結言

第 7 章 結論

本研究では，塑性局所化現象の高精度かつ汎用的な解析手法の確立を目的として，

非線形問題に適用できる新たな有限要素を提案するとともに，塑性局所化解析に適し た有限要素の検討を行った．また二軸荷重が負荷される板材，管材の塑性不安定現象 および局所化現象を解析するための新たな手法を提案し，その有用性を示した．以下 に本論文の各章で論じた内容について記す．

第1章では，本研究の背景について述べるとともに，局所化解析および一般化有限 要素法に関する過去の研究についても示した．その上で従来の研究の問題点を指摘し，

本研究の目的を明らかにした．

第2章では，本研究を通じて必要となる材料モデリングおよび速度型有限要素法に ついて詳細に述べた．現象論的塑性構成式の枠組み，構成式の具体型である J2 流れ 則およびKuroda-Tvergaardの非法線則について述べ，応力積分手法であるrate-tangent modulus 法についても触れた．次に本研究における基礎方程式である速度型仮想仕事 の原理から，速度型有限要素法の定式化を行う手順を詳細に示した．

第3章では，速度型有限要素法における解析精度の向上を目的として，回転自由度 に相当する自由度を加えた4節点四辺形要素（QD4G1）および二次の変位速度モード を表現できるよう自由度を追加した4節点四辺形要素（QD4G2）の二種類の新たな一 般化平面要素を提案し，その定式化を行った．提案した要素を用いて幾何学的非線形 性を考慮した数値解析を行い，その有用性について検討した．これを通じ，一部の要 素ではshear locking，membrane lockingが発生する問題に対してもQD4G1，QD4G2は これを生じず，解の収束性，要素のゆがみに対するロバスト性の二点において，いず れも基となった4節点要素よりも非常に高い性能を示し，二次要素と同等もしくはそ れ以上の解が得られることを確認した．また変形がほぼ非圧縮性とみなせる問題にお いて，4節点要素およびQD4G1はvolumetric lockingが発生するが，QD4G2はこれを 生じないことを明らかにした．以上から QD4G2 は幾何学的非線形解析において信頼 性の高い要素であることが示された．

第4章では，塑性不安定に続く塑性局所化現象の解析において，有限要素の選択が 解に及ぼす影響について詳細に調査した．その結果，volumetric lockingを生じにくい とされている平面応力解析においても，明らかに要素によって得られる解が異なる場 合があること，平面応力解析では非法線則を用いた方が要素選択の影響を受けにくい こと，二次要素を用いても完全積分を行うと固い解が得られる傾向にあることなどの 知見を得た．また QD4G2 をはじめとするいくつかの要素は，解析条件によらず適切 な解が得られることを示した．

第 5 章では，板材の成形限界を有限要素法で評価するための手法開発を目的とし，

二軸応力比を新たな拘束条件とすることで，二軸荷重を受ける板材の引っ張り問題に 対して二つの荷重を独立して制御できる新しい弧長法を提案した．提案した手法を用 いた板材の成形限界解析を実施し，提案手法が二つの荷重モードを独立して制御でき ることを確認した．得られた結果を M-Kモデルによるそれと比較し，M-K モデルで 導入する初期不整が塑性局所化の最終状態に対応しているものであると解釈でき，

M-Kモデルが物理的にも妥当である可能性を示した．

第6章では，第5章で提案した手法を軸力と内圧による複合荷重を受ける薄肉管材 の解析へと適用し，薄肉円管の塑性不安定解析を実施した．提案手法を用いることで，

軸力，内圧を独立して制御できること，また得られた塑性不安定条件が理論解と一致 することを確認し，提案手法の妥当性を示した．

本研究では，有限要素法による塑性局所化解析に対する知見を広めるとともに，板 材，管材の塑性加工において実用上重要となる二軸荷重制御下で，局所化解析の可能 性を広げる数値解析手法の提案を行った．また，これまでその物理的妥当性に疑問が 持たれていた M-K モデルに対して，その正当性を裏付ける一端となる結果を得た．

