電気伝導度，および磁気伝導度に対する量子補 正効果正効果

電気伝導度に対する量子補正の効果δσ(0)は図4.5.1(a)^{は以下で与えられる．}

δσ₍₀₎(L) = e²ℏ 2π

∑

k

˜

v_αω^x (k)˜v_ξβ^x (−k)G^R_α(k)G^R_β(−k)G^A_ω(k)G^A_ξ(−k)∑

q

Γ^αβ_ξω(k,k,q) (4.5.1)

4.5 電気伝導度，および磁気伝導度に対する量子補正効果 73

n’

m’

n m

図4.4.2 Γˆの行列表示．qの角度積分後に有限に残る成分を黒塗りで表した．白塗りの

成分はゼロを表す．

Γ

+

Γ

+

Γ

(a) (b) (c)

α

ω ξ

β

α’

α

ω ξ

β β’

α

ω ξ

β

ξ’

ω’

図4.5.1 電気伝導度の量子補正効果を表すダイアグラム．黒塗りの三角形のダイアグ

ラムはバーテックス補正を表す．(a)最低次のクーペロンによる電気伝導度の量子補正

δσ(0)．(b)(c)クーペロンに対する二次の不純物散乱の効果を取り入れたダイアグラム．

それぞれ式(4.5.17)，式(4.5.18)に対応する．

以下フェルミエネルギーが伝導帯にかかっているときを考える．EFτ ≫ 1^{が満たされて} いる場合はα, β, ξ, ω ={1,2}以外の成分は無視できる．価電子帯の場合も同様である．グ リーン関数に関する波数積分∑

k =⟨ρ0

∫dEk⟩Fについて，エネルギー積分は先に取ること ができて，

ρ0

∫

dEkG^R_α(k)G^R_β(−k)G^A_ω(k)G^A_ξ(−k) = 4πρ0τ³ (4.5.2) となる．角度積分については式(4.3.3)^{を考慮に入れると，式}(4.5.1)^において(α, β, ξ, ω) = (1,1,1,1)^および (α, β, ξ, ω) = (1,2,2,1) のときを考えればよい．式 (4.4.3) ^{において，}

74 ^第4章 スピン軌道結合格子におけるスピン緩和長の評価 k1→k^，k2→ −k^，q→0^{として，式}(4.5.1)^{に代入すると，}

δσ₍₀₎(L) = e²ℏ 2π

∑

k,q

˜

v_αω^x (k)˜v_ξβ^x (−k)G^R_α(k)G^R_β(−k)G^A_ω(k)G^A_ξ(−k)

× ⟨β,−k|n⟩ ⟨ω,k2|n^′⟩ ⟨m|α,k⟩ ⟨m^′|ξ,−k⟩Γ^mn_m′n^′(q) (4.5.3) となる．さらに変形すると

δσ(0)(L) = e²ℏ 2π

∑

q

ρ0

∫ dEk

1 2π

∫

dϕ v˜_αω^x (k)˜v^x_ξβ(−k)G^R_α(k)G^R_β(−k)G^A_ω(k)G^A_ξ(−k)

× ⟨β,−k|n⟩ ⟨ω,k2|n^′⟩ ⟨m|α,k⟩ ⟨m^′|ξ,−k⟩Γ^mn_m′n^′(q) (4.5.4) となる．式(4.5.2)を用いると以下のようになる．

δσ₍₀₎(L) = e²ℏ

2π 4πρ0τ³∑

q

1 2π

∫

dϕ v˜^x_αω(k)˜v^x_ξβ(−k)

× ⟨β,−k|n⟩ ⟨ω,k2|n^′⟩ ⟨m|α,k⟩ ⟨m^′|ξ,−k⟩Γ^mn_m′n^′(q). (4.5.5) 次に以下のk^の角度ϕに依存する部分の角度積分，Ξ^{について考える．}

Ξαβξω= 1 2π

∫

dϕv˜_αω^x (k)˜v_ξβ^x (−k)⟨β,−k|n⟩ ⟨ω,k2|n^′⟩ ⟨m|α,k⟩ ⟨m^′|ξ,−k⟩Γ^mn_m′n^′(q).

