リュカ数列は，1, 3, 4, 7, 11, 18, … と続きます。
この中で，1 番目である 1 と，3 番目である 4 だけが，平方数であることを証明していきます。
＜n が偶数の場合＞
リュカ数列の偶数番目には，平方数は現れない。
（証明） 背理法で証明します。
リュカ数列の偶数番目に，平方数が現れると仮定します。
この章では，リュカ数列 において， が偶数のときは は平方数にな らず， が 4 で割ると 1 あまる整数のときは のときのみ平方数にな り， が 4 で割ると 3 あまる整数のときは のときのみ平方数になるこ とを証明していきます。
自然数の平方数は， と，い
つまでも続いていきますが，隣同士の平方数と平方数の間は，
と，どんどん広がっていきます。
もっとも間がせまいのは， のときです。
ところで，定理 3-10により，次のことがわかっています。
が整数のとき，
つまり， 偶数 です。
は平方数ですから， 偶数 も平方数ならば，平方数と平方数の間が 2 し かはなれていないことになり，矛盾します。
矛盾の原因は，リュカ数列の偶数番目に，平方数が現れると仮定したことで した。
よって，リュカ数列の偶数番目には，平方数が現れないことが証明できまし た。
（証明終）
＜n が 4 で割ると 1 あまる数の場合＞
が 4 で割ると 1 あまる数の場合，リュカ数列 が平方数になるのは， のと きだけである。
（証明） のとき， は，確かに平方数です。
そこで， ，つまり， のときに， が平方数になったと仮定 し，背理法で矛盾を導きます。
は，4 でわると 1 あまる整数ですから， は 0 より大きい 4 の倍数で す。そこで， とすると， は 0 より大きい偶数です。
ここで， を素因数分解してみます。
を素因数分解したときに，3 が何回現れるかに注目します。 回現れたと し， とします。ただし，3 が 1 回も現れないこともあるので， は 0 であることも考えられます。
は偶数だったので，素因数分解すると 2 がふくまれています。 を で 割ったときの商が ですが，3 で何回割っても， の中の素因数である 2 は そのまま残っているので， の中にも，素因数 2 は残っています。つまり，
は偶数です。
また， は を 3 で割れるだけ割った残りですから， の中に，もう 3 は ふくまれていません。つまり， は 3 の倍数ではありません。
で， ですから，
と表せることになります。
ただし， は 0 以上の整数で， は 0 より大きい偶数でしかも 3 の倍数で はない数です。
ここで，定理 3-15により，次のことがわかっています。
が整数で， が偶数で 3 の倍数でないとき，
は で割り切れる。
この式を，何回も利用します。
に を代入して，
は で割り切れる。… 1 回目
に を代入してマイナスにして，
は で割り切れる。… 2 回目 に を代入して，
は で割り切れる。… 3 回目
このように，i 番目ならば に を代入して，しかも偶数回目のと きはマイナスにして，式をどんどん， 回目まで作っていきます。
回目は奇数回目ですから（ のときも， なので奇数で す），マイナスにはせず， に を代入することになり，
は で割り切れる。… 回目 ところで，
でしたから， です。よって， 回目の式の中の，
は になり， は になります。
よって， 回目の式を書き直すと，
は で割り切れる。… 回目 もう一度，式だけ並べると，次のようになります。
は で割り切れる。… 1 回目 は で割り切れる。… 2 回目 は で割り切れる。… 3 回目
………
………
は で割り切れる。… 回目
これらの，1 回目の式から 回目の式までを足します。
すると，1 回目の式の と 2 回目の式の が打ち消し合 い，2 回目の式の と 3 回目の式の が打ち消し合い，と いうように，どんどん打ち消し合って，結局，
は で割り切れる。
となります。
ところで， です。 また，定理 3-17により
が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割ると あまる。
から，
は 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる。
となります。
ところで，定理 4-4 により，次のことがわかっています。
ある整数が，4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき，その整 数を素因数分解すると，必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれ る。
ということから， には，4 で割ると 3 あまる素数がふくまれるは ずです。
しかし， が平方数なら，定理 4-1によって，
