0R∫ )資 7′

である。 よつて,

#Rr)=#Rr)× ^#A12×

#Tク

ア ′

=37× ^8× 晉× ^2H

である。

#Rr)=37× ^81xり

^×

211=4325,2003,2744,8985,6000は

_{サイ ィ}3の ルー ビックキュ

,ブ

_{の状態 の総数(フ} ェイ ス キユー ブの位 置 は固定 して数 えた数)で^{あ る。}

#Rr)=37×

^81×

□

第 3章

3.5

サイズ

3の

ルー ビックキューブについて

サ イズ 3の ルー ビックキ ュー ブの群構造

今 まで の議 論 よ り,

RP/R(3)、

2 RF), Rr)/R∫

^)資 ■12, R∫^{)貿 Tク″′}

となるこ とか ら

,RPあ

位数 はわかった。 よって

,サ

イズ

3の Fの

操作 によつて生成 され る

RF)の

群構造 について考 えてい きたい。 この本 は多 くの群や写像 が出て くるので

,相

関関係 を図表 3.10と

,表

3.1に 記 した ので

,参

照 してほ しい。

Rlり の元は

,フ

ェイスキューブは固定 されているので

,コ

ーナー キュー ブの位置 と向きの変換

,エ

ッジキュニブの位置 と向 きの変換 によつて決 まる。覇3)ぁ

各元 に対 して

,各

コーナー キューブの位置 を どこに配置す るか とい う情報 を抽 出す る写像 は式_(3.2)の

9r):RP→

^{跳 でぁる。ま}

た

,RF)の

各元 に対 して

,各

エ ッジキューブの位置 をどこに配置す るか とい テ情報 を抽 出す る写像 は第 3.3節 のは じめに述べた り

F):Rf)→

β¹²

である。ここで ,合 題

^3.3.4で

示したように

,sLn(pF)(ρ))二 sgn(pF)(ρ))

で あ る こ とに注意す る。

次 に

Rr)の

各 元 に対 して

,各

コーナー キ ューブ を どの向 きに配置 す る かの情報 を抽 出す る写像 を考 えたい。サイ ズ2のル ー ビックキュー ブの群

RF)の

各 元 に対 して は

,拡

張 され た りr)がそ の よ うな写像 で あった。 よつ て

,90)と

りF)の合 成 写像 と して,ヮ

r):Rr)→ RP→ 7を

定義 す る。

つ ま り

,サ

^{イ ズ}

^3の

ル ァ ビックキ ュー ブ の ιこの位 置 の コー ナニ キ ユーブ の小正方形 に対 して

,サ

イ ズ2の場 合 と同 じく図 2.5の よ うに数字 を定 め

る。このとき

^,ιJの

位置めコーナーキューブの ^Oの 面が

,ρ

∈ Rr)に よつ

ていずれ か の位 置 の コーナー キ ユー ブの 雨の面 に移 るとき,

と表 せ ば^,

αじ(ρ

)=万

9F)(ρ

)=(α

^l(ρ),…

・

,α8(ρ))

となる。ヮ

r):RF)→

^{1/7は準同型 ではないので,ψ}F)も 準 同型ではない。

最後 に

,EPの

各元に対 して

,各

エ ッジキュ‐ブをどの向きに配置す るかの情報 を抽 出す る写像 を考 えたい。_9∫)は そのような写像であった が

,R∫

)か らの写像であらた。 ょって_?∫)を

Rr)か

_{らの写像 として拡張}

し

,定

義 しなおす。

104

第

3章  

サイズ

3の

ルー ビックキューブについて 定義 3.5。

1命

題^3.4.3の証明で用 いた

ん ^:Rr)∋ ρ→島

^(ρ)∈ Z/2Z(づ

=1,… 。

_,12)

を用いて ^,写 像

9∫

):Rr)→

_7′

を

,

pF)(ρ₎

=(βl(ρ),あ(ρ),角^(ρ),ん(ρ),島(ρ),島^(ρ),β7(ρ),ム(ρ),あ(ρ),βlo(ρ),βll(ρ),β12(ρ))

と定 める。

命題^3.4.3の証明で示 したように,βl(ρ)+…^・+β12(ρ

)=0な

^ので

^,こ

^れ

はT/7′への写像である。ただ し

,こ

_{の拡張 された り∫})は 準同型ではない。

拡 張前の 口

F)は

^{準同型 であ り}

,拡

_{張後の ヮ∫})は 準同型でないのは

,拡

張前 の ヮ∫)は 平 ッジキューブの位置の置換がない操作の群 R∫)か らの写 像 であったのに対 して

,拡

張後の ヮF)はエ レジキューブの位置の置換 も 行 われ る操作 の群

Rr)か

らの写像 であるこ とが原 因である。 これ は りF)