(4.5.6) (α, β, ξ, ω) = (1,1,1,1)^のとき，

Ξ1111 =− 1

2N⁸γ²Y⁶Γ⁴⁴₄₄+1

2N⁸γ²Y⁶Γ⁴⁴₃₃+1

2N⁸γ²Y⁴Γ¹⁴₂₃− 1

2N⁸γ²Y⁴Γ⁴⁴₂₂ + 1

2N⁸γ²Y⁴Γ⁴⁴₁₁−1

2N⁸γ²Y⁴Γ¹⁴₄₁+1

2N⁸γ²Y⁶Γ³³₄₄+ 1

2N⁸γ²Y⁴Γ²³₁₄

− 1

2N⁸γ²Y⁶Γ³³₃₃−1

2N⁸γ²Y⁶Γ³³₂₂−1

2N⁸γ²Y⁴Γ²³₃₂− 1

2N⁸γ²Y⁴Γ³³₁₁

− 1

2N⁸γ²Y⁴Γ²²₄₄−1

2N⁸γ²Y⁴Γ³²₂₃+1

2N⁸γ²Y⁴Γ²²₃₃− 1

2N⁸γ²Y²Γ²²₂₂ + 1

2N⁸γ²Y⁴Γ³²₄₁+1

2N⁸γ²Y²Γ²²₁₁−1

2N⁸γ²Y⁴Γ⁴¹₁₄+ 1

2N⁸γ²Y⁴Γ¹¹₄₄

− 1

2N⁸γ²Y⁴Γ¹¹₃₃+1

2N⁸γ²Y⁴Γ⁴¹₃₂+1

2N⁸γ²Y²Γ¹¹₂₂− 1

2N⁸γ²Y²Γ¹¹₁₁. (4.5.7)

4.5 電気伝導度，および磁気伝導度に対する量子補正効果 75 (α, β, ξ, ω) = (1,2,2,1)^のとき，

Ξ1221=− 1

2N⁸γ²Y⁶Γ⁴⁴₄₄−1

2N⁸γ²Y⁶Γ⁴⁴₃₃−1

2N⁸γ²Y⁴Γ¹⁴₂₃+ 1

2N⁸γ²Y⁴Γ⁴⁴₂₂ + 1

2N⁸γ²Y⁴Γ⁴⁴₁₁−1

2N⁸γ²Y⁴Γ¹⁴₄₁−1

2N⁸γ²Y⁶Γ³³₄₄− 1

2N⁸γ²Y⁴Γ²³₁₄

− 1

2N⁸γ²Y⁶Γ³³₃₃+1

2N⁸γ²Y⁶Γ³³₂₂−1

2N⁸γ²Y⁴Γ²³₃₂+ 1

2N⁸γ²Y⁴Γ³³₁₁ + 1

2N⁸γ²Y⁴Γ²²₄₄−1

2N⁸γ²Y⁴Γ¹⁰₇ +1

2N⁸γ²Y⁴Γ²²₃₃− 1

2N⁸γ²Y²Γ²²₂₂

− 1

2N⁸γ²Y⁴Γ³²₄₁−1

2N⁸γ²Y²Γ²²₁₁−1

2N⁸γ²Y⁴Γ⁴¹₁₄+ 1

2N⁸γ²Y⁴Γ¹¹₄₄ + 1

2N⁸γ²Y⁴Γ¹¹₃₃−1

2N⁸γ²Y⁴Γ⁴¹₃₂−1

2N⁸γ²Y²Γ¹¹₂₂− 1

2N⁸γ²Y²Γ¹¹₁₁. (4.5.8) 式(4.5.7)^と式(4.5.8)^{の和を取ると，}

Ξ1111+ Ξ1221 =N⁸γ²Y⁴Γ¹⁴₄₁+N⁸γ²Y⁴Γ⁴⁴₁₁+N⁸γ²Y⁴Γ⁴¹₁₄−N⁸γ²Y⁶Γ³³₃₃ +N⁸γ²Y⁴Γ¹¹₄₄−N⁸γ²Y⁴Γ³²₂₃−N⁸γ²Y⁴Γ²³₃₂−N⁸γ²Y⁶Γ⁴⁴₄₄

−N⁸γ²Y²Γ²²₂₂−N⁸γ²Y²Γ¹¹₁₁+N⁸γ²Y⁴Γ³³₂₂+N⁸γ²Y⁴Γ²²₃₃

=N⁸γ²Y²(Γ¹¹₁₁+ Γ²²₂₂) +N⁸γ²Y⁶(Γ³³₃₃+ Γ⁴⁴₄₄) +N⁸γ²Y⁴(Γ¹¹₄₄−Γ¹⁴₄₁−Γ⁴¹₁₄+ Γ⁴⁴₁₁)

+N⁸γ²Y⁴(Γ²²₃₃−Γ²³₃₂−Γ³²₂₃+ Γ³³₂₂) (4.5.9) となる．ここまでの計算で残ってきたΓ^{の成分について}Wolffハミルトニアンの基底の表示 (^付録B^参照)^{で見ると，}

Γ¹¹₁₁+ Γ²²₂₂=⟨c↑c↑|Γˆ|c↑c↑⟩+⟨c↓c↓|Γˆ|c↓c↓⟩ (4.5.10) Γ³³₃₃+ Γ⁴⁴₄₄=⟨v↑v↑|Γˆ|v↑v ↑⟩+⟨v↓v↓|Γˆ|v↓v↓⟩ (4.5.11) Γ¹¹₄₄−Γ¹⁴₄₁−Γ⁴¹₁₄+ Γ⁴⁴₁₁ =⟨c↑v↓|Γˆ|c↑v↓⟩ − ⟨v↓c↑|Γˆ|c↑v↓⟩

