λ)ψy(y，8

: ) 一

^{λψf}Y(Y'8 ;)H(θ}

^わ

^]dy

が 言 え る か ら で あ る 。 ま た 、 (13)より

Py~(θ ず)

= 

(1 +λ)ψ(y~ ^(θ ヴ)， θ ぢ)ー λψ/y~(θ ご) ^， 8 ~) ^H ( 8 ~)

一103‑

と な る 。 こ こ で 、 d 

一一 一 [ py~(θ) ー ^(1+λ)ψ(y手(

e 

，) θ) + λψθ

( y t  (  e 

 ，)

e  ) 

^H 

( e  ) ]   > 

0  dθ 

で あ る こ と か ら 、

e 0 '

く θぎ を 得 る 。 ( 証 明 終 ) 2.3  一 社 発 注 可 変 量 入 札 モ デ ル の 実 行 可 能 性

我 々 が 本 節 に お い て 採 用 し た 一 社 発 注 可 変 量 入 札 は 、 各 企 業 に 自 己 の タ イ プ を 報 告 さ せ る と い う も の で あ り 、 さ ら に 、 政 府 が 企 業 に 報 酬 計 画 と し て 提 示 し た も の は 、 そ の 企 業 が 入 札 で 勝 っ た と き に 支 払 わ れ る 報 酬 の 期 待 値 で あ っ た 。 し か し な が ら 、 自 己 の タ イ プ を 報 告 さ せ た り あ る い は ま た 期 待 報 酬 を 報 酬 計 画 と し て 提 示 す る 入 札 は 、 現 実 に は あ ま り 用 い ら れ て い な い 。 こ れ に 対 し て 、 政 府 が 報 酬 計 画 と し て 実 際 に 企 業 に 支 払 う 報 酬 そ の も の を も ち い る こ と は 不 可 能 で あ る 。 何 故 なら、 θタ イ プ の 企 業 を 一 社 発 注 可 変 量 入 札 で 勝 た せ る と き の 報 酬 官(

e 

)は、

針。)

=  8事(e)/F(θ) n ‑1 

で 表 さ れ る が 、 これが、 θに 関 し て 一般 に は 単 調 に な ら な い か ら で あ る 。 こ こ で は 、 以 上 で 指 摘 し た 二 つ の 問 題 点 を 克 服 す る た め の 方 法 と し て 、 最 適 可 変 量 生 産 計画 y~(θ 〉と同じ結果をもたらす 2 つの実行可能ゲーム (implementation game)を 構築する。

2.3. 1 生 産 量 に 依 存 さ せ た 報 酬 計 画 に よ る 実 行 可 能 ゲ ー ム

こ こ で 用 い る 実 行 可 能 ゲ ー ム は 、 次 の よ う な も の で あ る 。

(VA草1)  政 府 は 、 生 産 量 に 依 存 さ せ た 報 酬 計 画8=8(y)を 、 各 企 業 に 公 表 す る 。 (VA事2) 企 業 は 、 こ の 報 酬 計 画 に 基 づ い て 生 産 量 を 選 ぶ 。

(VA勺 ) 生 産 量 が 最 大 で あ る 企 業 が 入 札 で 勝 つ 。

さ て 、 今 、 政 府 は 報 酬 計 画 と し て 8(y)  = B(y~- l(y))

を 用 い る も の と し よ う 。 こ の 報 酬 計 画 が 、 上 で 定 義 さ れ た ゲ ー ム の

Bayes‑Nash

均 衡上で最適可変量生産計画 y~(

e 

) を 笑 行 可 能 に す る 。 企 業 iは 、 他 の す べ て の 企 業 がy

= 

^yt( 

e 

) を 生 産 量 と し て 選 ん で い る と き 、 期 待 利 潤

[B(Yl) ー ψ(y 1 ， 

e 

^1)] F _(y~ ‑1 (y 1 ) )ロー 1

を 最 大 に す る Y1を 選 ぶ 。 こ のY1 が y~^(e 1)と な る こ と は 明 か で あ る 。

2.3.2  財 1単 位 当 り の 入 札 価 絡 計 画 に よ る 実 行 可 能 ゲ ー ム

我 々 は 、 第1節 の 一 社 発 注 固 定 量 入 札 と 同 様 、 各 企 業 に 財 1単 位 に た い し て 入 札 価 絡 を つ け さ せ る 実 行 可 能 ゲ ー ム を 構 築 す る が 、 そ れ は 、 次 の よ う に 定 義 さ れ る 。