を拡張 した とき と同様 な理 由である。

今 まで定義 した群や写像 をま とめると以下のよ うになる。 ここで

,実

線 の矢印で示 され た写像 は準同型 であ り

,点

線 の矢印で示 された写像 は 準同型 ではない。

(3.1の

また

,上

記 の図式 に表れ るルー ビックキューブの操作の群 を下の表 に ま とめてお く。

新 たに定義 した ヮF)と り∫)を 用いて次の ΦO)を_{定義す る。}

定義 ^{3。 5。}

2 

Φ

O):Ar)→

^p1/× _{T77′ ×跳 ×■}

_2を

以下のよ うに定義す る。

105

Φ

^(3)(ρ_{)=(9r)(ρ),9∫}^)(ρ),9F)(ρ ),9ゞ^)(ρ))

第

3章  

^{サ イ ズ}

^3の

ル ー ビ ックキ ュー ブにつ いて

表 3.1:群 の説 明

りF)と 拡 張 され た り∫)が準 同型 で はなか ったの で

,Φ

^O)も

RF)か

ら直 積 群^{T/7× p1/′} ×跳 ×

S12へ

の準 同型 ではない。

補 題 ^3,5。

3D=(ス

8× ム2)∪ (A『 ×

AL)と

した とき

Dは

_{直積 群 跳 ×■}2

の部 分群 で あ る。

証 明

 

部 分群 で あ る こ とを示す た めに

,以

下 の

2つ

の性質 を調 べ る。

0(σ_{l,71),(σ2,72)∈}

Dに

対 して,sgn(σ l)=Sgn(71),Sgn(σ

2)=Sgn(鐙

)

とな るの で,

Sgn(σ_lσ2)=Sgn(7172)

となる。 よつて(σl,71)(σ2,7r2)=(σlσ2,71つ)∈

Dで

ある。

・ ^(σ,7)∈

Dに

対 して,

(σ,7) 1=(σ ^{l,7 1)∈} 乱 ×^s12 であ り

,ま

た,sgn(σ

)=sgn(7)よ

^り,

Sgn(σ

1)=Sgn(7‑1)

であるか ら,(σ l,71)∈

Dで

ある。

よって

,定

義^1.4.1よ り

'は

跳 ×S12の 部分群 である。

      

^□

定 理 ^3.5。

4

1mΦ^(3)⊂

7×

予7′ ×

D

であり ,Φ 6):Rr)→ 7×

7′

× Dは 全単射である。

106

R13, サイ ズ

3の

ル ー ビ ックキュー ブの

Fの

操 作 に よつ て生成 され る群

鳥 り コーナーキューブの位置と向きを動かさない曇

^6り

の元による群

」

:1〕

『 リ エジジキューブの位置を動かさない

^RFり

の元による群

RIZリ サ イ ズ

2の

ル ー ビ ックキ ュー ブの

Fの

操 作 に よつて 生成 され る群

RliZリ

サイズ

2の

小キューブの位置を動かさない覇

^Zり

の元による群

第

3章  

サイズ

3の

ルー ビックキューブについて

証明   ρ∈夏

^3)に

対して ,命 題

^2.3.15よ

り

,

pF)(ρ_)∈ T/7

で あ り

,命

題^3.4.3よ り

ヮ ∫

kρ )∈ ^T/7′

で あ る。 また

,命

^{題3.3.4よ り,}

107

(9F)(ρ),9ゞ^)(ρ))∈ (■8× A12)∪ _(ス

『 × AL)=D

とな る。 よつて

,ImΦ

^O)⊂

7×

7′ ×

Dで

ある。

ま た,ρl,ρ2∈

RF)に

対 して

,Φ

^O)(ρ

l)=Φ

^O)(ρ2)で あ る とす る。 ここ

で,Φ^(3)(ρl)に は操作 ρlで ルー ビックキュー ブを動 か した ときの コーナー

キ ュー ブの位 置 と向 き

,エ

ッジキュー ブの位 置 と向 きの情報 が含 まれ てお り,Φ^O)(ρ

l)=Φ

^O)(ρ2)とい うことは ρlと ρ2の コー ナー キュー ブの位 置 と 向 き

,エ

ッジキュー ブの位 置 と向 きが同 じで ある とい うこ となので

,乱

4の 元 と して ρ

l=ρ

2で^{あ る。 よつて,Φ}(0は_{単射 であ る。また}

,7×

^{T4/′ ×}

D の位数は ,37×

^211× _(号

Xザ +号 ×サ )=4325,2003,2744,8985,6000

とな り

,系

3.4.10で 求 めた

Rr)の

位数 と一致す る。Φ

O)は

_{単射 で あ り}

,

#RF)=#(T/7×

^{T/1/′ ×}

^D)で

^{あることか ら,Φ O)は全射で もあ り, よつて}

全単射である。

       

