§ 53 ．幾何光学
電磁波を空間の小さい領域では平面波と見なせる場合には，波面およびこれに垂直な射線を導入することが でき，幾何光学を適用できる．そのためには波の振幅と伝播方向とが，波長程度の領域にわたっては近似的に 一定であれば良い．このとき電磁場E,Hの任意の成分をf =aeiψと書くと[任意の複素数f は，その絶対 値をa，偏角をψとして必ずこのように書ける]，図31のように位相ψに対する方程式
(∂iψ)(∂iψ) = 0
が導かれる．位相ψはアイコナールと呼ばれ，上式はアイコナール方程式と呼ばれる．これはその導き方か らして，物質的媒体のなかでの光の伝播にも適用できることに注意する(以降で見る関係式も同様)．
幾何光学におけるアイコナールψを粒子の作用Sに対応させると，以下の類似性が見出される*20． アイコナール方程式 Hamilton-Jacobi方程式
(∂iψ)(∂iψ) = 0 ↔ (∂iS)(∂iS) = (mc)2 k=∂ψ
∂r, ω=−∂ψ
∂t ↔ p=∂S
∂r, H =−∂S
∂t.
[よって光を粒子に対応させるにはm= 0とすれば良い．逆に粒子の古典的な運動は作用S(を適当に無次元 化した値S/ℏ)を位相とする波動力学の短波長極限として記述されることが示唆される．]そこで光の波動ベ
図31 幾何光学の仮定とアイコナール方程式の導出
*20アイコナール方程式は自由粒子に対するHamilton-Jacobi方程式(9.20):(∂iS)(∂iS) = (mc)2に比較される．粒子が場と相互 作用する場合のHamilton-Jacobi方程式は式(16.11):
(∇S−e cA)2
− 1 c2
(∂S
∂t +eϕ )
+m2c2= 0.
クトルkと振動数ωをそれぞれ粒子の運動量pとエネルギー(ハミルトニアン)H に対応させると[これは光 子に対する量子力学的関係p=ℏk, E=ℏωを想起させる]，
k=ω/c ↔ p=E/c (超相対論的粒子に対して) の類似性が見出される．
そこで
k˙ =−∂ω
∂r, r˙= ∂ω
∂k ←−−−
(類推)
˙
p=−∂H
∂r , r˙= ∂H
∂p : Hamilton方程式 と考えると，これは真空中の光線(ω=ck)に対して正しい結論k= (一定)≡kn,v=cnを与える．
波動ベクトルki と粒子の運動量piの類似性は次の事情による．平面波のエネルギー・運動量テンソル (48.15):Tik= W cω22kikkによれば，波束(波動ベクトルの平均値kiを持つ，狭い振動数の区間内の単色平面波 の重ね合せ)に対する4元運動量は
P ∝k, E ∝ω
となる．比例定数がスカラーならば，kiは運動量Piのように変換される．
ω=ckの光線に対してk·∂ω∂k −ωはゼロになるから，これをラグランジアンにとることはできない．これ は質量ゼロの粒子に対してラグランジアンを導入できないという事情に似ている．
Fermatの原理 Maupertuisの原理
δψ=δ
∫
k·dl= 0 ←−−−
(類推)
δS=δ
∫
p·dl= 0 (振動数ωが一定の場合) (エネルギーが一定の場合).
