フィボナッチ数列に現れる平方数は，1 と 144 だけであることを 証明します。
いよいよ，フィボナッチ数列には，平方数は 1 と 144 しか現れないことを証明するときがやっ てきました。
まず， が偶数のときを考えます。そして， が奇数のときは，4 で割って 1 あまるときと，4 で割って 3 あまるときに分けて考えます。
＜偶数番目の場合＞
が偶数の場合， のときに平方数となる。
（証明） なかなか面白い証明内容ですよ。
定理 3-2より，次のことがわかっています。
が整数のとき，
この式の， に を代入すると，
よって，
結局，
となるので， が偶数のとき， とすれば， となります。
ところで，定理 3-8により，次のことがわかっています。
が 3 の倍数でなければ， と は互いに素で，
が 3 の倍数であれば， と の最大公約数は 2 になる。
そこで，まず が 3 の倍数でないときのことを考えてみます。
が 3 の倍数でないとき， ですから， も 3 の倍数でありません。
が平方数であるとすると，素因数分解すると
のようになりますが，たとえば 2 個が， と に 1 個ずつふくまれてし
まうと， と が互いに素という条件に反してしまうので， は 2 個と も， か にふくまれている必要があります。
このように考えると， も も平方数であることがわかります。
が平方数となるのは，第 5 章 で， のときと のときだけ であることが証明されています。すると， ， または
となりますが，6 は 3 の倍数なのでダメです。
のときは，確かに は平方数なのでＯＫです。
これで， が偶数でしかも 3 の倍数でないときは， のみが平方数 であることが証明できました。
次に， が 3 の倍数であるときを考えます。
が 3 の倍数であるとき， ですから， も 3 の倍数です。
このとき， と の最大公約数は 2 ですから，
とすることができます。ただし， と は互いに素です。
このとき， です。
が平方数ならば， とすれば， となり， も 平方数です。
そこで，先ほどの 3 の倍数でないときと同じ考え方により， も も 平方 数になります。
よって， 「 2 ×平方数」， 「 2 ×平方数」なので，
も も，「 2 ×平方数」 であることがわかりました。
ところで， が「 2 ×平方数」となるのは，第 6 章 で， のとき だけであることがわかっています。
したがって， ですから， となり，12 は 3 の倍数なの でＯＫで，確かに も平方数になっているのでＯＫです。
これで， が偶数でしかも 3 の倍数のとき， は のときの み平方数になることがわかりました。
結局， が偶数のとき， は のときに平方数にな ることが証明できました。
（証明終）
＜n が 4 で割ると 1 あまる数の場合＞
が 4 で割ると 1 あまる数の場合， のときに平方数となる。
（証明） 証明は，第 5 章の ＜n が 4 で割ると 1 あまる数の場合＞ と非常によく似 ています｡
のとき， は，確かに平方数です。
そこで， ，つまり， のときに， が平方数になったと仮定 し，矛盾を導きます。
は，4 でわると 1 あまる整数ですから， は 0 より大きい 4 の倍数で す。そこで， とすると， は 0 より大きい偶数です。
ここで， を素因数分解してみます。
を素因数分解したときに，3 が何回現れるかに注目します。 回現れたと し， とします。ただし，3 が 1 回も現れないこともあるので， は 0 であることも考えられます。
は偶数だったので，素因数分解すると 2 がふくまれています。 を で 割ったときの商が ですが，3 で何回割っても， の中の素因数である 2 は そのまま残っているので， の中にも，素因数 2 は残っています。つまり，
は偶数です。
また， は を 3 で割れるだけ割った残りですから， の中に，もう 3 は ふくまれていません。つまり， は 3 の倍数ではありません。
で， ですから，
と表せることになります。
ただし， は 0 以上の整数で， は 0 より大きい偶数でしかも 3 の倍数で はない数です。
ここで，定理 3-16により，次のことがわかっています。
が整数で， が偶数で 3 の倍数でないとき，
は で割り切れる。
この式を，何回も利用します。
に を代入して，
は で割り切れる。… 1 回目 に を代入してマイナスにして，
は で割り切れる。… 2 回目 に を代入して，
は で割り切れる。… 3 回目
このように，i 番目ならば に を代入して，しかも偶数回目のと きはマイナスにして，式をどんどん， 回目まで作っていきます。
回目は奇数回目ですから（ のときも， なので奇数で す），マイナスにはせず， に を代入することになり，
は で割り切れる。… 回目 ところで，
でしたから， です。よって， 回目の式の中の，
は になり， は になります。
よって， 回目の式を書き直すと，
は で割り切れる。… 回目 もう一度，式だけ並べると，次のようになります。
は で割り切れる。… 1 回目 は で割り切れる。… 2 回目 は で割り切れる。… 3 回目
………
………
は で割り切れる。… 回目
これらの，1 回目の式から 回目の式までを足します。
すると，1 回目の式の と 2 回目の式の が打ち消し合 い，2 回目の式の と 3 回目の式の が打ち消し合い，と
いうように，どんどん打ち消し合って，結局，
