§ 36 ．クーロンの法則
• 静電場
∇·E= 4πρ, E=−∇ϕ ⇒ ∆ϕ=−4πρ: Poisson方程式．
– 真空中(ρ= 0)では
∆ϕ= 0 ⇒ ∂xxϕ, ∂yyϕ, ∂zzϕのすべてを同符号にできない ⇒ ϕは極値をもたない*13．
• Maxwell方程式H
E·df = 4π∫
ρdV より点電荷の作る電場とポテンシャルは E= e
R2 R
R : Coulombの法則, ϕ= e R で与えられる．
– 複数の電荷がある場合，重ね合せの原理により ϕ=∑
a
ea
Ra
=
∫ ρdV R .
§ 36 について
■式(36.8)の1行下について 観測点 → 観測点 と訂正する．
■数学的関係(36.9)について
∆ (e
R )
= ∆ϕ=−4πρ=−4πeδ(R) とすると数学的な関係(36.9):∆(1
R
)=−4πδ(R)が物理的な考察から出てきたような錯覚に陥るかもしれな
い．しかし
∆ (1
R )
= 0 (R̸= 0) かつ
∫
∆ (1
R )
dV =−4π ; 式(36.9) はPoisson方程式のGreen関数G(R)を未知として上記の順序を入れ替えると，G(R)を求める
∆G(R) =−4πδ(R) ⇒ 4πR2dG
dR =−4π (体積積分した) ⇒ G(R) = 1 R という数学的手続きと同等であり，これを物理的に意味付けした
∇·E= 4πeδ(R) ⇒ 4πR2E= 4πe ⇒ ϕ= e R を見たに過ぎない．
■国際単位系への移行 電場(36.6)とポテンシャル(36.7) を電荷の再定義e → e/√
4πε0 によって国際
(MKSA)単位系の表式に書き換えるには，次のようにする．
E= e
R2 =e×(単位電荷)
R2 → e
4πε0R2, ϕ= e
R =e×(単位電荷)
R → e
4πε0R.
*13「電場はいかなる……」(式(36.5)の2行下)は正しくはポテンシャルのことである．
§ 37 ．電荷の静電エネルギー
電荷の作る静電場のエネルギーは U = 1 8π
∫
E2dV =· · ·=1 2
∫
ρϕdV =1 2
∑
a
eaϕa
と書き換えられる．
よって1個の電荷eは，自身の作るポテンシャルの，電荷の位置での値をϕとすると，自己エネルギーeϕ/2 を持つことになる．これは
|ϕ|= lim
R→0
|e| R =∞
より発散する．これは粒子を点として扱っていることに関係しており，電磁気学の基礎原理が，その適用限 界をも示していることを意味する．すなわち粒子が実際には半径R0を持つと考えると，自己エネルギーは e2/R0の程度であり，これが静止エネルギーmc2と同程度になることを要求すると
R0∼ e2 mc2 を得る．これより小さな距離は古典電磁気学で扱えない．
また場のエネルギーは
U = 1 2
∑
a
ea
∑
b
eb Rab
=1 2
∑
a
ea2 Raa
| {z }
無限大の定数
+1 2
∑
a
ea ϕa′
z }| {∑
b(̸=a)
eb Rab
| {z }
U′,物理的に意味がある
のように2つの部分から成る．
§ 37 について
■エネルギーを持つのは粒子か場か 場のエネルギーは一般に空間全体に広がっていたと考えていたのが，実 は粒子の位置に点在していると式(37.2)では考えられている：
U =
∫ (−∇ϕ)2 8π dV
| {z }
場のエネルギー
=1 2
∑
a
eaϕ(ra)
| {z }
粒子のエネルギー
.