以上を通じて，数値解析手法を用いた薄肉金属材料の破断予測における，一つの方向 性を示すことが出来たと考えられる．

今後残された課題としては，以下の点が挙げられる．

・ 異方性を考慮した板材，管材の提案手法による局所化解析

・ 提案手法による成形限界予測の実験データとの比較

後者は序論でも述べたように，板材を用いた場合には非常に困難を伴う問題である．

しかし近年，管材を用いた二軸荷重制御による成形限界予測の実験が試みられており，

その成果が報告されている^[7-1][7-2]．これら実験結果との比較を通じて，有限要素法お よび M-K モデルによる解析結果の，より詳細な物理的解釈が可能になるものと期待 される．

謝辞

本論文は，著者が慶應義塾大学大学院理工学研究科開放環境科学専攻後期博士課程 在学中に，本塾理工学部システムデザイン工学科野口裕久教授の下で行った研究の成 果をまとめたものである．卒業研究より6年間に渡り同教授から賜った熱心な御指導 に対して，深く感謝いたします．

本塾理工学部機械工学科棚橋隆彦教授，志澤一之教授，システムデザイン工学科三 田彰教授には，本論文の審査をお引き受け頂くと共に，多くの有益な御助言を頂きま した．厚く御礼申し上げます．

本研究の一部は，文部科学省平成 15年度21 世紀COE プログラム「知能化から生 命化へのシステムデザイン」によるものであることを記し，謝意を表します．

著者は2002年4月より2004年3月までの二年間，九州大学大学院工学研究院に助 手として在籍したが，この間，宮崎則幸教授（現京都大学教授），池田徹助教授（現 京都大学助教授）をはじめとする同研究院化学工学部門の教職員の皆様には，多方面 に渡って研究をサポートして頂きました．この場を借りて御礼申し上げます．

山形大学の黒田充紀助教授，東京農工大学の桑原利彦助教授には，御多忙にもかか わらず理論面，実験面から多くの示唆に富んだ御意見を賜り，また有意義な御討論を 頂きました．ここに感謝の意を表します．

本研究室の卒業生である石原嘉一氏（株式会社三菱総合研究所），堀内祥平氏（東 洋製罐株式会社）には，研究面にとどまらず公私両面において広い視野からの御助言，

御鞭撻を頂きました．また増田佐知子さん，田中真人君をはじめ苦楽を共にした野口 研究室の皆さん，および九州大学工学部物質科学工学科化学プロセス・生命工学コー ス応用材料強度学研究室の皆さんからの御支援は，研究生活をより実り多きものとし てくれました．心から感謝いたします．

それ以外にも，21年間に渡る慶應義塾での生活を支えて頂いた先生方，友人のおか げで今日の私があることは言うまでもなく，この場を借りて改めて深謝いたします．

末筆ながら，私が本研究室そして慶應義塾で充実した生活を送ることができたのは，

長きにわたって学業に専念する機会を与えてくれた両親，家族の理解と支援のおかげ です．多大な迷惑をかけたにもかかわらず，最後まで見守ってくれた家族に心から感 謝します．

2005年2月

参考文献

第1章

[1-1] Hill, R., 1950, The mathematical theory of plasticity, Oxford University Press [1-2] 黒田充紀, 1997, 大ひずみ弾塑性解析

[1-3] 伊藤耿一, 1981, 塑性不安定と分岐の理論, 塑性と加工, 22-249, 1009-1015 [1-4] 北川浩, 1982, 塑性ひずみ局所化現象の解析 －最近の動向と問題点－, 日本機

械学会論文集, A48-427, 250-258

[1-5] 北川浩, 1981, くびれ進展の数値解析, 塑性と加工, 22-246, 638-644

[1-6] Hill, R., 1952, On discontinuous plastic states with sheets with special reference to localized necking in thin sheets, J. Mech. Phys. Solids, 1, 19-30

[1-7] Stören, S., Rice, J.R., 1985, Localized necking in thin sheets, J. Mech. Phys. Solids, 23, 421-441

[1-8] Parmer, A., Mellor, P.B., Chakrabarty, J., 1976, A new model for the prediction of instability and limit strains in thin sheet metal, Int. J. Mech. Sci, 18, 389-398

