この章は，次の 4 個の定理を証明するための章です。
＜定理 4-1＞
が整数のとき， を素因数分解したときに， 4 で割ると 3 あまるような素因数は 現れない。
＜定理 4-2＞
が整数のとき， を素因数分解したときに， 4 で割ると 3 あまるような素因数は 現れない。
＜定理 4-3＞
が整数のとき， を素因数分解したときに， 4 で割ると 3 あまるような素因数 は，3 しか現れない。
＜定理 4-4＞
ある整数が，4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき，その整数を素因数分解する と，必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれる。
この 4 個の定理を証明するために，「補題 4-1」，「補題 4-2」，「フェルマの小定理」，「フェル マの小定理の別の見方」，「因数定理の利用１」，「因数定理の利用２」，「因数定理の利用３」，
「定理 4-1」，「定理 4-2」，「定理 4-3」, 「定理 4-4」の順に証明していきます。
＜補題 4-1＞
が素数で， が と互いに素な整数のとき， を で割っ たあまりはすべて異なる。
（証明） もし， と とが，同じあまりを持っていると仮定します。
ここで， としても，一般性を失いません。
と の， で割ったときのあまりをどちらも とすると，
のように表すことができますから，
ですから，
は で割り切れることになります。
よって， の素因数の中に がふくまれているはずですが， は と互いに素なので を素因数に持っておらず， は， も も から の間にある数なので， と の差（つまり， のこと）が， 以上に広がるこ とはありえず， は 未満の数になるので， を素因数に持っていませ ん。
したがって， も を素因数に持っていないことになり，矛盾していま す。
矛盾の原因は， の中で， で割ったときに，同じ あまりがあるのが存在すると仮定したからなので，あまりはすべて異なること が証明できました。
（証明終）
＜補題 4-2＞
整数 を 整数 で割ったときのあまりを とす
ると， は で割り切れる。
（証明）
………
とします。一般的に， です。
に関する数学的帰納法で証明します。
のとき， ですから， は で割り切れるので，成 り立っています。
のとき， は で割り切れると仮定
します。
そこで， とします。
です。 （…「式ア」と名付けます。）
すると， のとき，
（∵「式ア」）
（∵ ）
（∵式の展開）
（∵式の整理）
（∵分配法則）
ですから， は で割り切れま
す。
よって，＜補題 4-2＞は証明されました。
（証明終）
＜フェルマの小定理＞
が素数で， が と互いに素な整数のとき， は で割り切れる。
（証明） は， と互いに素で， も と互いに素ですから，
も， と互いに素なので， で割ったときに割り切 れることはありません。
そこで，
………
とします。
すると， は 0 ではなく，しかも補題 4-1の，
が素数で， が と互いに素な整数のとき，
を で割ったあまりはすべて異なる。
により，すべて異なっています。
すると， は，順番は変わっているかも知れませんが，
全体としては， と同じです。
ですから，
（…「式ア」と名付けます。）
となります。
ところで，補題 4-2により，次のことがわかっています。
整数 を 整数 で割ったときのあまりを
とすると， は
で割り切れる。
いまは， 整数 を 整数 で割ったときのあまり
を としたのですから，
は で割り切れる。
整理して，
は で割り 切れる。
上の式に は 個ありますから，
は で割り切れる。
「式ア」により， ですから，
は で割り切れ る。
分配法則により，
は で割り切れる。
よって， の素因数の中に がふくまれ
ていることになりますが， の素因数の中に がふくまれ ることはないので， の中に がふくまれている，つまり，
は で割り切れることになり，フェルマの小定理が証明されました。
（証明終）
＜フェルマの小定理の別の見方＞
が素数で， が整数のとき， は で割り切れる。
（証明） が と互いに素な整数のときは，フェルマの小定理により， は で割り切れるので， も で割り切れることになり，
＜フェルマの小定理の別の見方＞が証明できました。
が と互いに素でないときは， は を素因数に持つので， とす
ることができ， も
で割り切れることになり，＜フェルマの小定理の別の見方＞が証明できまし た。
（証明終）
＜因数定理の利用１＞
が 4 で割ると 3 あまる素数のとき，
を で割ると，あまりは になる。
（証明） を 2 次式 で割ったときの商を とします。
あまりは 1 次式になるので， とすると，
この式は恒等式なので， にどんな値を代入しても，式は成り立ちます。
そこで，（ を 0 にしたいために） に虚数である を代入すると，
ところで， は 4 で割ると 3 あまる素数なので， とすると，
ところで， なので，
また，
よって，
したがって，
になるので， となり，＜因数定
