§ 46 ．波動方程式
Maxwell方程式によれば，電荷がない場合にも電磁場は存在できる．そのような電磁場は時間変化するもの
であり，電磁波と呼ばれる．
条件
ϕ= 0, ∇·A= 0 (17)
を満たすポテンシャルを選ぶことが可能であり，このときMaxwell方程式はポテンシャルに対する波動方程
式(d’Alembert方程式) (
∆− 1 c2
∂2
∂t2 )
A= 0 を与える．電磁場E=−1c∂A∂t,H=∇×Aも波動方程式を満たす．
あるいはMaxwell方程式は，Lorentz条件
∂kAk = 0 (18)
を満たすポテンシャルAkに対する波動方程式に書き換えられる：
∂kFik= 0 ⇒ ∂k∂kAi= 0.
ここで条件(17)は特定の基準系でしか成り立たないのに対し，Lorentz条件(18)はLorentz変換に対して共 変的であることに注意する．
§ 46 について
輻射ゲージ (17)をとるには§ 46 にあるように 2 回ゲージ変換を行い，1 回目で ϕ = 0，2 回目で
∇·A= 0となるようにすれば良い(この順でないと上手くいかないだろう)．具体的には1回目のゲージ変 換Ai→Ai′=Ai−∂ifで
0 =ϕ′ =ϕ−1 c∂tf の解f をとり，2回目のゲージ変換Ai′→Ai′′=Ai′−∂igで
0 =∇·A′′=∇·A′+ ∆g
の解gをとれば良い．このときϕ′′=ϕ′−1c∂tg=ϕ′+∇·E =ϕ′= 0を言うのに真空中よりρ= 0である ことを用いる．
§ 47 ．平面波
場E,Hがただ1つの座標x(および時間)にだけ依存する場合を考え，その任意の成分をf とする．場の
方程式 (
∂2
∂x2− 1 c2
∂2
∂t2 )
f = 0
は，x方向に光速度±cで伝播する平面波解 f =f1
( t−x
c )
+f2
( t+x
c )
を持つ．
■x方向の進行波 特にx軸の正方向(方向単位ベクトルn)に進行する平面波を考えると，
H=n×E
が見出される．これは電場と磁場が等しい絶対値を持ち，E,H,nがこの順に右手直交系を成し，それ故，電 磁波は横波であることを意味する．
Poyntingベクトルは
S =cWn
となる．これはエネルギー密度W = 8π1 (E2+H2)の場がn方向に光速度cで伝播するという事実に合致し ている．ここで運動量密度Sx/c2=W/c(§ 32)のエネルギー密度W との関係が，光速度で運動する粒子に 対する運動量とエネルギーの関係(9.9):p=E/cと同じであることに注意する．
Maxwellの応力テンソルの唯一ゼロでない成分はσxx=W である．
■平面電磁波のエネルギー密度の変換則 平面電磁波[伝播方向はx軸方向でなくても良い]のK系における エネルギー密度をW，K系のx軸方向に速度V で運動するK′系におけるエネルギー密度をW′，伝播方向 のx′軸との成す角をα′とすると，エネルギー・運動量テンソルの変換則は
W =W′
(1 + Vc cosα′)2
1−Vc22
を与える．
§ 47 について
■p.125，l.1の式∂ξ∂η∂2f = 0の確認
X±=t±x
c, ∂± = ∂
∂X± と書くと(教科書の表記との対応はξ=X−, η=X+)
1 c∂t= 1
c(∂++∂−), ∂x=1
c(∂+−∂−) であり，
0 = ( ∂2
∂x2 − 1 c2
∂2
∂t2 )
f = 1
c2{(∂+−∂−)2−(∂++∂−)2}f =−4
c2∂+∂−f.
