境界条件

初期たわみを有する補強板の運動方程式を導く際にHamiltonの原理を使用した ので， 同時に境界条件も求められる. 本節では， 補強板が満足すべき境界条件を 面内と面外に区別して検討する.

2 .6 .1 面内境界条件

境界では， δu。とδv。およびδw ， δ(w，x)， δ(w，y)がそれぞれ独立である ため， 式(2.44)の第2項と第3項から次の条件が満足されなければならない.

x

= 0， α において

y

⁼ 0， b において

Nx(δu・)= 0， Nxy(δVO) = 0 Nxy(δUO)= 0， Ny(δvl>)= 0

(2.46)

ここで具体的に，

[A

1 ]面内方向の変位が拘束されずに自由に動ける可動周辺 と，

[A

2 ]面内方向の変位が拘束される不動周辺の場合に対する境界条件を求 める.

[A

1 ]面内可動周辺

この場合は， 面内変位u。とずが 補強板の全周辺で任意であるから

δUO=t= 0， δVO =t= 0

が得られる. これより式(2・46)が成立するため には

x

= 0， α において

y

= 0， b において

Nx= Nxy= 0 Nxy= Ny= 0

(2.47)

の境界条件が必要となる. これは周辺が面内可動の場合， そこの断面力がOでな ければならないことを意味している.

[A

2 ]面内不動周辺

面内不動周辺では， 面内変位が拘束されるの で

。，u qu

δuo= 0， δvo= 0

となり， これは式(2・46)の4つの式をすべて満足している. よって， 面内不動周 辺の境界条件としては， これらの関係をそのまま採用すればよいこととなる.

x =

0， α において

y =

0， b において

uG = _vG = 0

(2.48)

UO = _VO = 0

2.6 .2

面外境界条件

境界では各変位と傾きは独立であるので， 式(2.44)の第4項， 第5項および第 6項の三つの項は次に示す関係を満足しなければならない.

x =

0， a において

{Nx(w +ご)，x+Nxy(w +ご)，y +

_v

x} (δw)=

0

Mx・δ(w，x) =

0

(2.49)

y

⁼ 0， b において

{ Nxy(w +ご)，x+Ny(w +ご)，v+Vy}(δW)=

0

My'δ(W，y)=

0

(2.50)

補強板の角の点において

2 Mxy(δW )= 0 (2.51)

ただし， Vx， Vyは

Vx= Mx，x十2Mxy，y

(2.52) Vy= My，y+ 2Mxv，x

で表されるKirchhoffの相当せん断力である. 面外境界条件もまた[B

1

]自由 周辺， [B

2

]単純支持周辺， [B

3

]固定周辺に区別して， 具体的にそれぞれ の境界条件を求めることにする.

qu no

[ B 1

]自由周辺

自由周辺では， たわみと傾斜角 は任意であるから

x

= 0， α において

y

= 0， b において

δw-:f; 0， δ(W，x)-:f; 0 δw-:f; 0， δ(w，y) -:f; 0

(2.53)

の関係が成立し なければなら ない. したがって， 式(2.49)と式(2.50)を満足する ためには次の境界条件が必要となる.

x

= 0， a において

Vx+ Nx(w +ξ)，x + N Xy(w +ご)，y= 0

Mx= 0

y

= 0， b において

Vy+ Nxy(w +ご)，y+Ny(w +ご)，y= 0 My= 0

(2.54)

(2.55)

これらの条件 はKirchhoffの相当せん断力に断面力の鉛直方向成分を加えた力 と，

曲げモーメントがそれぞれ自由周辺では0になるこ とを表している. また， 自由 周辺の板の角の点では式(2.51)より

2 Mxy = 0 (2.56)

の条件が成立する76 )

[B 2

]単純支持周辺

この場合， 板周辺のたわみw は拘束されるため0 となるが， その断面の面外方 向への回転は全く自由であるから

x

= 0， α において

y

= 0， b において

δ W= 0， δ(W，x)-:f; 0 δ W= 0， δ(W，y)-:f; 0

(2.57)

が成立する. よって式(2.49)， 式(2.50)， お よび式(2.51)を満足するためには

- 34

-一..._

x = 0， a において

y = 0， b において

w=O， Mx=O w=O， My=O

(2.58)

の境界条件が必要となる. これより単純支持周辺では， たわみと曲げモーメント がOとなることがわかる.

[B ³

^{]固定周辺}

固定周辺では， たわみと曲げによる傾斜が拘束されるため， 条件式は

x = 0， α において

y = 0， b において

δw= 0， δ(w，x)= 0 δw= 0， δ(w

，y

) ^{= 0}

(2.59)

となる. これは式(2.49) ， 式(2.50)および式(2.51)のいずれの 式も満足してい るので， 固定周辺の境界条件としてはこれらをそのまま採用すればよい.

x = 0， α において

y = 0， b において

w=O， w，x=O w= 0， W，y= 0

(2.60)

戸hunペυ

一..._

ドキュメント内 初期たわみを有する補強長方形板の自由振動特性に 関する研究 (ページ 43-47)