+一

+{ω3(X

ーピ)

‑ω1 (r sinψ一戸sin<p') } 

J 

+ {ω1 

ァ (

cos<p ‑

〆

ω

〆)一片付‑

x')}f 

‑ A₁ i 

+ 

^A2j 

+ 

^A3k  (2.3.83) 

(2.3.77)式の被積分関数の分母，分子をそれぞれどこzについて Taylor展開する。

ω×TQP‑TI 

T b p  

'''‑T一

引 い り 一

円 ︒ 一

A一

+ 一 コ

↓ ・

J一3Q

2一TA一

+ 一

プ2一

句

I A

‑

A一

/ft﹄t︑ ¥ 一 A

，

r'→  Aっr'→ Aっア/→

‑

τす-i+ 二子-j+ 二子~k

I QP  I QP  I QP 

二 K₁i

+ 

^K2j 

+ 

^K3k 

T f   An^r' 

‑

‑

....>.'η 一一 つ 一一

ア 己p

bηo 

+ 

^bn1 (x' ‑x) 

+

九²(x' ‑X)2 

+

・.. 

{ do 

+ 

d₁ (x' ‑x) 

+ 

d₂ (x' ‑x) ²

十 }~

(

η 二 1

，

2

，

3)

(2.3.84) 

ここで，

A1r' 

= 

{ω2 (r sin <p ‑

〆

sin<p')一ω3(r cos <p ‑

〆

cos<p') 

} ァ / 三 f

(X')  (2.3.85) 

29 

とおくと，

手 ^f川

^{アsin<p (ω2ピ 内}ω241)‑swf(ω2x，r'2

‑rcosψ(ω3x，r'十ω3

ル )

+ cos <p' ω3(x，r'2  _(2.3.86)  となり，さらに

μ)i 

凶 川

い}ix'

っ ー

dx'. 

d 

ωz

二一つ

d

d ( ' r ) [  

x' ‑ω‑i・ ¥¥ ‑X‑，^I i <P)^/  ω^‑‑...̲ ix'Ix'=x  ^Wi^* x 

r' 

戸 川

^(2.3.87) 

T:fc ， 

d  d ( J  F ) ￨   ￨ 

_T 

:* E 

d

x'^ア dx'r(x^Jψr 

二

Tx' x'=ニヱ

γ  _ァ(x，<p)

を考慮すると，次式が得られる。

A1r' 

f '  

(x) 1̲‑'  ̲̲ ¥ I 

f "  

(x) 1̲̲'  ̲̲ ¥ 2 I 

f

^川 (x)

f  ( x )  +

寸 「(z‑z)+一 一2!  (zf‑z)+‑E¥ ‑‑ ‑/ ‑ 3 

「

(zf‑z)3+

b_lO + bll  (x' ‑x) + b12  (x' ‑X)2 + b13  (x' ‑X)3 

+ 

= (ω;げ Sln<p  ‑ω;

〆

sinvf‑ω;げ COS<p 

+

ω;

〆

COS<p') 

+  { r  

sin <p (ω;

〆

+ω

れ) ‑

sin <p' (ω;/ 

‑r _cos <p (ω;

〆

^+ω;

^{ァ ; )}

^+ωψ

^， 

^(ω;/2+

叫ハ;)}

^(x' ‑x) 

+ 

=〆

(ω;(r sinψ‑rswf)_一ω;(r cosψ ‑r* cos <p') }  + 

[巾(ア

^{sin<p ‑r* sin <p')}

^{一 的}

+ ァ

_;{ω;

_{山 ‑}

^r* sin <p')

ー ペ

^{(γcos<p ‑r* cos <p  (2.3.88)} 

b^{l O 二 戸}(ω2

( r  

sin <p  ‑

r

本sin<p') ‑ω3 (γcos <p ‑

r *  

cos <p') }  b_ll 

b₁₂ ^二

い(ω

ム ^{( r}

^{sin <p  ‑}

^{r *}  

^{sin <p') ‑引 sin<p'} 

‑ω

ム ( r

cos <p  ‑

r *  

cos <p') 

+

ω;くcos<p'} 

+ ァ

;{ω2

ァ (

mψ ‑

r *  

sin <p') ‑w₃ 

( r  

cos <p ‑

r *  

cos <p') } 

(2.3.89) 

