伝導度に対する量子補正効果

WolffハミルトニアンはSOC効果を相対論的に含む強結晶 SOC系物質の有効模型であ る．今回の計算では簡便性のため等方的な分散をもつ模型を考える．同バンド，同スピン間 の不純物散乱を含んだ二次元の等方的Wolffハミルトニアンは以下のような4×4の行列で 与えられる

HW=H0+V(r) (3.2.1)

H0=

[ ∆ iℏγσ·k

−iℏγσ·k −∆ ]

(3.2.2) ℏ^{は換算プランク定数，}k= (kx, ky)^{は波数ベクトル，}2∆^{はバンドギャップ，}γ^は速度，σ はパウリ行列である．Wolffハミルトニアンの基底は (|c↑⟩,|c↓⟩,|v↑⟩,|v↓⟩)^{である．こ}

3.2 伝導度に対する量子補正効果 41 こでc/v ↑^，c/v↓^はk= 0における伝導帯，価電子帯のスピンを表す( ^厳密には↑^，↓^は時 間空間反転対称性を有するときのクラマース二重項のスピン自由度を表すが本論文では単に スピンと呼ぶ)．不純物ポテンシャルは短距離型を考え，

V(r) =u0

∑

i

δ(r−Ri) (3.2.3)

とする．V(r)はバンドとスピンを変えない対角的なものを考慮する．しかし，電子の固有 状態はSOCによってバンドとスピンがそれぞれ混ざったものとなる．u0は散乱の強さ，Ri

はi番目の不純物の位置を指定する．運動量緩和時間は最低次のボルン近似を考えると ℏ

2τ =π∑

k^′

⟨| ⟨i,k|V(r)|i,k^′⟩ |²⟩impδ(EF −Ek^′)

=πρ0niu²₀λ²+ 1

2λ² (3.2.4)

と求まる．エネルギー固有状態|i,k⟩^は式(1.3.29)-(1.3.32)^{を用いた．}λ= EF/∆^とおい た．ρ0は状態密度，niは単位体積あたりの不純物濃度である．またEF > 0^{と仮定する．}

ここで不純物散乱の過程においてエネルギー固有状態を変えないことを考慮している．なぜ ならば⟨1,k|V(r)|2,k^′⟩ =⟨1,k|V(r)|3,k^′⟩ = 0となるからである．ただし1^から4^への 遷移確率は⟨1,k|V(r)|4,k^′⟩ ̸= 0である．この過程は良い金属の条件，(EFτ ≫1)^が満た されているときには電気伝導度の量子補正効果に対して(EFτ)⁻¹のオーダーとなるため無 視できる．この詳細は後に述べる．

電気伝導度に対する量子補正δσW(L)^{は久保公式より} [32, 43, 71]^， δσW = ℏe²

π

∑

q

Γ(q)∑

k

v^x_kv_q^x_−kG^R_kG^A_kG^R_q−kG^A_q−k

(3.2.5) ただしW^はWolff^を表す．G^{R/Aはグリーン関数で}G^R/A= (EF−Ek±iℏ/2τ)^{−1である．}

Γ(q)^は粒子-粒子間の無限次の不純物散乱を表しており，クーペロンを与える．vkは電子の速 度で，ハミルトニアンの波数微分により，vk =⟨1,k|∂H0/∂k|1,k⟩=γ√

E_k²−∆²/Ekcosϕk

と与えられる．Γ(q)^は以下のBethe-Salpeter^{方程式を満たす．}

Γ(q)kk^′ = Γ⁰_kk′+∑

k^′′

Γ⁰_kk′′G^R_k′′G^A_q−k′′Γ(q)k^′′k^′ (3.2.6) Γ^{0は以下で与えられる．}

Γ⁰_kk′ =⟨⟨i,k^′|V(r)|i,k⟩ ⟨i,−k|^′V(r)|i,−k⟩⟩imp

= 1

2πρ0τ [

γ0+γ1e^{i(ϕ−ϕ′)}+γ2e^{2i(ϕ−ϕ′)} ]

(3.2.7)

42 ^第3^章 スピン軌道結合格子における弱反局在の理論

= +

Γ Γ

i,k i,k’

i,q-k’

i,q-k i, k i, k’

i,q-k i,q-k’

i, k i, k’

i,q-k i,q-k’

i,k’’

i,q-k’’

i,k

i,k i,q-k

i,q-k

Γ

(a)

(b)