§ 53 について
■「幾何光学は波長の小さな極限λ→0に対応する」(p.146，l.14〜15)について 波長が長くなるにつれ，
「波の振幅と伝播方向とが，波長程度の領域にわたっては実際上一定である」(p.146，l.4〜5)ことが困難とな る(厳密な平面波ならばいくらでも波長は長くなり得るけれど)．
■「ψが大きな量である……．このことは……明らかである」(p.146下から2行目〜p.149，l.1)について λ→0の極限は正確には∂iψが大きな量であることに対応すると考えられる．このように訂正しても，∂iψ が大きな量であることは式(53.6)からアイコナール方程式が導かれる根拠となる．
■ω の式(53.3)について 正しくは ω = −∂ψ/∂tと考えられる．直後の式(53.4):ki = −∂iψ ⇔ ki = (−1c∂ψ/∂t,∇ψ)
を式(48.2):ki= (ω/c,k)と比較してもω=−∂ψ/∂tとなる．
■アイコナール方程式の導出(53.6)について 式(53.6)において結果的に∂ia程度の項が捨てられている．
これは振幅が実際上一定であること(p.146，l.1〜l.5)を反映していると見ることができる．
式(53.6)を確かめるには，Leibnizの公式(uv)(n)=∑
k nCkukvn−kのn= 2の場合 (uv)′′=u′′v+ 2u′v′+v′′
により
0 =∂i∂if =∂i∂i(aeiψ) = (∂i∂ia)eiψ+ 2(∂ia)(∂ieiψ) +a∂i∂ieiψ (iについて和をとらない) が成り立つことに注意し，次いで添字iについて和をとれば良い．ψ(あるいは∂iψ)の2次程度の項は最右辺 第3項a∂i∂ieiψ=agij∂j(i∂iψ)eiψにのみ−a(∂iψ)(∂iψ)eiψとして含まれる．
■単色の光に対するアイコナール方程式 角振動数ωを持つ単色の電磁波に対して，電場または磁場の1成 分のみに注目すると，場は
Ψ(r, t) =ψ(r)e−iωt
という時間依存性を持つ．ここで──教科書の範囲を超えるけれど──媒質中の光の伝播を想定して各位置で の媒質の屈折率をn(r)とすると，光の位相速度はu(r) =c/n(r)であり，場Ψに対する波動方程式
(
∇2− 1 u2
∂2
∂t2 )
Ψ = 0 はψに対するHelmholtz方程式
∇2ψ+ (ω
u )2
ψ= 0
を意味する．ところで一般に任意の複素数ψ(r)は，絶対値a(r)と位相ϕ(r)を用いて ψ(r) =a(r)eiϕ(r)
と表され，このとき上のHelmholtz方程式から
∇2a−a{(∇ϕ)2−(ω/c)2}+ia∇2ϕ+ 2i(∇a)·(∇ϕ) = 0 (21) が得られる．ここまでは波動光学において常に成り立つ関係である．
上式(21)の確認
∇2ψ=∂k∂k(aeiϕ) =∂k{(∂ka+ia∂kϕ)eiϕ}
={∂k∂ka+i(∂ka)(∂kϕ) +ia∂k∂kϕ+ (∂ka+ia∂kϕ)i∂kϕ}eiϕ
={∇2a+ 2i(∇a)·(∇ϕ) +ia∇2−a(∇ϕ)2}eiϕ による．
ここからは幾何光学の極限を考える．繰り返しになるが，もし空間の小さい領域では電磁波を平面波と見な すことができれば，波面に垂直な波の伝播方向を考えることができ，光線を導入することができる．そのため には波の振幅と伝播方向とが，波長程度の距離にわたっては実際上一定であることが必要である．逆に言え ば，この意味で幾何光学は波長の短い極限λ→0における近似的な取り扱いであることになる．実際，小さ い空間領域では
ϕ(r) =ϕ(r0) +k·(r−r0), k=∇ϕ
と近似できる．そこでこの式によってϕ= const.の同位相面(波面)に垂直な波数ベクトルkを導入し，また ここから波長λ= 2π/|k|を定義すると，このλが考えている空間スケール──スリットの幅や屈折率n(r) が大きく変化する距離──に比べて十分小さければ良い．さらに波長程度の距離にわたって振幅が大きく変化 しないという仮定λ2|∇2a| ≪ |a|により，上式(21)の実部をとると近似的に
(∇ϕ)2= (ω
c )2
(22) が得られる．これもアイコナール方程式と呼ばれる[12, pp.370–371]．
■Hamilton方程式(p.148，l.11)について Hamilton方程式が成り立つのは，相対性理論でもラグランジア
ンのLegendre変換によってハミルトニアンが定義され，またLagrange方程式が成り立つことに変わりない