また，A₂r'， A3r'についても全く同様な手11)買で Taylor展開すると，以下のように表わ すことができる。

A

〆‑

^b20 + b21 (x' ‑x) + b₂₂ (x' ‑X)2 + b₂₃ (x' ‑X)3 

+ 

b20 ^{二 一}ω:

ァ

*

ァ (

slnψ ‑r^本sin<p') 

b₂₁ 

r * {  ‑

ω;‑ι

( r  

sin 

~

^‑

r *

恥 ρ')

+ω:

つ

sin<p'} ‑引 (rsin <p一 内 川') b₂₂ 

A₃r'  b₃₀ + b₃₁ (x' ‑x) + b₃₂ (x' ‑^X)2 + b₃₃ (x' ‑^X)3 

+

・

b₃₀ ^二 ω;γ*(γcos <p  ‑

r *  

cosψ') 

b₃₁  ^ザ(ω

i x ( r  

cos cp ‑

r *  

cos <p')一

w i ^r ;

ωψ'+ω3}

+ ァ

;ωi

( r  

cos <p  ‑

r

^本cos<p')  b32 

分母 ^γ

己

^{p も}

TLp=(z‑zf)2+^ァ2+ァ'2‑2rr' cos (<p ‑<p') 

f ( ピ)

とおき， Taylor展開すると，

品川)

^{= 一 昨 ‑}

^{X ' )}   + ^{叫 ‑ 叫}

^cos(ψ一〆) 31 

(2.3.90) 

(2.3.91) 

(2.3.92) 

(2.3.93) 

(2.3.94) 

(2.3.95) 

c f 2 っ f

(x') 

= 

2 

+ 

2 

( ァ ; ， T ; ， + γ冗

γ)‑2r cos (<p ‑<p')

ァ ム

J

dx'dゐ (2.3.96) 

も

^{p ニ ァ}

2+ 〆

‑2げ ω (<p‑<p') 

+ 

{2ァン*‑2

ぺ

ω (<p一ψ')}(x'‑x)

2i 1 

+ ァ ;2+r T L ‑ T T L

cos(v‑vf)} ^， . つ

L  ^A  J(zf‑zY+  _(2.3.97) 

となり，結局以下の関係式を得ることができる。

d_O ^{ニ ァ}

2 + 〆‑

^{2rr* cos (ψ‑}<p') 

d1  ‑ 2r;{ァ*‑rcω (<p  ‑

〆 ) }

^(2.3.98) 

d2 

= 

1 

+ ァ ; 2 +rTL ー ァ ァ ; x

^cos (<p ‑<p') 

以上の結果を用いて

K η ( n =  1 ， 2 ， 3 )

の

O r d e rC h e c k

を行ない，主要項をとって簡略化 すると， (2.3.77)式は次式のように表わすことができる。

ここで，

市 ) =去 f 。 広 ^{( K ん ん}

^j+

^{以 ) 山}

^f

1 {<PHO (blO

i  + 川 +

b30

k )  _~.

-2π Jr.pLo  d_O  ‑， 

blO  ‑ r*

μ

^{(r sinψ ‑r* sin <p') ‑ω3} 

(~. cos

^{<p  ‑r* cos <p') }}  b20 ^{二 一}ω;^ァホ (rsin <p  ‑r* sin <p') 

b₃₀ ^二 ω

; r * ( r  

cos <p  ‑

r *  

cos <p')  dO  =

γ2+ 〆‑

^{2rr* cos (ψ}

^一〆)

さらに， (2.3.82)式に示す関係式を用いると，

b10  ~~ b20

， 

b30 

(2.3.99) 

(2.3.100) 

(2.3.101) 

が成り立つので， (2.3.99)式は以下のように表わせる。

~

^{V'HO 

i b

^20j

十 b

^30kLcpl

σ

(P)  =

ζ ‑ l  

^j 

L1f JV'LO  aO 

f"..J土門 o ω : ぺ‑

^(r sin 

^{< p}

^{一 円in}

^{< p ' )  ;  +} 

^(r cos 

^{< p   ‑}

^r* cos

^約五九一

2π

J

^V'Lo  r² 

+

ザ2 ̲ 2rr* cos (ψ ‑

< p ' )

^凶 V (2.3.102) 

従って，上式より剥離渦層 Fから点 Pに誘導される速度は，x'二 z断面における渦 度 w(x'，<p')Iピ=x= 

w 

(x，ψ')のz方向成分叫によるものだけを考えれば良いことがわ かる。また， Fig.2.5に示すように，

と定義し，

子2 二 ア2+戸2 ̲ 2ァザcos

( < p  ‑ < p ' )  

