第 5 章 計算結果・考察 29
D.2 複合核
D.2.4 詳細釣合の原理
詳細釣合の原理は、チャンネルαからβへの反応断面積と、その逆反応であるチャンネルβか らαへの反応断面積を結びつける関係式である。
チャンネルαからβへの反応とその逆反応を考える。なおこのときの保存量は4章の表(5.2)のよ うにとるとする。
核反応は強い相互作用と電磁相互作用によって起こる。これらは時間反転で不変であるので、S行 列は
SJαmα,βmβ =⟨βmβ|SJ|αmα⟩=⟨α−mα|SJ|β−mβ⟩ (D.2.22) と表される。それぞれの反応断面積は
σJαmα,βm
β = π
k2α
∑
J
(2J + 1)|δαmα,βmβ −SαmJ α,βm
β|2 (D.2.23) σJβmβ,αmα = π
k2β
∑
J
(2J+ 1)|δαmα,βmβ −SβmJ β,αmα|2 (D.2.24) となる。スピンの内部自由度がある場合、(D.2.24)において終状態については和をとり、始状態 については平均をとる。
σαβJ = 1
(2IA+ 1)(2Ia+ 1)
∑
mαmβ
σαmJ α,βmβ (D.2.25)
σβαJ = 1
(2IB+ 1)(2Ib+ 1)
∑
mαmβ
σJβmβ,αmα (D.2.26) (D.2.22)式を用いてσJαβ, σβαJ を比較すると、σJαβとσJβαの関係は
σJαβ
σJβα = (2IB+ 1)(2Ib+ 1) (2IA+ 1)(2Ia+ 1)
kβ2
kα2 (D.2.27)
となる。これを詳細釣合の原理という。
65
付 録 E 準位密度
原子核の準位密度は1936年にBethe [38]がフェルミガス模型に基づき統計力学を用いて求めて 以来、数多くの研究が行われている。ここではBohr-Mottelson [39]に基づいて、フェルミガス模 型を用いた準位密度について説明する。
原子核を独立粒子模型でグランドカノニカル分布を用いて統計的に考える。大分配関数は Z(α, β) =∑
ν
[1 +exp(α−βϵν)] (E.0.1)
と書ける。ここでνは準位のインデックスを表し、β = 1/kBT, α =βµで, kBはBoltzmann定 数、µは化学ポテンシャルを表す。これより
lnZ = ∑
ν
[1 +exp(α−βϵν)] (E.0.2)
=
∫ ∞
0
g(ϵ) ln (1 +exp(α−βϵ))dϵ (E.0.3) g(ϵ) = ∑
ν
δ(ϵ−ϵν) (E.0.4)
とできる。ここでg(ϵ)は独立粒子の状態密度である。
ln (1 +exp(α−βϵ))はϵ < α/βではα−βϵで近似され、ϵ > α/βではexp(α−βϵ)で近似される ので、 積分範囲を[0, α/β]と[α/β,∞]に分けて近似計算すると、
lnZ(α, β) =
∫ α/β
0
g(ϵ)(α−βϵ)dϵ+ π2 6βg
(α β )
+ 7π4 360β3g′′
(α β
)
+· · · (E.0.5) となる。これはg(ϵ)がϵのゆるやかな関数であればよい近似となる。
準位密度は分配関数の逆ラプラス変換で表されることが知られている。
ρ(A, E) = ( 1
2πi
)2∫ +i∞
−i∞
∫ +i∞
−i∞ Z(α, β)e−αA+βEdαdβ (E.0.6) ここでAは質量数、Eはエネルギーを表す。A, Eが大きいとき、この積分は被積分関数の定留点 近傍が大きく寄与するので、鞍点法を用いて計算する。被積分関数を
e−f(α,β)=elnZ(α,β)−αA+βE (E.0.7)
66 付 録E 準位密度 とすると、その停留点α0, β0は
∂f
∂α = ∂
∂αlnZ−A= 0 (E.0.8)
∂f
∂β = ∂
∂β lnZ+E = 0 (E.0.9)
で決定される。(E.0.5)式の右辺第２項までとると、α0, β0はg(ϵ)の微分を無視すると
∫ α0/β0
0
g(ϵ)dϵ−A= 0 (E.0.10)
−
∫ α0/β0
0
g(ϵ)ϵdϵ− π2 6β02g
(α0
β0 )
+E= 0 (E.0.11)
から求められる。これより
α0/β0 = ϵF ：フェルミエネルギー (E.0.12) U = E−E0= π2
6β02g(ϵF)：励起エネルギー (E.0.13) と書ける。また、停留点はβ0 =√
π2g(ϵF)/6U , α0 =ϵFβ0となる。また、f(α, β)は f(α, β) = f(α0, β0)− 1
2XTDX (E.0.14)
X = (
α−α0
β−β0 )
, D = (
∂2f /∂α2 ∂2f /∂α∂β
∂2f /∂β∂α ∂2f /∂β2 )
(E.0.15) となるので、行列Dを対角化し固有値を求めて計算すると、準位密度は
ρ(A, U) = 1
√48Uexp(2√
aU) (a= π2
6 g(ϵF)) (E.0.16)
となる。これがフェルミガスモデルでの原子核の準位密度である。
この系では陽子・中性子の区別や、角運動量等を考慮していない。これらを考慮した場合もそれ ぞれの束縛条件を入れることで同様に計算することができる。
Z個の陽子とN個の中性子から成る系では準位密度は ρZ,N(U) =
√π
12a1/4U5/4exp(2√
aU) (E.0.17)
となる。さらに角運動量J,パリティΠを考慮すると、準位密度は ρZ,N(U, J,Π) = 1
2ρZ,N(U)Rσ(J) (E.0.18)
Rσ(J) = 2J+ 1 2σ2 exp
[−(J+12)2 2σ2
]
(E.0.19) と表される。ここでaは準位密度パラメーター、σはスピンカットオフパラメーターと呼ばれる原 子核を剛体とみなして求められるパラメーターである。
67
以上の準位密度は、系が熱力学的に平衡状態にあるとして導出され、またフェルミガス模型である という仮定をおいているから近似的なものである。しかし、数MeV以上の励起エネルギーではこ の近似は成り立っていると考えられる。低い励起エネルギーに対しては、各モデルで次のように考 えられている。Gilbert-Cameronの準位密度では、低い励起エネルギーに対しては実験から求め られたConstant Temperature Model [22]とよばれるものを用いる(4.2.2節参照)。Back-shifted
Fermi Gasとよばれるモデルでは、上で求めたフェルミガス模型による準位密度を低い励起エネ
ルギーにも拡張できるようにパラメーターを設定する。
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