ため．実際ハミルトニアン(16.8)に対してHamilton方程式が正しい結論を与えることを以下のようにして 確かめられる．正準運動量P を用いてHamilton方程式の1つx˙α=∂H/∂Pα(ドットは座標時間tによる 微分)は
˙
xα= c2(
Pα−ecAα
) 2
√
m2c4+c2(
P −ecA)2 = pα/m
√1 +u2
となる(u≡(u1, u2, u3), uα≡ 1cdxdτα)．非相対論的力学で対応する式は運動量の定義にすぎなかったように，
これは4元運動量(の空間成分)の定義にすぎない．このことは粒子の速度と4元速度(の空間成分)の関係が 次のように書き換えられることから分かる．
u2
1 +u2 = v2
c2 かつ u∥v, ∴ uα
√1 +u2 =vα c . u2 → ∞となり得るから1/√
1−u2 でなく 1/√
1 +u2 が現れるのはむしろ好ましい．次にもう一方の Hamilton方程式−P˙α=∂H/∂xαを書き下す．この際
√
m2c4+c2(
P −ecA)2
は力学的運動量だけの関数 であって正準運動量だけの関数ではないので，位置で微分すると消えると考えてはいけない．この項の微分を 処理するのに上式が有用である．
−P˙α=−p˙α−e
c∂tAα−e
cx˙β∂βAα,
∂H
∂xα
=c2(
−ec∂αAβ) (
Pβ−ecAβ)
√
m2c4+c2(
P−ecA)2 +e∂αϕ= (−e
c∂αAβ
)×c uβ
√1 +u2 +e∂αϕ=−e
cvβ∂αAβ+e∂αϕ,
∴p˙α=e
(−∂αϕ−e c∂tAα
) +e
cvβ(∂αAβ−∂βAα) =e (
E+v c ×B
)
α
.
■Maupertuisの原理(p.149，l.17)について ∂S→δSと訂正する．『力学』§ 44参照[2, pp.178–180]．
■Fermatの原理(53.12)について あくまでこれはMaupertuisの原理からの類推として導かれているが，以
下のように波動光学に基づき厳密に証明することも可能である[12, pp.372–373]． アイコナール方程式(22)は空間変数を
(dξ,dη,dζ) = ω
u(r)(dx,dy,dz) とリスケールすると， (
∂ϕ
∂ξ )2
+ (∂ϕ
∂η )2
+ (∂ϕ
∂ζ )2
= 1 となる*21．この方程式は
ϕ=αξ+βη+γζ (α2+β2+γ2= 1)
という形の解を持ち，これはϕを一定とおくと，(ξ, η, ζ)空間において一定値ϕに応じて得られる互いに平行 な一連の平面群を表す．しかるにϕが一定の面は波面を表し，それに垂直な方向が波の伝播方向を与えるか ら，(ξ, η, ζ)空間における光線は直線となる．
*21変数(ξ, η, ζ)は無次元である．
直線は2点P,Qを結ぶ径路の長さ
∫ Q P
dσ (dσ=√
dξ2+ dη2+ dζ2)
が極値(停留値)をとる曲線として与えられる．(ξ, η, ζ)空間の長さは対応する実空間の長さ dl=√
dx2+ dy2+ dz2 とdσ= u(r)ω dlで関係付けられているので，長さ∫Q
P dσは定数係数ωの違いを除けば，光が実空間において 軌道をたどるのに要する時間 ∫ Q
P
dl u(r)
になっている．よって光は与えられた2点を結ぶ径路のうち，所要時間が最小となる径路を通る．これは
Fermatの原理に他ならない．こうしてFermatの原理は「原理」の地位を剥奪される．
§ 54 ．光の強度
光線自身は各点で光の伝播方向を与えるだけである．そこで§ 54では光の強度の空間的な分布を考える．
これについて考察を補いつつまとめよう．以下では光線を直線によって近似できるような短い距離を考える．
図32のように光線AB上の点Oにおいて光線を切る波面を考えると，点Oにおける主曲率半径R1, R2が定 まる．対応する曲率中心O1,O2は波面上の線素ac,bdを主曲率円に持つ中心であり，それ故−−→
O1O,−−→
O2Oは 点Oにおいて波面と直交するから，曲率中心O1,O2は光線AB上にある．また波面上の線素ac,bdは円弧 によって近似されるので，−−→
O1a,−−→
O1c,−−→
O2b,−−→
O2dは波面に直交し，光線を表すことになる．そこで光線を延長 し，半直線O1a,O1c上にO1から等距離R′1にある2点a′c′を，円弧a′c′がAB上の点O′を通るようにと り，半直線O2b,O2d上にO2から等距離R′2にある2点b′d′ を，円弧b′d′がやはりAB上の点O′を通る ようにとる．このとき弧a′c′，弧b′d′は光線に直交するから波面上にあり，その作り方から点O′における曲 率中心は元の波面と共通のO1,O2になる．