(余弦定理より) dS ニ ザd

< p '

出 臼 内

rcos白 T叫 ‑rcos cp 

f 

を用いると，次式が得られる。

(V'Ho ω~ 子(slnα .j ‑rcosα. k)  σ(P)=‑z

ん

^{L O ¥ 円 LdS}

1 (V'Hoω

  (  : i ‑

sin α. j 

+ 

cosα . k)  2

斗

L O ¥ T / d S

(2.3.103) 

(2.3.104) 

(2.3.105) 

以上のように細長体の仮定を用いると，船体近傍の流場における第 l近似として，

各2次元横断面内の渦度によって誘導速度

σ

^(P)を表現できることがわかる。従って，

各船体横断面ごとに剥離渦層の渦度を決定する積分方程式を解き，渦糸分布を求めれ ば良いわけである。

ここで， (2.3.105)式は[∞

l

無限遠方の条件および

[ F ]

剥離渦層の条件は満足している が，

[ B ]

物体表面の条件を満足していない。しかし，

[ B ]

物体表面の条件に関しては，船 体表面に対する鏡像の位置に渦糸を配置するこで，これを満足することになる。以

33 

Z 

Q(x'

， 

r' cos<pペァ'sin<p') P(x

， 

rcos

ψ 7

ァ

mψ)

U 

、¥ 

Fig. 2.5  Free vortex mode1 in cross section 

下， (2.3.105)式の 2次元的な取り扱いを利用して，剥離渦層による流場を表わす複素 速度ポテンシャルんを求める。

本論文においては，W 平面における船体横断面を考え，これをぐ平面における単位円 に写像する等角写像の方法を用いる。また，写像関数は 2.3.2節において示した (2.3.29) 式である。写像によって渦糸の強さは不変であることを考慮すれば，時計まわりの渦糸 を正とした剥離渦層による流場を表わす複素速度ポテンシャルんは， Mi1ne‑Thomson  の円定理 [33]より次式のように表わすことができる。

( ( ‑(k，

j )   ( (  ‑

_(~))

ん=乞乞

I¥̲k，三10 

klj=12π

i 

^10g (( ‑(k

， j )   ( (  ‑ _(k，~)

^(2.3.106) 

ただし，Kk，jはた番目の剥離点から流出した j番目の渦糸の渦強さ，(k，jは

C

平面に おける渦糸の位置，nsおよびη はそれぞれ剥離点と渦糸の数を表わす。

2 . 4   剥離の条件および積分方程式

2.3.1節r'V2.3.3節において導いた複素速度ポテンシャルの直進運動成分

1 1 '

横運動 成分んおよび剥離渦層成分んによって表現される流場をそれぞれ加え合わせると，

船体まわりの流場を表わす全複素速度ポテンシャル

f

は，次式のように表わすことが できる。

1  = 

U11 

+ 

Vん+ん (2.4.1) 

この船体まわりの流場を表わす全複素速度ポテンシャル

f

は，

[ L ]

連続の条件，

[ B ]

物 体表面の条件， [∞]無限遠方の条件および

[ F ]

剥離渦層の条件は満足しているが，

[ 5 ]

剥 離の条件を満足していないので，以下これについて述べる。

[ 5 ]

剥離の条件は， (2.2.5)式に示すように，船体表面に沿って剥離線を横切る流れが ないという条件である。船体表面に立てた法線ベクトル冗(n_x

，

_ny

， 

n_z)については，細 長体の仮定より次の関係が成り立つ。

ηx  <<ην

， 

n_z  (2.4.2) 

また

船の速度ベクトル

(U ，  V ，  0 )  

撹乱速度ベクトル : 

( u

川 1ω) (2.4.3)  流線ベクトル (U+u

， 

V +υ?ω) 

であることと剥離線が限界流線の包絡線であることを考慮すると，定数項入を用いて，

その嬢線ベクトルヂは次のように表わすことができる。

ヂ ニ 入(U+u

，

V +υ?ω)  (2.4.4) 

35 

ただい本論文においては，細長船の偏角

F

および旋回角速度ァの小さい操縦運動を 取り扱っているので，次の関係が成り立つ。

U>>u

，

v+V

，

ω  (2.4.5) 