するとエネルギーは電荷が持っているようにも見えるが，あくまでエネルギーは空間が持っていると見ること も可能である．このように場のエネルギーと粒子の位置エネルギーは概念的に異なり，一見すると一方とは別 に他方があるように考えられるけれど，実はこれらは同一のエネルギーを別の角度から見たときに現れる2つ の異なる側面であることをこの計算は示している．
半径aの球に分布する一様な電荷Qの場合は点電荷の場合と事情が異なり，球の外でも場はエネルギーを 持ち，a→0で球の内外のエネルギーがそれぞれ無限大に発散する．実際，点電荷の場合と同様の変形
∫ (−∇ϕ)2
8π dV = 1 8π
∫
∇·(ϕ∇ϕ)dV +1 2
∫
ρϕdV (8)
において*14各項は
∫ (−∇ϕ)2
8π dV =Q2 8π
∫ ∞
a
1
r44πr2dr= Q2 2a, 1
8π
∫
∇·(ϕ∇ϕ)dV = 1 8π
∫
球外∇· (Q
r (
−Qr r3
))
dV =Q2 8π
∫ 2π 0
∫ π 0
∫ ∞
a
1
r4r2sinθdrdθdϕ=Q2 2a, (9) 1
2
∫
球外
ρϕdV =0 (∵ρ= 0)
となる．式(9)は場の消える無限遠に加え球面上の面積分に置き換えられるため，この項が0になるという点 電荷に対する議論は適用できない．
■「自己エネルギーはe2/R0程度になる」(p.102下から4行目)について これは次元解析で分かる．
仮に電子に半径R0の広がりを与えたとしても，電荷がその中心を避けるように分布していなければ結局自 己エネルギーは無限大になると考えられる．そこで電子では電荷が球面に(面密度σで)一様に分布している というJ.J.Thomsonの仮定に従うと [7, p.33]，表面の電荷が球の表面に作るポテンシャルは，全電荷eが球 の中心に集中している場合と同じくe/R0となるので，自己エネルギーは
1 2
∫ π 0
σπR0sinϕ×R0dϕ× e R0
= e2 2R0 ∼ e2
R0
と見積もれる．
■「e2/R0∼mc2」(p.102，下から2行目)について これは
(観測される電子の質量) = (電磁場のエネルギー) + (電子固有の質量) の右辺の2項が同程度という要求である[7, p.35]．
■U′の表式(37.7)について 係数1/2があるため，元の式(37.2)は粒子対についての和になっている．
∑
粒子対
=∑
a>b
=∑
a<b
=1 2
∑
a̸=b
.
§ 38 ．一様な運動をしている電荷の場
実験室系Kに対し電荷eとともにK′系が一様な速度V で運動するとき(図19参照)，K系において電荷 の作る場を考える．座標のLorentz変換により
R′2≡x′2+y′2+z′2= R∗2
1−(V /c)2, R∗2≡(x−V t)2+ (
1−V2 c2
)
(y2+z2) となる．そこでK′系におけるポテンシャル
ϕ′= e
R, A′ = 0 をLorentz変換すると，K系のポテンシャル
ϕ= e
R∗, A= eV cR∗
*14この変形はまた，容器に閉じ込められた非圧縮性完全流体の渦なし場が容器を振っても静止流体であることを確かめる計算と(消 える項が異なるのを除けば)同じである[6, p.59]．
図19 一様な運動をする電荷の作る電場は運動方向に 収縮する ．
を得る．またK′系における電磁場
E′= eR′
R′3, H= 0
を変換すると(§ 24)，θをK系における電荷から観測点への動径ベクトルRと運動方向の成す角として，K 系の電磁場
E= eR R3
|{z}
くくりだす
1−(V /c)2
{1−(V /c)2sin2θ}3/2, H= 1 cV ×E
を得る．よってK系において電荷から等距離の球面上に分布する電場は，運動方向θ= 0, πよりも運動に垂 直な方向θ=π/2の方が大きい(図19参照)．
§ 38 について
■K系の電場(38.6)と磁場(38.9)について K系のポテンシャル(38.3),(38.5)から E=−∇ϕ−1
c
∂A
∂t , H=∇×A によっても導かれる．
■「この区間」(p.105，l.17)について その定義を2通りに考えて∆θを見積もる．以下，β≡V /cとおく．
まずθ=π/2±∆θに対し∆θの2次の範囲で(式(38.8)の分母) = 0となる∆θの範囲を「この区間」と 考えると
1−β2sin2θ=1−β2cos2∆θ= 1−β2(1−∆θ2+O(∆θ4)) = 0,
∆θ=
√1−β2
β . (10)
次にθ=π/2±∆θに対しE=E⊥/2となる∆θの範囲を「この区間」と考えると 1
(1−β2sin2θ)3/2 = 1 2(1−β2)3/2,
{1−β2(1−∆θ2+O(∆θ4))}3=(1−β2)3+ 3(1−β2)β2∆θ2+O(∆θ4) = 4(1−β2)3,
∆θ=
√1−β2
β . (11)
式(10)，式(11)において分母のβのみ1とおくと∆θ ∼√
1−(V /c)2(p.105，l.18)を得る．これは微小量 α≡1−βについてO(α3/2)を落とす近似になっている：
√1−β2
β =
√2α−α2 1−α =√
2α−α2(1 +α+α2+· · ·)≃√
2α−α2=√ 1−β2.