図3.2.1 ダイアグラム．(a)電気伝導度に対する量子補正効果，(b)Bethe-Salpeter方程式．

となる．ここで，弾性散乱であること，フェルミエネルギー近傍の波数が重要であることを 用いて，

γ0= 1

1 +X_k⁴_F, γ1= 2X_k²_F 1 +X_k⁴_F, γ2= X_k⁴_F

1 +X_k⁴_F, XkF =

√E_F² −∆²

∆ +EF

(3.2.8)

Nk=Nk^′ =NkF, Xk=Xk^′ =XkF (3.2.9) とおいた．

Γ(q)^がΓ⟨⟨1,k^′|V(r)|4,k⟩ ⟨1,−k|^′V(r)|1,−k⟩⟩impのように異なるエネルギー固有状 態間の行列要素をもつ場合，δσにおけるグリーン関数部分は

ρ0

∫

dEk⟨4,−k|Gˆ^R|4,−k⟩ ⟨1,k|Gˆ^R|1,k⟩ ⟨1,k|Gˆ^A|1,k⟩ ⟨1,−k|Gˆ^A|1,−k⟩= ρ0πiτ² EF

(3.2.10)

3.2 伝導度に対する量子補正効果 43

Γ

1 1

1 2

(i) (ii) (iii)

(iv)

Γ

1

1 1

Γ

1 2

1 2

Γ

2 1

1 1

(vii)

Γ

2

1 2

(viii)

Γ

1 1 1

2

(x)

Γ

1

1 1

(xi)

Γ

3 or 4 1

1 3 or 4

3 or 4

3 or 4

2

(v)

Γ

1 2

1 2

(vi)

Γ

2 2

1 1

(ix)

Γ

3 or 4

1 1

1

(xii)

Γ

1 3 or 4

1 3 or 4

(xiii)

Γ

3 or 4 3 or 4

1 1

(xiv)

Γ

3 or 4 3 or 4

1 3 or 4

図3.2.2 量子補正効果に寄与しないダイアグラム．1∼ 4はエネルギー固有状態|i,k⟩ のiを表す．(i)∼(iii)，(v)∼(vii)速度行列要素によりゼロとなる．(iv)Bethe-Salpeter 方程式の不純物散乱の行列要素(式(3.2.7))によりゼロとなる．(viii)∼(xiv)良い金属が 満たされているとき無視できる．1と2を入れ替えた場合も同様である．

44 ^第3^章 スピン軌道結合格子における弱反局在の理論 となる．この過程は同じ固有状態間の行列要素をもつ場合，

ρ0

∫

dEk⟨1,−k|Gˆ^R|1,−k⟩ ⟨1,k|Gˆ^R|1,k⟩ ⟨1,k|Gˆ^A|1,k⟩ ⟨1,−k|Gˆ^A|1,−k⟩= 4πρ0τ³ (3.2.11) に比べて(EFτ)⁻¹で小さい．同様にしてその他の過程，