が整数のとき， を素因数分解したときに，4 で割ると 3 あまるような素因数は現れない。
と矛盾します。
矛盾の原因は， が 4 で割ると 1 あまる数で， のときに， が 平方数であると仮定したことにあります。
よって， が 4 で割ると 3 あまる数のとき，リュカ数列 が平方数 になるのは， のときだけであることが証明できました。
（証明終）
＜n が 4 で割ると 3 あまる数の場合＞
が 4 で割ると 3 あまる数の場合，リュカ数列 が平方数になるのは， のと きだけである。
（証明） 証明は，＜n が 4 で割ると 1 あまる数の場合＞ と非常によく似ています｡
のとき， は，確かに平方数です。
そこで， ，つまり， のときに が平方数になったと仮定し，背 理法で矛盾を導きます。
は，4 でわると 3 あまる整数ですから， は 0 より大きい 4 の倍数で す。そこで， とすると， は 0 より大きい偶数です。
ここで， を素因数分解してみます。
を素因数分解したときに，3 が何回現れるかに注目します。 回現れたと し， とします。ただし，3 が 1 回も現れないこともあるので， は 0 であることも考えられます。
は偶数だったので，素因数分解すると 2 がふくまれています。 を で 割ったときの商が ですが，3 で何回割っても， の中の素因数である 2 は そのまま残っているので， の中にも，素因数 2 は残っています。つまり，
は偶数です。
また， は を 3 で割れるだけ割った残りですから， の中に，もう 3 は ふくまれていません。つまり， は 3 の倍数ではありません。
で， ですから，
と表せることになります。
ただし， は 0 以上の整数で， は 0 より大きい偶数でしかも 3 の倍数で はない数です。
ここで，定理 3-15により，次のことがわかっています。
が整数で， が偶数で 3 の倍数でないとき，
は で割り切れる。
この式を，何回も利用します。
に を代入して，
は で割り切れる。… 1 回目 に を代入してマイナスにして，
は で割り切れる。… 2 回目 に を代入して，
は で割り切れる。… 3 回目
このように，i 番目ならば に を代入して，しかも偶数回目のと きはマイナスにして，式をどんどん， 回目まで作っていきます。
回目は奇数回目ですから（ のときも なので奇数で す），マイナスにはせず， に を代入することになり，
は で割り切れる。… 回目 ところで，
でしたから， です。よって， 回目の式の中の，
は になり， は になります。
よって， 回目の式を書き直すと，
は で割り切れる。… 回目 もう一度，式だけ並べると，次のようになります。
は で割り切れる。… 1 回目 は で割り切れる。… 2 回目 は で割り切れる。… 3 回目
………
………
は で割り切れる。… 回目
これらの，1 回目の式から 回目の式までを足します。
すると，1 回目の式の と 2 回目の式の が打ち消し合 い，2 回目の式の と 3 回目の式の が打ち消し合い，と いうように，どんどん打ち消し合って，結局，
は で割り切れる。
となります。
ところで， です。 また，定理 3-17により
が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割ると あまる。
から，
は 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる。
となります。
ところで，定理 4-4 により，次のことがわかっています。
ある整数が，4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき，その整 数を素因数分解すると，必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれ る。
ということから， には，4 で割ると 3 あまる素数がふくまれる はずです。
しかし， が平方数なら，定理 4-2によって，
が整数のとき， を素因数分解したときに，4 で割ると 3 あまるような素因数は現れない。
と矛盾します。
矛盾の原因は， が 4 で割ると 3 あまる数で， のときに が 平方数であると仮定したことにあります。
よって， が 4 で割ると 3 あまる数のとき，リュカ数列 が平方数 になるのは， のときだけであることが証明できました。
（証明終）
以上のことから，リュカ数列の偶数番目には平方数は現れず， が 4 で割ると 1 あまる数の ときは，1 番目の 1 のみ， が 4 で割ると 3 あまる数のときは，3 番目の 4 のみが平方数であ ることがわかりました。
結局，リュカ数列に現れる平方数は，（ 1 番目の）1 と，（ 3 番目の）4 だけであることが証明 できました。