■「近似的にE=eR/R3が得られ」(p.105下から4行目)について E = (eR/R3)(1 +O(β2))である．
§ 39 ．クーロン場のなかの運動
質量m,電荷eの粒子が，電荷e′のつくる引力の場(α=ee′ <0)のなかで運動する．M はeのe′周りの 角運動量とする．
• 相対論的力学ではエネルギー保存則(39.1)より，
M c <|α|ならeはe′との距離r→0となりe′に落ち込む．
– Hamilton-Jacobi方程式を解いて得られる軌道の方程式からも それが確かめられる(M c=|α|でもeはe′に落ち込む)．
• Hamilton-Jacobi方程式を解いて得られる軌道の方程式より，
M c >|α|の場合E < mc2で粒子は閉じない有限運動を，E > mc2でrが無限大となる運動をする．
§ 39 について
■「さらに引力の場合……(……了解する)．」(p.106，l.14〜19)について 式(39.1)を c2pr2=
(E −α r
)2
−M2c2
r2 −m2c4 と書き換える．r→0のときこれは
0≤c2pr2≃α2−M2c2 r2 を与える．これはM c >|α|に対しては満たされない．
■「一般にこのような落下が……対照的である」(p.107，l.3,4)について 『力学』§ 15参照[2, p.43]．
■Hamilton-Jacobiの方法(p.107)について Hamilton-Jacobi方程式を解くとき，「E(中略)は運動する粒子 の一定のエネルギー」(p.107，l.11)であることを用いている．実際には粒子eは加速運動をすると電磁波を 放射してエネルギーを失うけれど，e′のつくる与えられた場だけを考える近似の下ではこのことは無視され，
E = constとできると考えられる．この点については§ 17第1段落も参照．また，興味あるのがeの運動だ けならp.107，l.7のように1粒子に対するHamilton-Jacobi方程式を書けば十分である*15．
■Hamilton-Jacobiの方法により軌道の式(39.4–6)を得ること Hamilton-Jacobi方程式
−1 c2
(∂S
∂t −α r
)2
+ (∂S
∂r )2
+ 1 r2
(∂S
∂ϕ )2
+ (mc)2= 0 (12)
に基づく軌道の式(39.4–6)の導出について補足する．p.107，l.8のHamilton-Jacobi方程式と式(39.3)では αの符号は誤りであり，以下で見るように式(39.4–6)では符号は正しいと考えられる．
相対性理論でも『力学』の解法を用いることができること[2, pp.186–190] 『力学』の式(48.7)のように循環 座標qはαqの形に分離される．ここでα=∂S/∂qは(同著式(43.3)より)qに共役な一般座標である．以上 の議論は系が非相対論的であることを用いていないので，相対性理論でもそのまま成り立つ．式(12)ではϕ が循環座標なので，作用においてM ϕが分離される．ここにMは原点周りの角運動量である．
保存系で時間がS =S(q)−Et(qは空間座標)と変数分離されることは，∂µS=−pµが相対性理論でも成 り立つから正しい．これは式(12)において∂S/∂tが「他の座標(あるいは時間)や導関数を含まないそれらだ けの組み合わせでのみ，ハミルトン=ヤコービの方程式のなかに入ってい」(『力学』p.189下から11〜9行) なくても言える．ここで考えているCoulomb場の中の電荷は，上記のように一定のエネルギーV を持つた め，作用において−Etを分離できる．
また以下の理由により，相対性理論においても解Sに対して∂S/∂α=βと置けば良い．すなわち相対性理 論においても∂µS =−pµよりSを母関数とする正準変換公式が『力学』(非相対論)の場合と同じであり，ま たハミルトニアンがラグランジアンのLegendre変換で定義されることに変わりないため，『力学』§ 47の議 論がそのまま成り立つから．よって∂S/∂M= constである．
軌道の方程式(39.4–6)の導出過程の補足 軌道の方程式を求める際，前もって作用の式(39.3)における積分 を実行するのは得策でない(これはHamilton-Jacobiの方法により軌道を求める他の問題にも一般に言える)． 式(39.3)の平方根の前の符号を念のため±とし，角度ϕの基準線の任意性からconst = 0とおくと