− ⟨c↑v↓|Γˆ|v↓c↑⟩+⟨v↓c↑|Γˆ|v↓c↑⟩

= (⟨c↑v↓| − ⟨v↓c↑|)ˆΓ(|c↑v↓⟩ − |v↓c↑⟩) (4.5.12) Γ²²₃₃−Γ²³₃₂−Γ³²₂₃+ Γ³³₂₂ =⟨c↓v↑|Γˆ|c↓v↑⟩ − ⟨v↑c↓|Γˆ|c↓v↑⟩

− ⟨c↓v↑|Γˆ|v↑c↓⟩+⟨v↑c↓|Γˆ|v↑c↓⟩

= (⟨c↓v↑| − ⟨v↑c↓|)ˆΓ(|c↓v↑⟩ − |v↑c↓⟩) (4.5.13) となる．したがって，式(4.5.10)^，(4.5.11)^{がバンド内三重項，式}(4.5.12)^，(4.5.13)^がバ ンド間一重項である．表3にクーパー不安定性をもつΓの成分についてまとめた．バンド

76 ^第4章 スピン軌道結合格子におけるスピン緩和長の評価 内三重項とバンド間一重項のみが残るという点は第3章の結果と定性的に等しい．しかし 式(4.5.11)^{を見て分かるように，}|v↑v↑⟩^，|v↓v↓⟩という価電子帯の三重項も発散的な 寄与を与える点が第3^{章の結果とは異なる} (^第3章では発散的な寄与を与えないとして無 視していた)．ただし価電子帯の三重項の寄与は伝導帯の三重項の寄与(^式(4.5.9))^と係数 Y⁴ = (λ−1)²/(λ+ 1)^{2だけ異なる．}Y ^は式(1.3.41)^{を見て分かるように}Wolff^ハミルト ニアンのSOC^項σ·kによる混成の強度に対応する．EF/∆^が1^{よりも大きくなると}SOC の効果によって価電子帯の三重項のクーパー不安定性が誘起される．EF/∆^が1^{に十分近い} ときは伝導帯の三重項が優勢になるため，第3^章の節3.4で行った解析に変更は生じない．

本章の計算のようにすべてのエネルギー固有状態間の遷移を考慮した場合でも，バンド内三 重項|c↑c↓⟩+|c↓c↑⟩，およびバンド内一重項|c↑c↓⟩ − |c↓c↑⟩^は第3^{章と同様に現れ} ない．このことはkz = 0の系に特有の性質であることが示唆される．また式(4.4.95)^，式 (4.4.99)^{で与えられる，}Γ¹¹₂₂^，Γ²²₁₁^，Γ³³₄₄^，Γ⁴⁴₃₃^，Γ¹⁴₂₃^，Γ²³₁₄^，Γ³²₄₁^，Γ⁴¹₃₂^の8^{個は励起ギャップが} ゼロのクーペロンを与えるが，式(4.5.7)^と式(4.5.8)の和を取る過程ですべてキャンセルさ れ最終的には現れない．

表3 クーパー不安定性をもつΓの成分．

三重項 一重項

|c↑⟩ ⊗ |c↑⟩^，|c↓⟩ ⊗ |c↓⟩ |c↑⟩ ⊗ |v↓⟩ − |v↓⟩ ⊗ |c↑⟩^，

|v↑⟩ ⊗ |v↑⟩^，|v↓⟩ ⊗ |v↓⟩ |c↓⟩ ⊗ |v↑⟩ − |v↑⟩ ⊗ |c↓⟩

式(4.5.9)^を式(4.5.5)^{に代入し，}q積分を実行すると，電気伝導度に対する量子補正は，

δσ(0)= e²

2π²ℏβilogℓ⁻₀²+ℓ⁻_i²

L⁻²+ℓ⁻_i² (4.5.14)

となる．ただし

αt =− 2(λ²+ 1)

λ⁴+λ²+ 2, αs = λ²−1 2(2λ²−1) ℓ⁻_t²= Xt

D0τ, ℓ⁻_s²= Xs

D0τ Xt = 2λ²−2

λ⁴+λ²+ 2, Xs= 1 2λ²−1

(4.5.15) とおいた．バンド内三重項，バンド間一重項に比例する寄与をそれぞれt^，s^{とおいた．}D0

は拡散定数で，

D0= v_F²τ

2 = γ²(E_F² −∆²)

2E_F² τ (4.5.16)