ρ0

∫

dEk⟨1,−k|Gˆ^R|1,−k⟩ ⟨1,k|Gˆ^R|1,k⟩ ⟨4,k|Gˆ^A|4,k⟩ ⟨1,−k|Gˆ^A|1,−k⟩=−ρ0πiτ² EF

ρ0

∫

dEk⟨1,−k|Gˆ^R|1,−k⟩ ⟨1,k|Gˆ^R|1,k⟩ ⟨1,k|Gˆ^A|1,k⟩ ⟨4,−k|Gˆ^A|4,−k⟩=−ρ0πiτ² EF

ρ0

∫

dEk⟨4,−k|Gˆ^R|4,−k⟩ ⟨1,k|Gˆ^R|1,k⟩ ⟨1,k|Gˆ^A|1,k⟩ ⟨4,−k|Gˆ^A|4,−k⟩= ρ0πτ E_F² ρ0

∫

dEk⟨4,−k|Gˆ^R|4,−k⟩ ⟨1,k|Gˆ^R|1,k⟩ ⟨4,k|Gˆ^A|4,k⟩ ⟨1,−k|Gˆ^A|1,−k⟩= ρ0πτ E_F² ρ0

∫

dEk⟨1,−k|Gˆ^R|1,−k⟩ ⟨1,k|Gˆ^R|1,k⟩ ⟨4,k|Gˆ^A|4,k⟩ ⟨4,−k|Gˆ^A|4,−k⟩= ρ0πτ E_F² ρ0

∫

dEk⟨4,−k|Gˆ^R|4,−k⟩ ⟨1,k|Gˆ^R|1,k⟩ ⟨4,k|Gˆ^A|4,k⟩ ⟨4,−k|Gˆ^A|4,−k⟩= ρ0πiτ² EF

(3.2.12) はすべて無視できる．また速度行列要素に対して⟨1,k|ˆv|2,k⟩= 0が成り立つことを考慮す ると|1,k⟩^，|2,k⟩が混合する過程も無視できる．図3.2.2に量子補正効果に寄与しないダイ アグラムをまとめた．結果として，異なるエネルギー固有状態間の散乱過程は無視すること ができる．この近似は文献 [76, 93]と本質的に等価である．ただし，Bethe-Salpeter^方程式 を解く過程においては異なるエネルギー固有状態間の散乱過程の寄与も取り込まれる可能性 がある．この効果について第4^{章で議論した．}

Bethe-Salpeter方程式(3.2.6)の解は，式 (3.2.7)と同様にe^{i(nϕ−mϕ′)} に比例した形にな ると考えられる．よって以下のように解を仮定する[76, 93]^．

Γkk^′ = 1 2πρ0τ

∑

n,m

Γnme^{i(nϕ−mϕ′)}, (3.2.13)

Γ⁰_kk′ = 1 2πρ0τ

∑

n,m

Γ⁰_nme^{i(nϕ−mϕ′)}. (3.2.14) Ek積分は

∫

dEkG^R(k^′′)G^A(q−k^′′) = 2πτ

1 +iτv_F^′′ ·q (3.2.15)

3.2 伝導度に対する量子補正効果 45 である．

Γnm= Γ⁰_nm+ ∑

n^′m^′

⟨

e^{i(n′−m′)ϕ′′}

1 +iτv_F^′′ ·q

⟩

F

Γ⁰_nm′Γn^′m (3.2.16)

Πm^′n^′ =

⟨

e^{i(n′−m′)ϕ′′}

1 +iτv_F^′′ ·q

⟩

F

(3.2.17) とおけば，

Γ = ˆˆ Γ⁰+ ˆΓ⁰ΠˆˆΓ (3.2.18) と行列で表すことができる．ただし⟨· · · ⟩Fはフェルミ面における角度平均である．また

Γˆ⁰=



 γ0 0 0 0 γ1 0 0 0 γ2



, (3.2.19)

Π =ˆ



 1− ¹₂Q² −₂ⁱQ+ −¹₄Q²₊

−₂ⁱQ₋ 1− ¹₂Q² −₂ⁱQ+

−¹₄Q²₋ −₂ⁱQ₋ 1−¹₂Q²



 (3.2.20)

および，

Q+=Qx+iQy, Q₋=Qx−iQy (3.2.21) Qx =|vF|cosϕ^′′qx, Qy =|vF|sinϕ^′′qy (3.2.22) とおいた．Γnmについて解くと

Γ00 = αt

(ℓ⁻_t²+q²) (3.2.23)

Γ11 = αs

(ℓ⁻s²+q²) (3.2.24)

ここでℓ⁻_t²= (λ−1)²/(λ+ 1)²αtℓ⁻₀^2，ℓ⁻_s²= 2/(λ²−1)αsℓ⁻₀^{2とおいた．}ℓ0=√

D0τ ^は平 均自由行程，D0=v_F²τ /2 ^{は拡散定数，}vF =γ√

E²_F −∆²/EF はフェルミ速度である．αt

とαs はそれぞれ三重項と一重項のクーパー不安定性の強度を与える重要なパラメータで，

それぞれ

αt= 4

λ²+ 3, αs=− (λ²−1)²

2(λ²+ 1)². (3.2.25)

46 ^第3^章 スピン軌道結合格子における弱反局在の理論 となる．Γ22は発散的な寄与をしないので無視する．またΓnmの非対角成分はq^積分の角 度積分を行うことですべてゼロになる．以上よりクーペロンは

Γ(q) = ℏ

2πρ0τ (Γ00−Γ11) (3.2.26) となる．

ΓnmはΓ(q)kαkβ を多重項の基底で表したときの成分に対応している．q →0^{に対して，}

(⟨kβ| ⊗ ⟨−kβ|)Γ(|kα⟩ ⊗ |−kα⟩)を計算することにより，Γ00∝ ⟨T|Γ|T⟩^とΓ11 ∝ ⟨S|Γ|S⟩ となっていることが分かる．ただし|T⟩ = |c↑⟩ ⊗ |c↑⟩ はバンド内三重項であり，|S⟩ =

