自己相関関数処理

伊勢型紙のような繰り返し画像の構造を評価し､格子構造や単位構造を抽出するとき､

フーリエ変換を行い､パワースペクトルを求め特徴を抽出する方法がよく用いられる[38]

[39]｡フーリエ変換は､周期などを求める代表的な手法である｡伊勢型紙をフーリエ変換 した例を図4.3に示す｡図4.3(b)は､4.3(a)の原画像をフーリエ変換してパワースペクトル

(a)原画像 (b)フーリエ変換した画像

(パワースペクトル画像) 図4.3 伊勢型紙をフーリエ変換した画像

を求めたものである｡図4.3に示すようにフーリエ変換は､原画像を変換してもう一枚の画 像を作る処理方法であるため､処理によって作られた画像から何らかの情報を読みとらねば ならない｡フーリエ変換で求められるパワースペクトルの位置は波数であり､周期や格子を

求めるには､その逆数を計算しなければならない｡また､今回用いる伊勢型紙のような2 値画像は､矩形波のような立ち上がりがあり､基本周波数に倍音が重なって､輝点が幾つ も現れる｡このため､格子構造や単位構造を求めることが難しい｡さらに､直感的に格子 構造や単位構造が分からないことも問題である｡

フーリエ変換と同様の画像変換に､自己相関関数処理がある｡自己相関関数処理は､

データのノイズを取り除くことや､繰り返し周期を求めるために利用されてきた[40][4几

2次元の関数′(ェ,γ)が与えられているとき､自己相関関数は次の式(4.1)で計算される｡

g←,V)=加血湘‑〟,ツーソ如

ここで､A=g(0,0)である｡

自己相関関数処理のイメージを図4.4に示す｡自己相関関数処理は､同じ画像を(u,V)だ

画像(b)

原画像(a)を､(u,V)だけずして画像(l))をつくる.

原画像(a)と画像(b)について､座標(又,〉′)にあるピクセルの輝度の積を取る.

すべての領域についてその積の値を加算する,

図4.4 自己相関関数処理のイメージ

けずらしてすべての画素の乗算を行い､その後総和を求めるという計算である｡式(4.1)と 図4･4から分かるように､繰り返し紋様において､n周期ずれたときに輝点が生ずる｡自己

相関関数処理をした画像の輝点の座標は波長を表している｡輝点が波長を表していること から､自己相関関数処理した画像から､格子点を求め､格子構造を抽出することができ る｡さらに､格子点で囲まれた部分を切り出せば､自己相関関数処理された単位構造を 抽出できる｡

自己相関関数は､その計算過程で､全画面の領域について積分を行っている｡このた め､手彫りによる微妙なゆらぎや､スキャナーに起因するノイズを無くすることができる｡し かも､倍音などの余分な情報がないことから､自己相関関数は格子構造と単位構造を求め るのには非常に都合がよいと考えられる｡

自己相関関数の計算式(4.1)が示すように､これをそのまま計算すれば非常に計算コスト がかかる｡しかし､自己相関関数はフーリエ変換とウイナー･ヒンチンの定理でつながって

いる[42]｡

ウイナー･ヒンチンの定理とは､次のようなものである｡なお､ここでは､記述を簡単に するために､1次元の数式で説明する｡

標準化していない自己相関特徴を自己共分散といい､式(4.2)で表される｡

g(f)=J′(Tげ(ぃりdT

一方､よく知られた畳み込み演算は､式(4.3)で表される｡

甜)㊥ム(り=J錘)耕一T)dT

(4.2)

(4.3)

式(4･3)のム(T)=′(T),ム(T)=′(イ)とすれば､/(T‑f)=′(‑(ト一丁))であるから､式(4.2)と

の畳み込み演算である｡ここで､フーリエ変換の演算子をFとすれば､畳み込み演算の

フーリエ変換は､式(4.4)のように､それぞれの関数のフーリエ演算の積となることが知られ

ている｡

F㍑(ズ)㊥以ズ))=Fh(ズ))F(以ズ))

これらのことを､式(4.2)に当てはめると､式(4.2)は次式のように表現することができる｡

F(g(f))=F(′(り㊥/卜り)=F(′(り)F(〃‑f))

なお､′(f)が実関数であるとき､F(/(‑り)=F*(′(f))が成り立つ(*は共役複素数)｡

g(の)=F(/(f))と表現すれば､g(‑〟)=g■(∽)､g(叫g*(叫=lg(可I2であり､式(4･5)は式

(4.6)のようになる｡

F(′(r斯(/〔f)=F(′￠)F*(ル)=g￠区*￠)=l対局2(4･6)

式(4.6)は､元の関数′(f)のパワースペクトルを表している｡この関係を用いて式(4.5)の逆 変換を式(4.7)のように求めれば､式(4.2)は次のように求めることができる｡

g(り与仲)伸一f)dT=F車(り)l2)

これがウイナー･ヒンチンの定理である｡

この後､g(0)の値で正規化すれば自己相関関数が求められる｡フーリエ変換には良く知 られたFFTを使うことができ､従って簡単に自己相関関数の計算を行うことができる｡