4.5 電気伝導度，および磁気伝導度に対する量子補正効果 77 である．クーペロンに対する最低次の補正を加えた，電気伝導度の量子補正効果の表式(^図 4.5.1 (b)^，(c))は以下のように表せる．

δσa= e²ℏ 2π

∑

k,k1,q

˜

v_α^x′ω(k)˜v_ξβ^x ′(−k1)G^R_α′(k)G^R_α(k1)G^R_β(−k)G^R_β′(−k1)G^A_ξ(−k1)G^A_ω(k) Γ^αβ_ξω(q)⟨⟨α,k1|V(r)|α^′,k⟩ ⟨β^′,−k1|V(r)|β,−k⟩⟩imp (4.5.17)

δσb= e²ℏ 2π

∑

k,k1,q

˜

v_αω^x ′(k)˜v^x_ξ′β(−k1)G^R_α(k)G^R_β(−k1)G^A_ξ′(−k1)G^A_ξ(−k)G^A_ω(k1)G^A_ω′(k)

×Γ^αβ_ξω(q)⟨⟨ξ,−k,|V(r)|ξ^′,−k1⟩ ⟨ω^′,k|V(r)|ω,k1⟩⟩imp (4.5.18) δσ(0)と同様に計算を行うとδσt/s,aは

δσt/s,a= e²

2π²ℏηH,t/sαtD0

∫

dq 1

D0q²+Xt/sτ⁻¹ (4.5.19)

ηH,t = λ⁴+ 6λ²+ 1

16λ²(λ²+ 1) (4.5.20)

ηH,s= λ²−1

4λ² (4.5.21)

である．ηH,t，ηH,s はそれぞれバンド内三重項，一重項のクーペロンに対する補正を表す．

またδσ_t/s,b = δσ_t/s,a ^である．ηH,s はλ → ∞ ^で1/4となりグラフェンの結果を再現す る [10, 81, 100]^．図 4.5.2^，4.5.3^，4.5.4^にα^，ηt/s，ℓt/sそれぞれのEF/∆^{依存性をプロッ} トした．αs，αtは一重項と三重項の強さを特徴付けるパラメーターである．第3^章の計算 ではEF/∆∼3で一重項と三重項の強さが等しくなる [53]．すべての状態遷移を取り入れ た場合，EF/∆∼2.5^となり3^{からずれる．}

最終的に磁気伝導度δσ(B) =δσ(0)(B) +δσ(1a)(B) +δσ(1b)(B)^は δσ(B) = e²

2π²ℏ

∑

i

αi(1 +ηH,i)η_v² [

ψ (

1 2 +ℓ²_B

ℓ² +ℓ²_B ℓ²_i +ℓ²_B

ℓ²_ϕ )

−ψ (

1 2 +ℓ²_B

ℓ²_i +ℓ²_B ℓ²_ϕ

)]

(4.5.22) となる．図4.5.5に磁場依存性をプロットした．λ^{を変えることにより}WL-WAL^クロス オーバーが起きる．この結果はこれまでのSOC格子系における理論の結果と定性的に一致 する．

78 ^第4章 スピン軌道結合格子におけるスピン緩和長の評価

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

α

t

, - α

s

20 15

10 5

E

_F

/ ∆ - α

^s

α

^t

図4.5.2 αtとαsのEF/∆依存性．

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

η

t

, η

s

20 15

10 5

E

_F

/ ∆

η

^t

η

s

図4.5.3 ηのEF/∆依存性．

4.5 電気伝導度，および磁気伝導度に対する量子補正効果 79

30 25 20 15 10 5

| l

t

/ l

0

|, | l

s

/ l

0

|

20 15

10 5

E

_F

/∆

l

t

l

s

図4.5.4 ℓsとℓtのEF/∆依存性．

-30x10^-6 -20 -10 0 10 20

δσ(Β)− δσ(0) (e

2

/2 π

2

h

_

)

1.0 0.5

0.0 -0.5

-1.0

B(T) E

_F

/ ∆=1.1 2.0

3.0 5.0

10.0

図4.5.5 電気伝導度の量子補正効果の磁場依存性．EF/∆ = 1.1，2.0，3.0，5.0，10.0 としてプロットした．

80 ^第4章 スピン軌道結合格子におけるスピン緩和長の評価

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0

δσ(Β)− δσ(0) (e

2

/2 π

2

h

_

)

4 2

0 -2

-4

B(T)

l

sf, HLN

=21nm

l

^{sf, Wolff}

=21nm

l

sf, HLN

=10nm

図4.6.1 磁気伝導度のWolffとHLNの比較．Wolffにおいて，ℓϕ= 520nm，ℓ= 15nm， EF/∆ = 20とした．HLNに対しては，ℓϕ= 300nm，ℓ0= 10nm，ℓso= 12nmとした．

ドキュメント内 スピン軌道結合格子における 弱局在の理論 (ページ 86-94)