結 言

一..._

-多宮

³

主主 王里言命角卒本斤字去

3.1 緒 言

本章では， 第2章で得られた基礎式を無次元化して一般的な非線形自由振動を 解析するためのモード方程式を誘導するととも に， 非線形問題の近似解法の一つ である逐次近似法について述べる.

そこでまず，平面弾性問題で用いられるA iryの応力関数を導入して， 運動方程 式とひずみの適合条件式を振動変位と応力関数による無次元の連立偏微分方程式 で表す. 次に， 振動変位を周辺固定の面外境界条件を満足する多項モードの形で 近似して， この振動変位と与えられた形状の初期たわみの式をそれぞれ適合条件 式に代入し， 面内境界条件を適用して適合条件式の一般解， すなわち応力関数を 求める. そしてこの応力関数， および初期たわみと振動変位のたわみ関数を運動 方程式に代入してG alerkin法を適用し， 多自由度系の連立非線形常微分方程式 の形のモード方程式を誘導する. 線形振動問題では， 振幅の非線形項は無視でき るのでモード方程式を連立線形常微分方程式に書き換え， さらに非線形振動問題 に対しては， 固有振動数の振幅依存性を解析式の形で明示するため， モード方程 式をl項モード近似による1自由度系の非線形常微分方程式に変換して逐次近似 法を使用する.

ところで， 初期たわみを有する補強板が大振幅振動を行う場合， 初期たわみの たわみ線から曲率の培加する方向への振幅と減少する方向への振幅では， その大 きさが異なったものになる. そこでここでは， 振動変位を曲率の減少する方向へ の振幅のべき級数で展開し， 逐次近似法を使用して振動変位， および線形固有振 動数に対する非線形固有振動数の比， すなわち振動数比の近似式を求める. そし て， この近似式で得られる振動波形を， 1階常微分方程式の数値解法として最も 一般的に採用される R unge-

_K

utta- G ill法による計算結果と比較して， 振動 変位と振動数比の近似式が初期たわみを有する補強板の非線形振動問題にも適用 できることを示す.

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3. 2 基礎式の無次元化

材質や寸法の異なる 補強板の振動特性を相互に比較する場合， 解析結果を無次 元表示しておけば， それらの比較は容易になる. そこで本章では， 第2章で得ら れた基礎式を無次元化し， その無次元表示の形で理論解析を進めていく. その た めにまず， 非補強板の代表長さに選んだbと板厚h， および曲げ剛性 E11h3/

1 2で無次元化した

x y t / Ellh2

�

=一， マ=-- ， τ= --，.

1

-- ， (ご，w) = (ご，w) / h

b2γ12p

(u・，VO) = (u・，VO)(b /h 2)

(ε L ，ε 3 ，ε し ) = (ε;，ε;，ε:y) (b / h ) 2

( C ⁸ ， C r ， ^{e 81} ， ^{e 8} 2 ， ^e r ¹ ， ^e r 2 ) = ( C

^s

， C r， e

_s

1 ， e

_s

2， e r 1 ， e r 2 ) / h

(Nr;，N7I，Nc η) = (N x， N y， N Xy)・{12 b2/( Ellh3)}

(Mr;，Mη， M c 71) = (Mx ， My， Mxy)・{12 b2/( Ellh4)}

(3.1) なる量を導入すると， 式(2.21)の補強板断面の中立軸のひずみと変位の関係は

ε二= u，or; + g，cw，r;+

土

(PJ，C )2 2

心=v

h

E，J，η+

÷

⁽

^し

⁾²

^(3.2)

εcη= U，η+V，r;+ご，r;W，71+e，ηW，r;+W，r;W，η

と書き換えられ， 自由振動に対する運動方程式は式(2.45)でq = 0とおけば Nc，c + NC7l，η=0

(3.3) N .，."η+ Nc.，."c= 0

一 (1 + p) W，rr+ Mc，c c+ 2 Mc.，."c η+ M.，."ηη+ N c ( ご+ w) ，C;C

+ 2 Nr;η( ご+ w) ，cη+ Nη(ご+ w) ，ηη= 0 (3.4)

no no

一�

のように無次元表示できる. ただし， pは補強材の質量と非補強板の質量との比，

すなわち質量比で

p slAs1 + Ps2As2 Pr1Ar1 + Pr2Ar2 msr

P = ( + 一

一一

) /(p h)

ds dr αb

(3.5)

と表される. 上式で， PS1，Ps2，Pr1，Pr2は補強材の密度， msrはx軸に平行な 補強材とy軸に平行な補強材とが交差する部分の補強材質量である.

また， 非補強板の剛性を用いて

(Cs， Cr， C12) = (Cx， Cy， C12) / (Ell h)， Csr= CXy/ (G h)

( D

s ，

D r ， D 12 ) = (Dx， Dy， D12) ¹²

，

El1h 3

1 2

Dsr = Dxy

一一一一

G h3

(γs，γr，γ12，γ21)=(Bx，By，B12，B21) 1 2 ， El1h2

1 2

γsr=Bxy

-一一ー

G h2

(3.6)

と無次元化すれば， 式(2.36)の補強板の各剛性は次のように表される.

無次元イ申び剛性

s z α + s α +

噌i一一

r s c

2- 1

E一E一一つ&

nu r

一一 E一E

2- 1 2- 1 + α r

一c

s α +

噌i一一

s nu

無次元曲げ剛性と無次元ねじり剛性

内4

r

一c

q'-- 噌A 円4- 4A

E一E

ηr“

司，ょ

+ r nu「 +

つ'』-4Aq'

ι

-4A

E一E

一一

r D

qt g C ηL 噌i +

s

β +

噌E-­f'‘、一一

S D

- E12

一一 一

D12=一一(

₁

+

_{1 2 C}

s

_C

r) ， D sr = (

₁

+ β sr)+3(c s+c r)2 Ell

無次元連成剛性

γs = _{1 2} {τs+αsl Cesl +τs)一αs2 (8s2-τs) }

E22一 一 一

γr = _{1 2} {

一一

Cr+αr1(er1+Cr)一αr2(er2一Cr)}

Ell

Qu qu

E 12ー E 12ー

ドキュメント内 初期たわみを有する補強長方形板の自由振動特性に 関する研究 (ページ 47-51)