(3.42) であり， 非線形項の各引数は
3.7 逐次近似法
本研究では， 初期たわみを有する補強板の非線形振動問題を， 固有振動数の振 幅依存性を明らかにするため， 固有振動数を振幅の項で表す逐次近似法による近 似解に基づいて検討する. この逐次近似法は1自由度系の非線形常微分方程式の 近似解法であるので， 振動変位w を式(3.39) ， すなわち
w(� ，η， r) = Amn( T) Zmn [Xmn( � ，η) + kmnXnm( � ，η) ] (3.48)
の一項モードの形で表す必要がある. この振動変位に対するモード方程式は， こ れまでと同じ手順を踏襲して直接求めることもできるが， ここでは式(3.46)で
m=M=K=i三m， n=N=L=j三n
とおいて， 多自由度系の非線形常微分方程式を
4 r
一一
7C� I
qlIlnAlIln，τr+
一I {hmn + 1 K mn B + ( 1μmn+A・1V mn ) B 2 } AlIln 1 + p l
一一 一-2
?- � I
+ {2KlIln + (2μIIIn+A・2VlIln) B } Z川mn+ (3μmn+A・3 um)zLXm : | = 0
(3.49)
(3.50) のような1自由度系の非線形常微分方程式に書き換える. ただし， 上式の各係数
は付録Wに示しである. この非線形自由振動に対する式(3.50)はだ円積分を用い て解くことができるが， その解は一般的にきわ めて複雑であり， 数学的厳密性は 別として非線形振動問題を物理的に吟味するのに適当でない. したがってここでは， モード方程式(3.50)を逐次近似法で解くことにする.
ところで， 初期たわみを有する補強板が大振幅曲げ振動を行う場合には， その モード方程式は式(3.50)からわかるように振動変位AlIlnの2乗の項と3乗の項を 含んでいる. このうちAlIlnの2乗の項は復元力を非対称とするため， 図3.1に示 すように，初期たわみのたわみ線から曲率の増加する方向への振幅五1と減少する 方向への振幅A2とでは， その大きさが異なったものとなる. そこでここでは，
- 56
-振動変位Amn(r)を曲率の減少する方向への振幅五2のべき級数で展開し
Amn( 0) = - A2 ， Amn，τ(0 ) = 0 (3.51)
の初期条件のもとで逐次近似法を使用して解けば， 式(3.50)の近似解は次のよう になる80) なお， その解法については付録VIに示しである.
r 1 � '). 1 ') - -:> ，21 25
Amn( r)= I l - ーμ1A22+一μ12A23+( 一μ1μ2+一μ13)A24
2'
-3' - - ' 32 ，. . ，-- L ' 48 r- � ， � 4 L.
+ 5
qt
一A
a『 μ 「O-no nL-nd
q，ι μ
つ'-μ Qυ-A nL-nL
I
-;-I ]
ーっ1 29 ."
�-:> . ， 35 119
+ I l -A2+ーμ1A22ー(一一μ2+ーμ12)A23+(一一μ1μ2+ - 3 - - 32' - 1 44 ' . ， -- � ， 96 "" ' 1.. ' 432 �== J.1. 13)A24 ζ
一 (. �� . μ22 一 一一μ1 μ2+一一一μ14)A2J+……I cos(w*τ) 1607 2 7103 - 5 )
1024
-2304' - .