よって与えられた微小な中心角aO1c,bO2dを成す光線によって限られる波面の面積は，光線に沿って進む につれてR1R2に比例して変化する．故に強度(単位面積当たりのエネルギーの流れ)は
I= const R1R2
であり，これは場の絶対値の2乗によって決まるから，場自体の光線に沿っての変化は f = const
√R1R2
eikR1 = const
√R1R2
eikR2 (23)
と書ける(第2の等号は曲率中心の間の距離R1−R2が定数だから)．これは光線上の異なる点(例えばOと O′)での場の強度の比較に用いられるものであり，1つの波面の上での異なった点における強度の比較には用 いることができない．
一本の光線ABについて，AからBに向かって光が進むとき，R1= 0, R2= 0となる曲率中心O1,O2で 強度は無限大になる．このような点のすべての光線に関する集合は一般に2つの面を形成する．そのような面 を火面と呼ぶ．光がBからAに向かって光が進み，曲率中心が光線を発する光学系よりも手前にくる場合に は，曲率流心の集合として定義される面を虚火面という．
図32 1本の光線に沿う波面の面積変化(教科書の図7(p.150)を改変)
火面上で強度が無限大になることは，確かに実際，火面上では強度が大きくなるけれど，火面の近くでは幾 何光学の近似を適用できないことを意味する．このことに関連して，場の式(23)は火面を含まない部分でし か適用できず，光線が火面を通過するときには場の位相はπ/2だけ減少することを§ 59において示す．
§ 54 について
■球面波に対する式(54.3)について 式(54.3)を得るまでの議論をまとめると，波面の面積はR2に比例し て拡がるため，波面上で場の持つエネルギーが一定であることを要求すると，単位面積あたりのエネルギーは 1/R2に従って薄まり，場の振幅は1/Rの距離依存性を持つことになる．逆に後で見る波動方程式の球面波解 (62.7):ϕ= χ(t∓RR/c) はエネルギー保存則の要請を満たしている．
§ 55 ．角アイコナール
光線が任意の透明物体(光学系と呼ぶ)を通り抜ける場合にも，物体の内部を伝播している光線に対して幾 何光学を適用できるということを仮定するだけで，光線の方向の変化に関しては一般的な法則を導くことがで きる．
決まった振動数ωを持つ光のアイコナールψ =−ωt+ψ0(r)に対してアイコナール方程式は(∇ψ0)2= ω2/c2を与える(§ 53)．よって ω/cψ0 →ψとアイコナールを再定義すると
(∇ψ)2= 1 となる．
次に2点r,r′を通る光線を考え(図33参照)，光線上の点r,r′の位相差(光学距離と呼ぶ)としてψ(r,r′) を導入すると，これも上式と同じ関係を満たさなければならないことから，
(∇ψ)2= 1, (∇′ψ)2= 1
となる(∇≡∂/∂r,∇′ ≡∂/∂r′)．よって2点r,r′における光線方向のベクトルn=−∇ψ,n′=∇′ψは単 位ベクトルである．
4つのベクトルr,r′,n,n′の関係を得るために，rとr′の関数ψに対するLegendre変換 χ=n′·r′−n·r−ψ
図33 2点r,r′を通る光線
によりnとn′の関数χを導入する．関数χ(n,n′)は角アイコナールと呼ばれる．すると dψ=−n·dr+n′·dr′, 関数ψに対する付加条件 (∇ψ)2= (∇′ψ)2= 1
⇒ dχ=−r·dn+r′·dn′, 独立変数n,n′に対する条件 n2=n′2= 1 (24) となる．いまや条件n2 =n′2= 1はn,n′の独立な成分がそれぞれ2つであることを表しているにすぎず，
関数χには付加条件が課せられない．そこで独立変数をny, nzおよびn′y, n′zに選べば，上式(24)は求める r,r′,n,n′の間の関係
y−ny
nx
x=∂χ
∂ny
, z−nz
nx
x= ∂χ
∂nz
(25) y′−n′y
n′x
x′= ∂χ
∂n′y
, z′−n′z
n′x
x′= ∂χ
∂n′z
(26) を与える．与えられたn,n′に対して式(25)は光学系を通り抜ける前の，式(26)は光学系を通り抜けた後の 光線を表す．
§ 55 について
■「n=−∂ψ/∂r」(p.152一番下)の負号について 位置rをn方向に移動すると，2点r,r′間の光学距離 ψは減少することによる．あるいは
ψ(r,r′) =ψ(r′)−ψ(r) ⇒ n=∂ψ(r)
∂r =−∂ψ(r,r′)
∂r .