(VA**l)  政 府 は 、 財 1単 位 当 り の 入 札 価 格 計 画b

(e 

) と 生 産 量 計 画yv(b(

e 

))を、

各 企 業 に 公 表 す る 。

(VA**2)  企 業 は 、 こ れ ら の 計 画 に 基 づ い て 生 産 量 を 選 ぶ 。 (VA^{事 事}3) 最 も 低 い 入 札 価 格 を つ げ た 企 業 が 入 札 で 勝 つ 。

こ こ で 、 政 府 は 財 1単 位 当 り の 入 札 価 絡 計 画 と し て b(θ) =官(θ)/y~( ^8 ) 

を 用 い る も の と し よ う 。 命 題 4より、

ψ(y~(8) ， 8) 

fL-ψ9(y~(x) ， x)F(x)n-ldx

b(θ)  + 

y~(

e  ) 

^{F(8 )n-ly~(e)}

と 表 さ れ る 。 こ こ で b(

e 

) の 単 調 性 を 調 べ て み よ う 。 b

て e)

は 盤 理 す る と 、 y _~'(

e  ) 

r  ‑'̲  1 

b'(θ)  = 一 I b 

(e ) 

^ー ψY(Y

く e ご

 )， 8 ) I 

y~(θ) L  J 

(n‑1)f(8 

_)rψ(y~(θ) ， 

8) 

1 

Ib(θ)ー ￨

F ( e) 

l 

_y~ ( 8 )  J 

こ の 式 か ら 、 b(θ)が ど の 0に 対 し て も 限 界 費 用 を 上 回 っ て い れ ばb^f(8 )は、負と な る こ と カtわカ、る。

‑ 105 ‑

命 題 9 財 1単 位 当 り の 入 札 価 格 計 画b(

e  )

が 、 ど の 0に 対 し て も 限 界 費 用 を 上 回 っ て い る 時 、 生 産 計 画 と し てyv(b)= y~(b-l(b)) を用いれば、 (VA**l)-- (VA^口 J)で 定義されたゲームの Bayes-Nash 均衡上で最適可変量生産計画 y~(

e 

) が 実 行 可 能 に なる。

( 証 明 ) 企 業iが 入 札 価 格 と し て b(x)を 選 ぶ と き の 期 待 利 潤 は 、 [b(x)y~(x) 一 ψ(y~(x)t (}  1)]F(x)n‑l 

= B 車 (x) ー ψ(y~(X) ， (}  1 )F(x) n‑1 

と な る 。 最 適 可 変 量 生 産 ・ 報 酬 計 画 {_y~ ( 6 )，  B^{事 (}

e  ) 

} は 、 誘 因 両 立 的 で あ る の で 企 業 iが b(e 1)を 入 札 価 絡 に す る と き 、 期 待 利 潤 が 最 大 に な るo ( 証 明 終 )

3 . 複 社 発 注 可 変 量 入 札 モ デ ル

3 . 1 モ デ ル

本 節 で は 生 産 技 術 に 関 す る タ イ プ が ( }

Mε[ (   }

^t 

e 

] 以 上 の 企 業 を す べ て 入 札 で 勝 た せ る 場 合 を 検 討 す る 。 ま ず 、 政 府 は

e

^M以 上 の 8に 対 し て 定 義 さ れ る 可 変 量 生 産 計 画YM(

e 

)3)及 び 報 酬 計 画R( (}  ) を そ れ ぞ れ 企 業 に 提 示 す る も の と し よ う 。 被 柱 発 注 可 変 量 入 札 の 手 順 は 次 の 通 り で あ る 。

( H V l )  

政 府 は 可 変 量 生 産 ・ 報 酬 計 画 {YM((}，)R(θ) } 及 び 留 保 価 格 ( }Mを 公 表 する。

( H V 2 )  

企 業 は 自 己 の タ イ プ を 政 府 に 報 告 す る 。

( H V 3 )  

θ M  以 上 の タ イ プ の 企 業 が す べ て 勝 つ 。

。

¹タ イ プ の 企 業 が 自 己 の タ イ プ と し て xを 報 告 し た と き の 利 潤 πF(X;

e 

1)は、 πF(X;θ1)  =  R(x)‑ψ(YM(x)，8 1) 

政 府 は 可 変 量 生 産 ・ 報 酬 計 画 {YM((})，R(8)} を 誘 因 両 立 性 条 件 と πF(θM;

e 

M) 

=0を 満 た す よ う に 作 成 す る も の と し よ う 。 こ の 時 、 簡 単 な 計 算 よ り πF(θ1 ; 

e 

¹⁾ 

=  ‑ J 

:JJψ(

; C

^YM((} ，) θ)d (} 

‑ v刊

(15) 

ドキュメント内 インセンティヴ契約の公共政策研究 : エ-ジェン シー理論による分析 (ページ 100-125)