-20736 ' . ， - - L ' J
+ f :，μ1L l Ö 2- iμ12A23+( ーら1μ2+三μ1 9 3 ' - . - 9 3)玄 24
一 ( -iμ12μ2+三μ14)X25+ 9 - 27 ' - ， - J | 州 2w*r) r ， 1 1 �.- � . 1 ]
+1 -(一μけー μ12)A23+(-ーμ1μ2+ーμ13)玄24
し
32 . - 48 ' - ， - ，
32 ' - ， - 48
I 3 .. 2 I 11 2 . I 31 4， -:- 5 ， )
一(一一 128' - 一 μ2-+一一μ1 μ2+一一μ1")A2J+……I cos( 3ω*r) 384' - ，
-576 " ' - - L ' J
+ r ( 1"\:μ1μ2+土μ13)A24ー( 土μ12μ2+土μ14)A25+・ ・…I cos(
し96-
432' - .-
' 72'- ， -
648 '. ， - - _ J 4 w * r )
+ 1一 l ( _ 1 . . _ μ22+ _5 _ μ12μフ+ _5 μ〆)L 5+ )
1024 . 2304 . - ， - 20736' " ι l cos( 5ω*r) +…・
(3.52)
ηー 戸hu
Amn(τ)
図 3 .1 曲率の増加方向への振幅Alと減少方向への振幅A2
ただし， μ1とμ2は
{2Xllm+(2μ図n+A .2Vllm)}ZmnB
μ1=
h国n+1X回n B + (1μmn+A.1Vmn)B2
(3.53) (3μmn+ A・3Umn)z ; n
μ2 =
h mn + 1 X mn B + ( 1μmn十A.1vmn)B2
とおいた. そしてこのとき， 非線形固有振動数ω と線形固有振動数ωとの比， す
*
なわち振動数比ω*/ωは， 、 * (
ー ω = I I 1
+ {. v 三
μ2一二(μ1 f} A2 一{v . .2 . -:-2 L
hh-i
(μ 1 )3 }玄2 3ω L . 4 . - 6 " -. - - . 2 . - . - 9
2
_ 185. .2 235 . . 4 . - 4 �
1/2 + {一一一 (μ2r
+一一(μ1)μ2 一 一一(μ1f} A2 -'-……|128-- -- 96 - - - - -
-288-- - - -
-J
(3.54)
で近似的に表され， 本式により無次元非線形固有振動数ω本が
:;*=Zx(ω*/ω)
no rhu
7r2
I一-p ) -J hmn + 1 K mn B + ( 1μmn+ A・1Vmn) B2 qmn( 1 +戸) .
(
一一αJ ) αJ
(3.55)
と求められる.
ところで， 式(3.54)が本論文で取り上げた補強板の非線形振動問題にも適用可 能なためには， 式(3.52)の近似が適切であることが必要となる. そこで式(3.52) で得られる振動波形を， 1階常微分方程式の数値解法として最も一般的に採用さ れる Runge-Kutta-Gill 法によりモード方程式(3.50)を初期条件(3.51)のもとで 計算した結果と比較したものが図3.2 である. 本図には一例として， 伸び剛性比 αs-αr = 0.5， 曲げ剛性比βs-βr= 10 ， ねじり剛性比βsr= 20の両面対称二方
向補強板がB=2の初期たわみを有するとして， 振幅A2がA2=2の基本振動の場 合について求めた振動波形を示している. この 図で，実線の振動波形は式(3.52)で
A2の5乗の項までとって計算したものであり， 破線の波形はモード方程式(3.50) をRunge-Kutta-Gill法で計算して求めたものである. ただし， 式(3.52)の中の無
一一
*
.. ，... ""， ...... *
次元非線形固有振動数ω は， 振動数比ω/ωを式(3 . 54)でA2の4乗の項までと
って計算し， その値を式(3.55)に代入して求めた. これら両者の振動波形は振幅，
周期共に非常によく一致し， 式(3.52)の近似は補強板の非線形振動問題に対して も適切であり， 同時に式(3.54)の振動数比ω*/ωは玄2の4乗の項までとれば，
補強板の非線形振動問題にも十分適用できると考えられる.
QU Fhu
r--.
-2
ド
I<{
'-ノ，，_
-2
ド
I<{ -1
α5-αr・ 0 . 5 ， β 5= βパ0 ， β 5r圃 20
つυ
。
2
(δ ) トイovable
一一一-
Eq.(3.52)
一一一一-RKG
つd
。
2 (b) Immovable B=23入=1
図 3 .2 板中心点の振動波形
(両面対称二方向補強板の基本振動)