■「一定な縦方向の電場」(p.125，l.22,23)について § 46では時間変化のない電磁場を考えると，真空中の Maxwell方程式の解E,Hはゼロになると論じられているけれど(p.122，l.9〜14)，正確には一様不変な場は 真空中のMaxwell方程式を満たす．これは「公式(36.8)および(43.5)で与えられるこれらの方程式[Poisson 方程式]の解」(p.122，l.13)が最も一般的な解ではないという事情による．ただし「電荷がない真空に現(わ) れる電磁場は電磁波とよばれる」(p.122，l.7)とあるけれど，一様不変な場は「電磁波となんの関係もない」
(p.125，l.23)として排除される．
図25 電磁場の平面波 図26 磁場の時間変化が作る電 場の渦
図27 電場の時間変化が作る磁 場の渦
■横波 pp.125–126でA(r, t) = (2π)13/2
∫d3kA(k, t)e˜ ik·r やA = A0eik·r といった表現を用いずとも，
∇·A = 0が横波条件になっているのを確認できていることや，進行波の関数形A =A(t−x/c)だけで k,E,Hの直交性(47.4)を確認できていることに注目する．
■式(47.3)について
∂
∂xi = ∂ξ
∂xi
∂
∂ξ ⇔ ∇= (∇ξ)∂ξ
を用いる．
■平面波に対する直観 § 47では電磁波が典型的には図25のような横波であることが示された．(ただし図 25および図26，図27では磁場Hの代わりに磁束密度Bを書いている．またここでは単色平面波として特 に直線偏光を考えており，kは波動(波数)ベクトルである(§ 48)．)この結果は次のように解釈できる．す なわち各時刻に各位置で図26のように式(26.1):∇×E=−1c∂H∂t に従って磁場の時間変化から電場の渦が作 られ，図27のように式(30.3):∇×H= 1c∂E∂t(j = 0)に従って電場の時間変化から磁場の渦が作られる[9]． これは第4章において静電場と静磁場がそれぞれ独立に電荷分布と電流分布から生み出されたのとは対照的 に，物質が存在しない場合にも電場と磁場はお互いを生み出しながら波(電磁波)として空間を伝播すること を意味する[5, pp.272–273]．
■Maxwellの応力テンソルの成分(47.6)について σαβの式(33.3)を見ると σxx=W, σxα=σαx= 0 (α̸=x) であることが容易に分かる．残りの成分が
σyy= 0, σzz= 0, σyz =σzy = 0
となることも，E= (0, Ecosθ, Esinθ),H= (0,−Esinθ, Ecosθ)とおいて式(33.3)に代入すれば確かめら れる．
式(47.6):σxx=W の解釈に移ろう．まず応力とエネルギー密度は等しい次元を持つことが次のように分
かる．
[応力] = [ 力
面積 ]
=
[(エネルギー)/L (体積)/L
]
=
[エネルギー 体積
]
= [エネルギー密度].
次に応力は隣接する空間領域の運動量変化をもたらすので，「場の運動量の流れはマクスウェルの応力テンソ ルの成分σαβ(33.3)で定められる」(p.126，l.21)．場の運動量密度はx成分Sx/c2=W/cを持つので，運動
量(のx成分)の流れの密度は，これに波の伝播速度cをかけたW になると考えられる．式(47.6):σxx=W はここから期待される通りの結果となっている．
§ 48 ．単色平面波
場が時間の単周期関数である波は単色と呼ばれ，単位ベクトルn方向に伝播する単色平面波は A= Re{A0ei(k·r−ωt)}, A0:複素定ベクトル， ω: (角)振動数， k= ω
cn:波動ベクトル という形をとる．[ポテンシャルの付加条件(17)の下で]電磁場
E=−1 c
∂A
∂t =ikA, H=∇×A=ik×A も同様の形をとる．これは波長λ= 2π/kを持つ．
単色平面波の表式
E= Re{E0ei(k·r−ωt)} は一般に，波の伝播方向kをx軸にとると
Ey=b1cos(ωt−k·r+α), Ez=±b2sin(ωt−k·r+α)