■dχの式(p.153下から4行目)について ny, nzの変化dny,dnzに伴うnxの変化は dnx= d
√
1−ny2−nz2=−nydny+nzdnz
√
1−ny2−nz2
=−nydny+nzdnz nx
である．
§ 56 ．細い光束線
1つの同じ点を通過する光線束は共心であると言われる．共心光束は光学系を通過した後では一般に共心で なくなる．しかしある直線(光軸と呼ぶ)の近くを進むような十分細い(すなわち開きの角度が小さい)共心光 線束は，近似的に共心光束へ移る．
軸対称な光学系を考える．このとき対称軸は光軸であることが分かる：
光学系が軸対称 → 対称軸に沿って進む光線束の波面が軸対称
→ 波面の主曲率半径R1=R2 → 曲率中心O1= O2：共心 → 対称軸は光軸．
光軸をx軸に選ぶと
nx≃1, n′x≃ {
+1 (レンズに対して)
−1 (鏡に対して)
であり，ny, nz, n′y, n′zの大きさは1に比べて小さい．角アイコナールのny, nz, n′y, n′zによる展開は，2次 の項までとると，光軸周りの回転に対して不変な形
χ= const +g
2(ny2+nz2) +f(nyn′y+nzn′z) +h
2(n′y2+n′z2) を持つ．このとき角アイコナールに対する式は
式(25) ⇒ ny(x−g)−f n′y=y, (27) nz(x−g)−f n′z=z, (28) 式(26) ⇒ f ny+n′y(x′+h) =y′, (29) f nz+n′z(x′+h) =z′ (30) となる．これら4つの式が独立であれば4変数ny, nz, n′y, n′zが1通りに決まるため，始点と終点を結ぶ光 線は1本しか得られない．よって光線の始点r= (x, y, z)を共心光線束の発せられた点，終点r′ = (x′, y′, z′) をすべての光線の交わる点にとったとき，これらを結ぶ光線束が得られるためには，ny, n′yに対する式(27) の両辺を定数倍して式(29)が，nz, n′zに対する式(28)の両辺を定数倍して式(30)が得られれば良い．すな わち
x−g
f =− f x′+h = y
y′ = z
z′, ∴(x−g)(x′+h) =−f2. (31) これは像と物体の座標が満たさなければならない関係であり，
像の位置 x′ =−h (主焦点) ⇒ 光源の位置は |x|=∞ (平行光線)， 光源の位置 x=g (主焦点) ⇒ 像の位置は |x′|=∞ (平行光線)． ここから縦倍率，すなわち物体の要素dxと対応する像の要素dx′の比は
dx′ dx
= (y′
y )2
となり，横倍率y′/yに一致しない(→幾何学的に相似な像は得られない)．
主焦点の位置を原点とした物体と像の座標X =x−g, X′ =x′+hを用いると，式(31)は XX′=−f2, Y′
Y =Z′ Z = f
X =−X′ f