理の利用１＞は証明されました。
（証明終）
＜因数定理の利用２＞
が 4 で割ると 3 あまる素数のとき，
を で割ると，あまりは になる。
（証明） を 2 次式 で割ったときの商を とします。
あまりは 1 次式になるので， とすると，
この式は恒等式なので， にどんな値を代入しても，式は成り立ちます。
そこで，（ を 0 にしたいために） に虚数である を代入すると，
ところで， は 4 で割ると 3 あまる素数なので， とすると，
ところで， なので，
また，
よって，
したがって， なので，
になるので， となり，＜因数定理の利
用２＞は証明されました。
（証明終）
＜因数定理の利用３＞
が 4 で割ると 3 あまる素数のとき，
を で割ると，あまりは になる。
（証明） を 2 次式 で割ったときの商を とします。
あまりは 1 次式になるので， とすると，
この式は恒等式なので， にどんな値を代入しても，式は成り立ちます。
そこで，（ を 0 にしたいために） に虚数である を代入すると，
ところで， は 4 で割ると 3 あまる素数なので， とすると，
ところで， なので，
また，
よって，
したがって， になるので，
となり，＜因数定理の利用３＞
は証明されました。
（証明終）
＜定理 4-1＞
が整数のとき， を素因数分解したときに， 4 で割ると 3 あまるような素因数は 現れない。
（証明） 背理法によって証明します。
が，4 で割ると 3 あまるような素因数 を持っていると仮定します。
すると， は で割り切れます。 （…「仮定ア」と名付けます。）
ところで， を で割ったとき，割り切れる場合と割り切れない場合がありま すが，どちらにしても矛盾することを，これから証明します。
まず， を で割ったとき，割り切れる場合を考えます。 商を とすると，
となりますが，そのとき， となり，
を で割ると 1 あまることになります。
つまり， を で割っても，割り切れないことがわかり，「仮定ア」に矛 盾します。
次に， を で割ったとき，割り切れない場合を考えます。
このときの証明には，＜因数定理の利用１＞を使います。
＜因数定理の利用１＞によって，次のことがわかっています。
が 4 で割ると 3 あまる素数のとき，
を で割ると，あまりは になる。
いま， が，4 で割ると 3 あまるような素因数 を持っていると仮定し ているのですから，その を使って，
（…「式イ」と名付けます）
という式を作ることができます。ただし， は多項式です。
ところで，＜フェルマの小定理の別の見方＞によって，
が素数で， が整数のとき， は で割り切れます。
また，「仮定ア」により， は で割り切れるのですから，
も で割り切れます。
「式イ」である，
において， は で割り切れ， も で割り切れるので すから， も， で割り切れることになります。
つまり， は という素因数を持っていなければならないのですが，
は という素因数を持っているわけがないので， が， という素因数を 持っていることになり， は で割り切れることになります。
しかし，いまは， が で割ったとき，割り切れない場合を考えているの ですから，これは矛盾です。
よって， を で割ったとき，割り切れる場合と割り切れない場合があり ますが，どちらにしても矛盾することが，証明できました。
矛盾の原因は， が，4 で割ると 3 あまるような素因数を持っている と仮定したことにあります。
仮定が否定されたので， は，4 で割ると 3 あまるような素因数を 持っていない，つまり， を素因数分解したときに，4 で割ると 3 あま るような素因数は現れないことがわかりました。
（証明終）
＜定理 4-2＞
が整数のとき， を素因数分解したときに， 4 で割ると 3 あまるような素因数は 現れない。
（証明） 背理法によって証明します。
が，4 で割ると 3 あまるような素因数 を持っていると仮定します。
すると， は で割り切れます。 （…「仮定ア」と名付けます。）
ところで， を で割ったとき，割り切れる場合と割り切れない場合がありま すが，どちらにしても矛盾することを，これから証明します。
まず， を で割ったとき，割り切れる場合を考えます。 商を とすると，
となりますが，そのとき， となり，
を で割ると 4 あまることになります。（ただし， のときは，
ですから，1 あまります。）
つまり， を で割っても，割り切れないことがわかり，「仮定ア」に矛 盾します。
次に， を で割ったとき，割り切れない場合を考えます。
このときの証明には，＜因数定理の利用２＞を使います。
＜因数定理の利用２＞によって，次のことがわかっています。
が 4 で割ると 3 あまる素数のとき，
を で割ると，あまりは になる。
いま， が，4 で割ると 3 あまるような素因数 を持っていると仮定し ているのですから，その を使って，
（…「式イ」と名付けます）
という式を作ることができます。ただし， は多項式です。
ところで，＜フェルマの小定理の別の見方＞によって，
が素数で， が整数のとき， は で割り切れます。