となり，これは楕円偏光を意味する(円偏光，直線偏光を含む)．[任意の点における電磁場の方向は，各瞬間 ごとに式(47.4):H=n×Eを満たしながら時間変化する．] ただしここでE02=|E02|e−2iαによって定義 されるE02の偏角−2αに対してE0=be−iαとなる複素ベクトル
b=b1+ib2 (b1,b2は実数ベクトル)
を導入した*19．このときb1とb2は直交することに注意してb1の方向をy軸にとり，b1=|b1|, b2=|b2|と 書いた．よって今
E0=be−iα, b=b1+ib2= (b1,±ib2,0) となっていることに注意すると，円偏光が現れる条件b1=b2は
E0z
E0y
=±i と書ける．
波動4元ベクトル
ki= (ω
c,k )
を導入[し，これを反変ベクトルと]すると，位相kixi=ωt−k·rがスカラーとなることが保証される．平 面波A=A0e−ikixi が波動方程式を満たす条件
kiki= 0
*19複素ベクトルの2乗E02は内積であり，実数ベクトルa,bに対して (a+ib)2=a2−b2+ 2ia·b のように計算する(E0∗·E0ではない)．
は|k|=ω/cに他ならない．
単色平面波のエネルギー・運動量テンソルは
Tik= W c2 ω2 kikk
と書ける．実際これは波の伝播方向がx軸に一致する基準系で，ki= (ω/c, ω/c,0,0)より正しい成分 T00=T01=T10=W, その他の Tik= 0
を与え(§ 47)，両辺が同じ種類のテンソルから成るから任意の基準系で成立する．
Doppler効果は波動4元ベクトルの変換則として得られる．すなわち光源の静止系での振動数をω0，光源
が速度V で運動している基準系Kでの振動数をω，K系で見た波の方向と光源の運動の方向(x軸)の成す 角をαとすると
ω=ω0
√ 1−Vc22
1−Vc cosα である．
§ 48 について
■「線形の演算だけを……複素数の量自体について演算をおこなうことができる」(p.129，1番下〜p.130，l.1) について 線形の演算をLによって表すと
L(A) =L(Re[A]) +iL(Im[A])
なので，実部Re[A]は複素表示の量Aが満たす式L(A) = 0と同じ関係式L(Re[A]) = 0を満たす．
■平面波の式の微分(48.6)について 一般に平面波の式f ≡ae−ikixi,f ≡aei(k·r−ωt)を微分した結果は以 下のようになる．
∂i(−ikkxk) =−ikkδki=−ki, ∴∂if =−ikif, ∴∂if =−ikif.
∂α(aαei(k·r−ωt)) =ikαaαei(k·r−ωt)), ∴∇·f =ik·f. εαβγ∂β(aγei(k·r−ωt)) =εαβγ(ikβ)(aγei(k·r−ωt)), ∴∇×f =ik×f.
■楕円偏光の式(48.9)の導出について この部分は2種類の単振動が共通の振動数を持つようなLissajous 曲線が楕円となることのエレガントな証明となっている．初等的な証明は『力学』§ 23の問題3に見られ る[2, p.87]．
波動方程式からの流れを文献[10, pp.137–146,pp.161–164](寺沢徳雄『振動と波動』)と比較しながらまと めると図28のようになる．
■「右まき」「左まき」(p.131，l.9)について 偏光の回転方向の呼び方には図29のようなものがある [10, p.163] [11, pp.88-89]．
図28 波動方程式から楕円偏光までの流れ
図29 偏光の回転方向の呼び方
■円偏光と床屋のサインポールの類似性 円偏光において電場Eと磁束密度Hは，座標系(時間の原点を含 めて)を適当に選ぶと
E=a
cos (kz−ωt) sin (kz−ωt)
0
, H=a
cos(
kz−ωt+π2) sin(
kz−ωt+π2) 0
(19)
という形に表される．よってz軸上の各点に分布する電磁場ベクトルE,Hの先端は図30のように常螺旋 を描く．そしてベクトルE,Hはz = constの水平面内で回転する．この様子は床屋のサインポールに似て いる．
床屋のサインポールでは赤と青の螺旋が中心軸の周りに回転しており，その結果として赤と青の縞模様が上 昇していくように見える．x軸正の方向をサインポールの正面とすると，より正確には図30に示した正面の 中心線と，螺旋との交点が上昇する．すなわち正面方向の方位角はϕ= 0であり，常螺旋の式(19)において ベクトルの指す方向の方位角が