√1

2(|c↑⟩ ⊗ |v↓⟩ − |v↓⟩ ⊗ |c↑⟩)はバンド間の一重項である．ここでバンド内三重項とは|c⟩ と|c⟩^もしくは|v⟩^と|v⟩の三重項を意味しており，バンド間一重項とは|c⟩^と|v⟩^の一重項 を意味している．Γ22 はもう一つのバンド内三重項(|v↓⟩ ⊗ |v↓⟩)と対応する．バンド内一 重項 √¹

2(|c↑⟩ ⊗ |c↓⟩ − |c↓⟩ ⊗ |c↑⟩)^{とバンド内三重項の √1}

2(|c↑⟩ ⊗ |c↓⟩+|c↓⟩ ⊗ |c↑⟩)^の 成分をもつクーペロンは現れない．これはkz = 0^のHLN理論においてこれらの一重項と 三重項が現れない理由と同じであると考えられる． Γ(q)kk^′ は|q| ≪ |kF|^{が満たされると} き，q^{のみに依存する．}(^ただしk^′=q−k^とした．)^このときΓ(q)kk^′のk^とk^{′の添字を} 取り除き，Γ(q)kk^′ ∼Γ(q)とすることができる．電気伝導度に対する量子補正(3.2.5)^は，

δσW(L) =−e²ℏ π

∑

q

Γ(q)γ²E_F² −∆²

E_F² ⟨cos²ϕ⟩Fρ0

∫

dEkG^R(k)G^R(−k)G^A(k)G^A(−k)

=− e² 2π²ℏ

(

αtlogℓ⁻_t²+ℓ⁻₀²

ℓ⁻_t²+L⁻² +αslogℓ⁻_s ²+ℓ⁻₀² ℓ⁻s ²+L⁻²

)

(3.2.27) となる．Lは系のサイズである．第一項目がバンド内三重項，第二項目がバンド間一重項で ある．二次元結晶に対して垂直方向に磁場を印可した場合の磁気伝導度は

δσW(B) =− e² 2π²ℏ

∑

i=t,s

αi

[ Ψ

(1 2 +ℓ²_B

ℓ²₀ +ℓ²_B ℓ²_i

)

−Ψ (

1 2+ ℓ²_B

ℓ²_ϕ + ℓ²_B ℓ²_i

)]

(3.2.28) となる．ℓϕ は位相緩和長である．二電子対の磁気的長さを ℓB = √

ℏ/4eB ^{とおいた．図} 3.2.3に磁気伝導度の磁場依存性をプロットした．EF/∆∼1のときは弱局在を示し，EF/∆

が十分大きいときは弱反局在がおきる．B →0の極限ではディガンマ関数の漸近展開より，

式(3.2.28)^は

δσW(0)∼ − e² 2π²ℏ

∑

i=t,s

αilogℓ⁻₀²+ℓ⁻_i²

ℓ⁻_ϕ²+ℓ⁻_i² (3.2.29) となる．δσW(0)^はδσW(L)^においてL→ ℓϕ と置き換えたものに等しい．EF の変化によ るWL^からWALへのクロスオーバーは以下に示すようにバンド内三重項(αt)^{とバンド間}

3.3 WAL^{領域における}σWとσHLNの比較 47

2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5

1.0 0.5

0.0 -0.5

-1.0

0 2

/

_B²

=1.01 2.0

4.0 6.0

8.0

10.0

∆ σ

W

( B ) ^E

^F

^{/ ∆}

図3.2.3 ∆σW(B)の磁場依存性．∆σ(B) = [δσ(B)−δσ(0)]/(e²/2π²ℏ)とした．λを 変えて，それぞれプロットした．ℓ0/ℓϕ =0.1とした．

一重項(αs)の関係によって理解することができる．図 3.2.4 ^にαtと−αs の大きさのEF

依存性をプロットした．EF ≲Ec のときαt は−αsよりも大きくなる．すなわち電気伝導 度の量子補正効果は正となりWL^{が生じる．しかし}EF ≳Ecのときαsは−αtよりも大き くなり，結果としてWAL^{が生じる．この性質は}HLN理論によって説明される希薄SOC 系におけるWALとは明らかに異なる振る舞いである．

48 ^第3^章 スピン軌道結合格子における弱反局在の理論

0.8

0.6

0.4

0.2

10 8

6 4

2

α

t

, − α

s

− α

s

α

_t

E

_F

/ ∆

図3.2.4 αtと−αsのλ=EF/∆依存性.

ドキュメント内 スピン軌道結合格子における 弱局在の理論 (ページ 54-62)