0 = ∂S
∂M =ϕ∓
∫ (M c/r2)dr
√
(α2−M2c2) (1
r+α2−EMα2c2
)2
−α2(−EMα)22c2+E2−m2c4
(13)
となる．最右辺を書き換えるには分子の1/r2を分母の根号内に含めず，1/rを塊と見て根号内を平方完成す ることにだけ注意すれば良い．M c̸=|α|の場合には
(式(13)右辺) =ϕ∓
∫ (M c/r2)dr
√
1 M2c2−α2
[
c2{(ME)2−(mc)2(M2c2−α2)} −(M2c2−α2
r +Eα)2] (14) である．
*15なお粒子ごとに∇S=Pが成り立つことに注意しH =∑ {√
m2c4+p2c2+eϕ}を書き換えると，系全体に対しては自己エ ネルギーを除き第2の電荷の質量をm′として
−1 c2
(∂S
∂t +2α r
)2
+ (∂S
∂r )2
+ 1 r2
(∂S
∂ϕ )2
+m2c4+m′2c4= 0 となると考えられる．
M c >|α|のとき M2cr2−α2+Eα≡c√
(ME)2−(mc)2(M2c2−α2) cosXと置換すると (式(14)右辺) =ϕ∓ 1
√1−(α/cM)2X となるから式(39.4)を得る．その際，複号は消える．
M c <|α|のとき α2−Mr 2c2+Eα≡c√
(ME)2+ (mc)2(α2−M2c2) coshXと置換すると (式(14)右辺) =ϕ± 1
√(α/cM)2−1X となる．ここから軌道の方程式を求めると，式(39.5)は√
(α2/c2M2)−1→√
(α2/c2M2)−1と訂正され るものと考えられる．
M C=|α|のとき式(13)右辺において根号内をXと置換して積分を実行すると式(39.6)を得る．その際，
複号は消える．
■「もしE < mc2……できる(無限運動)」(p.107下から6,5行目)について M c >|α|を用いると式(39.4) 右辺のcosの係数が
√(mc2α)2−(M c)2{(mc2)2−E2} ≤ −Eα (E > mc2のとき),
√(M c)2{E2−(mc2)2} −(mc2α)2≥ −Eα (E < mc2のとき)
となるので，E > mc2の場合に限って式(39,4)右辺は0になり得るから．
■「開いたバラの花形(open rosettes )の軌道」(p.107の1番下)について 軌道の式(39.4)は，変数rと 各パラメーターを適当に無次元化し，引力の条件α <0およびM c >|α|を満たすように
c= 1, M = 2, α=−1, E =−1, m=
√3.5 3 ととると
3 r = 1
√2cos (√
3 2 ϕ
) + 1 となる．この式で表される軌道は図20のようである．
§ 40 ．双極モーメント
電荷が原点付近に集中しているとき，遠方Rに作られる［静電場の］ポテンシャルは*16 ϕ=
∑e
R +d·R R3 と近似される．
ここにd≡∑
erは双極モーメントと呼ばれ，
• ∑
e= 0の系で，原点のとり方に依らない．
*16教科書の記号はR0だが，本稿では添字0を省く．第9章では電荷から観測点へ向かうベクトルRと区別するために，原点を始 点とする位置ベクトルをR0と書く措置が有用となる．
図20 「開いたバラの花形の軌道」(p.107の1番下)
図21 d=eR+−:(40.6)の解釈．正電荷群と負電荷群をそれぞれ1つの粒子と見なす．
• 正電荷e+a(位置r+a)と負電荷−e−a(位置ra−)を区別し，それぞれの電荷中心 R+=
∑e+ara+
∑e+a
, R− =
∑e−ara−
∑e−a
を定義すると
d=R+∑
e+a −R−∑ e−a と書ける．
– 特に∑
e+a =∑
e−a =eであれば
d=e(R+−R−) と書ける(図21参照)．
全電荷がゼロの系のポテンシャルは(近似的に)1次の項 ϕ(1)=d·R
R3
図22 ϕ(1)と対応する電場
で表される．ϕ(1)から導かれる電場はR3に逆比例する強さを持ち，dの方向の周りに軸対称性を持つ(図22 参照)．
§ 40 について
■展開(40.2)について § 41における2次の項(41.2)の確認も兼ねて導出を補足する．
ϕ=∑ e
|R−r|
=∑ ∑
n
1 n!