kz−ωt= const(= 0), kz−ωt+π
2 = const(= 0)
図30 円偏光と床屋のサインポール
を満たすような座標(高さ)zが時間とともに増大する．ここで上昇速度は
˙ z=ω
k
であり，これは式(19)の位相が一定となる条件から得られたものだから，位相速度と呼ばれるのはもっとも である．
特に円偏光に対してはその時間発展(19)がMaxwell方程式に従うことから，上昇速度は ω
k =c
でなければならない．すなわち電磁波の位相速度は光速cである．
■Doppler効果，光と音の違い 光源が速度V で運動する場合と観測者が速度−V で運動する場合とで観測
される振動数が同じになるのは，音と違って光にはエーテルのような媒質がないからである．音の場合は音源 と観測者の他に空気を合わせた3体問題となり，波源と観測者の間のこのような対称性は失われる．
§ 49 ．スペクトル分解
この節は数学的な準備に充てられている．
• 離散的な振動数の列を含む場f(t)，周期Tをもつ
→ Fourier級数へ展開
f =
∑∞ n=−∞
fne−iω0nt (ω0= 2π/T) – f(t)が実である条件 f−n=fn∗
– 波の平均強度
f2=
∑∞ n=1
|fn|2 (∵f−n =fn∗, f0= ¯f =
仮定0)
• 連続的な振動数の列を含む場f(t)，ふつうf(±∞) = 0(展開の条件)
→ Fourier積分へ展開
f(t) =
∫ ∞
−∞
fωe−iωtdω 2π
– f(t)が実である条件 f−ω=fω∗
– 波の全強度
f2= 2
∫ ∞
0
|fω|2dω
2π (∵f−ω=fω∗)
§ 49 について
■基本振動数が複数ある場合(p.134，l.13,14)について 展開に含まれる振動数の列がω0,2ω0,3ω0,· · ·， ω0′,2ω0′,3ω0′,· · · で，nω0′/mω0が無理数となる場合のこと．
■f(t)が実となる条件 (49.3):f−n = fn∗ について 遠回りだが，三角関数によるFourier展開における sin,cosを指数関数に書き換えると，Fourier係数fnのもとの係数との対応関係から式(49.3):f−n =fn∗を 確かめられる．
■Fourier積分(49.5)について dω/2πはdω/√
2πと書く流儀もある．この場合にはFourier成分の式(49.6) においてdt→dt/√
2πとなる．
Fourier積分(49.5)の展開係数fωはFourier級数(49.1)の展開係数fnと異なり，(場)×(時間)の次元を 持つことを指摘しておく：
[fn] = [f], [fω] = [f]
[ω] = [f]×T.
これは次の事情による．時間周期T を持つ場f(t)のFourier展開(49.1)は，T → ∞の極限で展開係数fn からdωがくくり出されて
f(t) = ∑
n
fn e−inω0t
↓ ↓ ↓
f(t) =
∫ dω
2πfω e−iωt とFourier積分(49.5)に移行する．実際このことは，展開係数の式
fn=1 T
∫ T /2
−T /2
f(t)eiωntdt: (49.2) (
ωn ≡n2π T
)
fω= lim
T→∞
∫ T /2
−T /2
f(t)eiωtdt≡ lim
T→∞fω(T): (49.6) を比較すると，
fn =1
Tfω(T)=∆ω
2πfω(T) (∆ω≡ωn+1−ωn)
→dω 2πfω
となることから分かる．こうしてFourier積分(49.5)は「平面波fωe−iωtの重ね合せ」ではなく，正確には
「平面波 dω
2πfωe−iωtの重ね合せ」である．
■波の全強度の計算(p.135，l.1〜4)について 波の全強度，すなわちf2 の全時間についての積分は時間 に依らない量であり，これをω に関する積分としても表すことができる．そのためにはf2のf を(1つだ け)Fourier展開し，次いで時間についての積分を実行すれば良い(p.135，l.2)．
式(49.8)最後の等号は，ω′=−ωと変数変換すると
∫ 0
−∞
fωf−ωdω=
∫ ∞
0