^□

定理 3.￨.4は

,Rr)の

元 ρによつて引き起 こされ るノ^1)正方形の置換 が ど

のようなものとなるかを述べている。つまり

,ρ

∈ ^Rr)に 対して

^,

1.sgn(ψ_r)(ρ))=sgn(ψ

ゞ

^)(ρ))と

なっている。よつて ,コ ーナーキュー

ブの位 置の置換が偶置換 の ときはエ ッジキューブの位置 の置換 も偶 置換 とな り

,コ

ーナー キューブの位置 の置換 が奇置換 の ときはエ ッ

ジキューブの位置 の置換が奇置換 となる。

2.ρに よ りιづの位置 のコーナー キューブの

3の

面が移動 した後 の面を

α じ

(ρ)∈

Z/3Zの 面とするとαづ

(ρ )(を

=1,… ・

,8)の

和が ^0に なる。

3.ρ によ りctの位置のエ ッジキューブの

Oの

面が移動 した後 の面を ん(ρ)∈

Z/2Zの

_{面 とすると島(ρ )(づ}

=1,…

。,12)の 和が

0に

なる。

また

,逆

に以上の

3つ

の条件 を満たす配章は

RPの

_{操作 によつて耳現}

可能 で あ る こ とも定理 3.5.4か らわか る。

       .

第

3章  

^サイズ

^3の

ルー ビックキューブについて

い ま,ρl,ρ2∈

RF)に

対 して

,Φ

^O)(ρl),Φ^O)(ρ2)∈ ″ ×T/7′ ×

D及

び,

Φ^O)(ρlρ2)∈ ″ ×T/7′×

Dが

定 ま る。Φ9)が 同型 とな るよ うに,T/1/×^T/7′×

D

に演 算 を定 めるた めには,Φ^O)(ρl)と 。^(0(ρ_2)の積 が Φ^O)(ρlρ2)と な るよ うな演算 を定 めれ ば よい。 い ま,

Φ^(3)(ρl)=( _・,νl,σl,■)

Φ^(3)(ρ

2)=(

2,υ2,σ2,つ)

とおいて考えれば ,9r),9ゞ

^)は

準同型であるから

^,

Φ

^(3)(ρlρ2)=(9F)(ρ^lρ2),9∫^)(ρlρ2),9r)(ρlρ2),99)(ρlρ2))

=(9F)(ρlρ2),ソ

∫

^{)(ρlρ2),9『)(ρ}l)9r)(ρ2),9′^)(ρl)ソ

ゞ

^)(ρ2))

=(pF)(ρlρ2),9∫^)(ρlρ2),σl 

σ

2,71色

)        ^、

とな る:

そ こで

,ψ

_F)(ρlρ2),9∫)(ρ lρ2)を

"1,υ^{.,σl,71, 2,υ2,σ}2,72を 偉 つて表 す方法 を考 えたい。 まずは

,第 ^1成

分の 口F)(ρ^lρ2)に ついて考 えて ぃ く。

定義

3.5.5写

像 π

:7×

7′ ×

D→

^T/7× 民 を以下のよ うに定める。

π:T/T/× T/7′ ×

D∋

_{( ,υ,σ,7)→ (",σ)∈}

7×

乱

定理

^3.5。

⁶  ρ

^{l,ρ2∈ R『)に}

対して

^,

Φ^(3)(ρl)=( 1,ν l,σl,71) Φ^(3)(ρ

2)=("2,υ

2,σ2,つ)

とした とき,

9F)(ρ^lρ

2)= ■ ^+σ

^l・ _"2 (3.13)

とな る。

証明

 

定義 3.5.5で 定めた写像 πを用いれ ば

,写

像 の関係 は以下の よ うに な り,ρ ∈R13)に 対 して,7(Φ^(0(ρ

))=Φ

^。)(90)(ρ))と な る。

Φ⁽³⁾

lクr×

108

(3,11) (3,1動

ドキュメント内 ルービックキューブの解析 ： 群論の題材として (ページ 104-109)