は で割り切れる。
となります。
ところで， です。 また，定理 3-17により
が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割ると あまる。
から，
は 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる。
となります。
ところで，定理 4-4 により，次のことがわかっています。
ある整数が，4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき，その整 数を素因数分解すると，必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれ る。
ということから， には，4 で割ると 3 あまる素数がふくまれる はずです。
しかし， が平方数なら，定理 4-1によって，
が整数のとき， を素因数分解したときに，4 で割ると 3 あまるような素因数は現れない。
と矛盾します。
矛盾の原因は， のときに が平方数であると仮定したことに あります。
よって， が 4 で割ると 1 あまる数の場合， のときのみ平方数 になることが証明できました。
（証明終）
＜n が 4 で割ると 3 あまる数の場合＞
が 4 で割ると 3 あまる数の場合， に平方数は現れない。
（証明） 証明は，第 6 章の ＜n が 8 で割ると 2 あまる数の場合＞ と非常によく似 ています｡
が 4 で割ると 3 あまる数のときに， が平方数になったと仮定し，矛盾 を導きます。
拡張フィボナッチ数列の定理により，次のことがわかっています。
が 0 以上の整数のとき， が成り立つ。
のとき， ですから，
となります。
よって， に平方数は現れないことを証明する代わりに， に平方数は 現れないことを証明してもＯＫです。
ところで， が 4 で割ると 3 あまる数のとき， です。こ
のとき， となり，たとえば
のように， は，4 で割ると 1 あまる数です。
もっときちんと説明すると，
なので， は，4 で 割ると 1 あまる数です。 したがって，
が 4 で割ると 1 あまるマイナスの数の場合，平方数は現れない。
ということを証明することになります。（この章の 「n が 4 で割ると1 あまる数 の場合」と似ています）
そこで， で， は，4 でわると 1 あまる整数ですから，「 －4の倍数
＋1」 とできます。そこで， とすると， は 0 より大きい偶数です。
ここで， を素因数分解してみます。
を素因数分解したときに，3 が何回現れるかに注目します。 回現れたと し， とします。ただし，3 が 1 回も現れないこともあるので， は 0 であることも考えられます。
は偶数だったので，素因数分解すると 2 がふくまれています。 を で
割ったときの商が ですが，3 で何回割っても， の中の素因数である 2 はそのまま残っているので， の中にも，素因数 2 は残っています。つま り， は偶数です。
また， は を 3 で割れるだけ割った残りですから， の中に，もう 3 はふくまれていません。つまり， は 3 の倍数ではありません。
で， ですから，
と表せることになります。
ただし， は 0 以上の整数で， は 0 より大きい偶数でしかも 3 の倍数 ではない数です。
ここで，定理 3-16により，次のことがわかっています。
が整数で， が偶数で 3 の倍数でないとき，
は で割り切れる。
この式を，何回も利用します。
1 回目はそのままで，
は で割り切れる。… 1 回目 に を代入してマイナスにして，
は で割り切れる。… 2 回目 に を代入して，
は で割り切れる。… 3 回目
このように，i 番目ならば に を代入して，しかも偶数回 目のときはマイナスにして，式をどんどん， 回目まで作っていきます。
回目は奇数回目ですから（ のときも， なので奇数で す），マイナスにはせず， に を代入することになり，
は で割り切れる。… 回目 ところで，
でしたから， です。よって， 回目の式の中の，
は になり， は になります。
よって， 回目の式を書き直すと，
は で割り切れる。… 回目 もう一度，式だけ並べると，次のようになります。
は で割り切れる。… 1 回目 は で割り切れる。… 2 回目 は で割り切れる。… 3 回目
………
………
は で割り切れる。… 回目
これらの，1 回目の式から 回目の式までを足します。
すると，1 回目の式の と 2 回目の式の が打ち消し 合い，2 回目の式の と 3 回目の式の が打ち消し合 い，というように，どんどん打ち消し合って，結局，
は で割り切れる。
となります。
ところで， です。 また，定理 3-17により
が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割ると あまる。
から，
は 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる。
となります。
ところで，定理 4-4 により，次のことがわかっています。
ある整数が，4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき，その整 数を素因数分解すると，必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれ る。