( r· ∂
∂r )n
e
|R−r|
r=0
r=0の周りに展開
=∑ ∑
n
1 n!
(
−r· ∂
∂R )n
e
|R−r|
r=0
Rの微分に書き換えれば
=∑ ∑
n
1 n!
(
−r· ∂
∂R )n
e
R 先にr=0を代入できる
=∑ e
R +d·R R3 +Dαβ
6
∂2
∂Xα∂Xβ
(1 R
) +· · · .
■ϕ(1)の式(40.7)と電場の式(40.8),(40.9)について まず式(40.7)について，
ϕ=∑
(−er·∇)1
R =(∑
−er )·
(
∇1 R
)
とできることが，r·∇=xα∂αと書き換えると分かる．次に「(40.9)という形に書けることを示しておくの は有用」(p.110，l.11)について，式(40.9)は−∇ϕ(1)を考えると図22のように−∇とd·∇が交換できる ことから直ちに分かる．それに比べると遠回りだが，式(40.9)が式(40.8)に一致することを次のように確か められる．
E= (d·∇)∇1
R =−(d·∇)R R3 =− 1
R3dα∂αR−Rdα∂α
1 R3
=− 1
R3dαeα+ 3dα
Xα R
1 R3
R
R =3(n·d)n−d R3 .
図23 電場の分解
■Eθの式(40.11)について θ方向が図23のように定義されるなら，場(40.8)のうちθ成分を持つのは
−d/R3の部分のみで，その成分は
Eθ=−−dsinθ
R3 = dsinθ R3
となる．よって式(40.11)のEθの符号は逆と考えられる．Ex, Ezを分解しても同じ結果 Eθ=Excosθ−Ezsinθ= dsinθ
R3 を得る．
§ 41 ．多重極モーメント
§ 40のポテンシャルの展開における2次の項は4重極ポテンシャルと呼ばれ，
ϕ(2)=1 2
( ∂2
∂Xα∂Xβ
1 R
) ∑exαxβ, Xα:Rの成分
と表される．これは
ϕ(2) =Dαβ 6
∂2
∂Xα∂Xβ
1
R =Dαβnαnβ
2R3 , nα:R/Rの成分 と書くこともできる．ここに
Dαβ=∑
e(3xαxβ−r2δαβ) は4重極モーメントであり，トレースレスの条件Dαα= 0を満たす．
また球関数の理論を用いれば，展開ϕ=∑∞
l=0ϕ(l)のl次の項の表式 ϕ(l)= 1
Rl+1
∑l m=−l
√ 4π
2l+ 1Q(l)mYlm∗ (Θ,Φ), Q(l)m =∑
a
earal
√ 4π
2l+ 1Ylm(θa, ϕa)
が見出される(Θ,Φおよびθa, ϕaはそれぞれ，Rおよびraの座標軸となす角)．{Q(l)m}は2l重極モーメント と呼ばれる，対称なl階の既約テンソルに対応する．既約テンソルとは，添字の任意の1対について縮約する とゼロになるテンソルのことである．