[1-9] Tvergaard, V., 1975, Effect of kinematic hardening on localized necking in biaxially stretched sheets, Int. J. Mech. Sci., 20, 651-658

[1-10] Parmar, A., Mellor, P.B., 1978, Predictions of limit strains in sheet metal using a more general yield criterion, Int. J. Mech. Sci., 20, 651-658

[1-11] Marciniak, Z., Kuczynski, K., 1967, Limit strains in the processes of stretch-forming sheet metal, Int. J.Mech. Sci., 9, 609-620

[1-12] Tadros, A.K., Mellor, P.B., 1975, Some comments on the limit strains in sheet metal stretching, Int. J. Mech. Sci., 17, 203-210

[1-13] Kuroda, M., Tvergaard, V., 2000, Forming limit diagrams for anisotropic metal sheets with different yield criteria, Int. J. Solids Struct., 37, 5037-5059

[1-14] Zhao, L., Sowerby, R., Sklad, M.P., 1996, A theoretical and experimental investigation of limit strains in sheet metal forming, Int. J. Mech. Sci., 38, 1307-1317

[1-15] Xu, S., Weinmann, K.J., 1998, Prediction of forming limit curves of sheet metals using Hill’s 1993 user friendly yield criterion of anisotropic materials, Int. J. Mech. Sci., 40, 913-925

[1-16] Wu, P.D., Neale, K.W., Van der Giessen, E., 1997, On crystal plasticity FLD analysis, Proc. Royal Soc. London, 453A, 1831-1848

[1-17] Wu, P.D., Neale, K.W., Van der Giessen, E., Jain, M., Makinde, A., MacEwen, S.R., 1998, Crystal plasticity forming limit diagram analysis of rolled aluminum sheets, Metall. Mater. Trans, 29A, 527-535

[1-18] 冨田佳宏, 1990, 数値弾塑性力学, 養賢堂

[1-19] Tvergaard, V., Needleman, A., Lo, K.K., 1981, Flow localization in the plane strain tensile test, J. Mech. Phys. Solids, 29, 115-142

[1-20] Becker, R., Needleman, A., 1986, Effect of yield surface curvature on necking and failure in porous plastic solids, Trans. ASME, J. Appl. Mech., 53, 491-499

[1-21] Budiansky, B., 1959, A reassessment of deformation theory of plasticity, Trans. ASME, J. Appl. Mech., 81, 259-264

[1-22] Christoffersen, J., Hutchinson, J.W., 1979, A class of phenomenological corner theories of plasticity, J. Mech. Phys. Solids, 27, 465-487

[1-23] 後藤学, 1981, 弾塑性構成式の一形式（第1報, 一般理論）, 日本機械学会論文 集, A47-424, 1389-1397

[1-24] 後藤学, 1982, 弾塑性構成式の一形式（第2報, 一次形式の検討）, 日本機械学 会論文集, A48-428, 493-501

[1-25] 後藤学, 1982, 弾塑性構成式の一形式（第3報, 平面ひずみ状態での分岐解析へ の応用）, 日本機械学会論文集, A48-428, 502-509

[1-26] 後藤学, 1983, 弾塑性構成式の一形式（第4報, 金属薄板のFLD の計算への適 用）, 日本機械学会論文集, A49-437, 92-100

[1-27] 後藤学, 1984, 弾塑性構成式の一形式（第5報, 金属薄板の非比例負荷に対する FLDの計算への適用）, 日本機械学会論文集, A50-458, 1753-1760

[1-28] 後藤学, 1988, 弾塑性構成式の一形式（第6報, 二次元および軸対称塑性成形の 有限要素法による数値解析への適用）, 日本機械学会論文集, A54-500, 777-785 [1-29] 後藤学, 1988, 弾塑性構成式の一形式（第7報, 軸対称板材成形の有限要素法に

よる数値解析への適用）, 日本機械学会論文集, A54-504, 1579-1587

[1-30] Gotoh, M., 1985, A class of plastic constitutive equations with vertex effect – I.

General theory, Int. J. Solids Struct., 21, 1101-1116

[1-31] Gotoh, M., 1985, A class of plastic constitutive equations with vertex effect – II.

Discussions on the simplest form, