=∫
(″′
)∫ (ん)
=∫
(″′
)C=∫
(π′
)
となり
,well―deinedで あることがわかる
次 に「 が 準 同型 で あ る こ とを示 す 。 今,″Ker∫,νKer∫ ∈ θ/Ker∫ にお
いて ,剰 余群 θ
/Ker∫での演算 *の 定義から
,∫
(″Ker∫*νKer∫)=∫
(″υ
Ker∫)=∫
(″ν
)=∫
(″)∫(ν)=∫
(χKer∫)∫(νKer∫)となり ,準 同型であることがわかる。
「 が単射であることを示す。″
Kerノ∈
Ker∫とすると
∫
(″Ker∫)=∫
(・)=C′となる。よつて
,″∈
Ker∫であるので
,″Ker∫=cKer∫ となる。よつて
Ker√
={cKer∫
}となるので,命 題
1.5.10より
,∫は単射である。
36
第
1章
群論37
∫が全射であることを示す。任意の∫
(″)∈ Im∫に対して
,ノ(″Ker∫)=
∫
(")となる
"Ker∫
,つ まり "を 代表元とする剰余類がθ
/Ker∫にあるの で
,ノは全射である。
以上より
,∫は同型となる。
ヽ
□
例
1。8,2準 同型 sgn:乱 →
{±1)に おいて ￨
Ker(sgn)={σ
CSれ I Sgnσ =11}は η次 交代群 スηで あ る。 この ときsgnは全射 なので
島ノAn蟹
{±1}である。
1。
9 直積・半直積
今 まで こめ章では
,群
か ら新 しい群 を構成す る方法 として,部
分群や 剰余群 を扱 ってきた。 この節では群 か ら新 しい群 を構成す る新 しい方法として
,直
積や半直積 を扱 い,考
えていきたい。定理
1.9。lG,〃 を群とする。このとき ,G× 〃
={(g,ん)￨ク∈σ
,んq∬
}の元 (g,ん),(ク′
,ん′ )の 積 を
(ク,ん )(ク
′
,ん
′)=(gg′,んん′
)
と して
,演
算 を定 め る と,θ
×″ は群 とな る。証 明
結 合 法 則
,単
位 元 の存在,逆
元 の存 在 を順 に示 して い く。1.結
合 法 則 を示 す。(g,ん),(ク′,ん′
),(g″,ん″
)∈ σ ×〃 にお い て,
((ク ,ん )(g′ ,ん
′
))(θ
″
,ん
″)=(gg′,んん′
)(θ
″
,ん
″
)
=((θg′)ク′′
,(んん′
)ん
″
)
=(g(g′g″),ん(ん′ん″
))
=(g,ん)(g′θ′′,ん′ん″
) ,
=(g,ん)((gノ,″)(ク
″
,ん″
))
よって結合 法 則 は示 せ た。
第
1章
群論2.単
位元 の存在 は(c,ど)が 単位 元であることか ら明 らかである。3.逆
元の存在 を示す。(ク,ん)∈ θ ×∬ に対 して,(gl,ん
1)∈ θ ×∬が存在 して
, =
(ク,ん)(g 1,ん 1)=(gg 1,んん 1)=(C,9′
)
(ク
1,ん 1)(g,ん
)=(g 1ク,ん 1ん)=(C,C′)
で あ る。
'
上記 よ り
,G×
∬ は群 で ある。定義 1。9。
2上
記の定理1,9.1の よ うに定めた群 θ ×∬ を,Gと
∬ の直積 とい う。例 1,9。
3Rと Rの
直積R× Rは ,平
面ベ ク トルの加法群で ある。次 に
,半
直積 とい うものを考 えるために例 として,正
五角形 の合 同変 換 について考 えてい く。例 1.9。
4正
五角形の板 をPと
して,Pを P自
身に移す平面の合同変換全 体 をD5と
す るとD5は
群 となる。今,Pの
中心を点0,1つ
の頂点 を点1として
,点 0と
点1を通 る直線 を軸 とす る鏡映変換 をs,点 0を
中心 と した反時計回 りへの72° の回転 を rと す る。rの変換 を図1.1,sの
変換 を 図 1.2に 示す。この ときr5は360° 回転 とな り恒等変換 となる。 これ を cと 表せ ば,
D5={C,r,r2,r3,r4
s,rs,r2s,r3s,r4s} (1・
②
とな る。実際
,Pを Pに
移す合同変換 はPを
裏返 さない ものが5種
類,Pを
裏返す ものが5種
類 あ り,全
て上記で表 されている。ただ し,こ
こで合成 の記法 として
,例
えばrsはrの
変換 を行 つてか らsの変換 を行 う合 成 を表す。 また この とき,38
rs==sr 1 (1・1の
となっていることに注意する。式(1.10)は実際に五角形の板 を操作す る ことで容易 に確かめられる。
第
1章
群論 392 E===:::〕
〕
11)図 1.1:r
2̲ (2キ
s(5)図 1.2:s
⌒
第1章
群 論
さて
,lD5の
中に は次 の2つ
の部分群 (r)={C,r,r2,r3,r4}← )={C,S} ｀ '
が あ る。
カロえて
,lD5の
全 て の元 は (1.9)で みた よ うに,(r)の
元 と(s)の元 の積 と して1通
りに表 され てい る。 つ ま り,∫
:(T)× (S)∋ (rブ,sリー→
rJSt∈ lD5は全単射である。 しか しこれは群 の同型 ではない。
具体的に(r)× (S)の 元(し,s)と (r,c)で確 かめてみ る。(r)× (S)は 直積 なので
,定
義1,9.2よ り,直
積での演算 は(C,S)(r,c)=(r,s) .
となる。しかし実際
,∫
((C,S))ノ((r,c))=(CS)(rc)=Sr tt r ls=r4s∫
((θ,S)(r,C))=∫(r,s)=rs
となり∫
((c,S))∫((r,c))≠∫
((θ,S)(r,C))であるから∫は同型写像ではな
い 。
この とき
,(r)は
正規部分群である。それ を示すためにD5の
元gと (r)の元r″ に対 して,gr″g 1を調べ る と, oθ =γ υの とき,
gr″
g 1=rυ
r″ry=rυ
十″ υ=r″ ∈(r)とな る。
●
g=rysの
とき,rs・=sr 1
よ り
,両
辺 に左か らsをかけると,s2=cと
な るので,srs=γ 1
40
第
1章
群 論41
とな る。 よつて,
(SrS)π =(S″S)(SrS)… .(Srs)=ζrれ
s=rれ
とな る。 これ を利 用す る と,
grω
θ
1==rtysra sr y==rυr ar υ ==r ″
∈
〈
r)上記 よ り
,θ
の任 意の元gに
お い て,grエク1∈ (r)と な るの で (r)はlD5 の正 規部 分群 とな る。以 上 をま とめ る と,
O ID5に
2つ
の部 分群 (r),(S)が あ る。● (r)は 正規部分群 であ る。
●lD5の 元 は (r)の 元 と (s)の 元 の積
,つ
ま り″ ∈(r),ν ∈ (S)を 用 い て,″ νの形 に一意 的 に表 され る。の よ うにな る。
1
この状況 を一般化 して
,以
下 の よ うな状 況 を考 え る。∬ ×κ ∋(ん ,ん
)→
ん・ん∈κ(1.12)
が ,
(1)ん
∈∬ とた
1,た2∈ζに対して
,ん・(た1た2)=(ん °た1)(ん 。た
2) (1・
13)像
︒ 写
︐ る の し ヽえ ヘ
き ５ と ９
の １
︐︶ 義 定