よって， (2.2.5)式より次式が得られる。

1  3  k 

b 

=

冗 × ヂ =

I 

nx  ny  nz 

入(U

+ 

u) 入(V

+

υ) 入ω

二 入 [ { ぃ ‑

^nz (V +υ

) } i   +  η {

^z(U+u)‑

吋 + { 

^nx (V 

+ 

v) ‑ny (U切

l F ]

(2.4.6)  (2.4.4)式と (2.4.5)式の関係を(2.4.6)式に適用すると，次式のように表わせる。

b 

~入 (ηz

^(U 

+ 

u) ] ‑ny (U 

+ 

u) 

f }   ~入U

⁽ⁿz] ‑nyf)三

b *

(2.4.7)  また，船体横断面における船体表面に立てた 2次元法線ベクトルを万とおくと

N 三 Nyj

+ 

Nzk  (2.4.8) 

となるので，細長体の仮定より，

ny ~と N_y

， 

^{札z 七三} N_z 

( 2

.4

. 9 )  

さらに， Slenderness Parameter εが小さくなると，次式が成り立つ。

b*. N =入U(nzNy ‑nyNz)→ 0  (2.4.10) 

従って，

b *

は船体横断面における船体表面に引いた接線であることがわかる。また，

[8]剥離の条件を表わす(2.2.5)式より，

iJ.b ~ iJ・b*= 0  (2.4.11) 

が成り立ち，これは剥離線と船体横断面の交点を 2次元淀み点とする条件に帰着する

ことを示しており，通常，翼理論で取り扱われる Kuttaの流出条件と同様な意味をな している。従って，上式を船体横断面の写像面であるぐ平面における単位円で考え直 すと，次式のように表わすことができる。

[ θ f  _θ( ~~

L

_J(=(s 

I 

^=r. 

~ ‑ R

Re _-~-l-

e [   I 

ⁱ i ⁽( _，---~ c^co^os^s B

e

 

⁺ 

^{十 日}_I ⁱ-~~~~~/ ， ~ç ^siin^nBB⁾)  ⁽(u~ ^uc ‑‑ⁱiV~ T)/ ^vV^ryT)) ⁾ 

J  1  I 

一 一 ( 同 叫 (2.4.12) 

つまり，任意の船体横断面の淀み点において，ポテンシャル流れと上流で形成された既 存の渦層による誘導速度から接線速度を求め，その接線速度を打ち消すように横断面 内で新たに発生する渦糸の強さを決定すると， (2.4.1)式に示す全複素速度ポテンシャ ル

f

は，

[ S ]

剥離の条件を満足することになる。

37 

2 . 5 結 日

本章においては，まず，操縦運動時の船体まわりの流場を表わす全速度ポテンシャ

ルが満たすべき条件式を示した。次に，細長体の仮定より SlendernessParameterを定 義し，船体まわりの流場を表わす全速度ポテンシャルの漸近展開を行なった。その際，

船の操縦運動を直進運動成分と横運動成分に分けて考えることで，問題の簡略化を図っ た。また， Orderを考慮することで船体まわりの流場を表わす複素速度ポテンシャル の直進運動成分と横運動成分の船体近傍の流場における第 1近似解を導出し，剥離渦 層成分と組み合わせることで船体まわりの流場のモデル化を行なった。本章で得られ た結果を以下に示す。

(1)操縦運動時の船体まわりの流場を表わす全速度ポテンシャルがp 満たすべき条件 を示した。

(2)写像関数で近似した船体の操縦運動を直進運動成分と横運動成分に分け，それぞ

れの運動において細長体の仮定と等角写像の手法を用いることで，船体横断面内 の2次元問題に帰着して考え，各運動成分の複素速度ポテンシャルを導出した。

(3)  Milne‑Thomsonの円定理を用いて複素速度ポテンシャルの剥離渦層成分を導出 し，直進運動成分および横運動成分とそれぞれ組み合わせることで全複素速度ポ テンシャルを示し，船体まわりの流場のモデル化を行なった。

(4)剥離の条件から剥離点が船体横断面内の淀み点に相当することを導き，剥離点に おける接線速度を打ち消すように，新たに発生する渦糸の強さを決定すれば良い

ことを示した。

第 3 章 船 体 流 体 力 の 理 論 計 算 法

ドキュメント内 操縦運動時の船体に作用する流体力の推定に関する 研究 (ページ 34-44)