f−ω′fω′dω′ となることから分かる．
§ 50 ．部分偏光
実際の波は完全には単色でなく，平均の振動数ωの周りの小さな区間∆ω内の，いろいろな振動数を含ん でいる．そのような波に対して空間の定まった点における場を
E=E0e−iωt
という形に書くと，偏光を決定する複素振幅E0は時間のゆるやかに変化する関数E0(t)となる(一定の偏光 状態を持つ単色波に対してE0は定数である(§ 48))．このように各点での偏りが時間とともに変化する波を 部分偏光しているという．
光の偏りの性質は量Jαβ=E0αE0β∗(バーは時間平均を表す)，あるいはこれを用いて ραβ= Jαβ
J , J =Jαα
のように定義される偏光テンソルραβによって決定される．ただし波の伝播方向をx軸にとり，添字α, βは これに垂直な2方向の成分α, β= 1,2をとるものとする．偏光テンソルραβはその定義により
ραβ=ρβα∗: Hermite性， ραα= 1 の条件を満たす．
• 完全に偏光している光に対して
E0α= const. ⇒ Jαβ=E0αE0β∗ ⇒ |ραβ|= 0
• 偏光していない光(自然光)に対して
ραβ∝δαβ ⇒ ραβ= 1
2δαβ ⇒ |ραβ|= 1 4
であり，行列式|ραβ|は0と1/4との間の値をとる．そこで偏光していない光に対する0から偏光している光 に対する1までの値をとる正の量として，
|ραβ|= 1
4(1−P2) によって定義される偏光度P を用いることができる．
偏光テンソルを対称部分と反対称部分に分けると，Sαβを実数の対称テンソル，Aを実数の擬スカラーと して
ραβ=Sαβ− i 2eαβA
という形になることが分かる．ここでAは右回りの円偏光に対して+1，直線偏光に対して0，左回りの円偏 光に対して−1をとることが確かめられるため，これは円偏光の程度と呼ぶことができる．
実対称テンソルSαβの主軸n(1),n(2)に関する成分は (Sαβ) =
(λ1 0 0 λ2
)
という形に書ける．ここで主値λ1, λ2は正で，0から1までの値をとり，λ1+λ2 = 1を満たす．簡単の ためにραβ =Sαβとなる場合(A = 0)を考えると，ραβの非対角成分はゼロである．これは主軸方向の波 Eα(1), Eβ(2)が非干渉である場合
Eα(1)Eβ(2) =Eα(1)·Eβ(2)= 0
を意味する．よってA= 0のときには部分偏光している波は，互いに垂直な方向に直線偏光している2つの 非干渉性の波の重ね合せとして表すことができる．
ραα = 1 を満たすHermiteテンソル ραβ は3 つの実数パラメターで表される．それを円偏光度 A， l≡λ1−λ2，n(1)とy軸の成す角ϕに選ぶことができる．これらの代わりにStokesのパラメター
ξ1=lsin 2ϕ, ξ2=A, ξ3=lcos 2ϕ を用いると，任意の軸y, zに関する偏光テンソルの成分は
(ραβ) = 1 2
( 1 +ξ3 ξ1−iξ2
ξ1+iξ2 1−ξ3
)
と表される．3つのパラメターはすべて-1と1の間の値をとる．
• ξ3はy軸およびz軸方向の直線偏光を特徴付ける．
– ξ3= 1はy軸方向に，ξ3=−1はz軸方向に直線偏光していることを表す．
• ξ1はy軸，z軸に対して傾き45度を持つ方向の直線偏光を特徴付ける．
– ξ1=±1はy軸との成す角ϕ=±π/4の方向に直線偏光していることを表す．
|ραβ|=1
4(1−ξ12−ξ22−ξ32), ∴P=
√
ξ12+ξ22+ξ32 であり，同じ偏光度Pを持つ偏光もξ1, ξ2, ξ3の値は異なり得る．
§ 50 について
■部分偏光している波の場E = E0(t)e−iωt(§ 50，l.5) について 簡単な例として互いに 近い振動数 ω1, ω2(ω1> ω2)を持つ単色平面波を重ね合せると，うなりが生じる．これは平均の振動数ω = ω1+ω2 2 での 振動に関する振幅が，振動数ω1−2ω2 でゆっくりと時間変化するような波である．
次に平均ω0の周りのσ程度の区間で値を持つようなFourier係数 fω=Ae−(ω−ω0)2/σ2 に対して，x方向に伝播する単色平面波の重ね合せ
f(x, t) =
∫ dω
2πfωe−iω(t−xc)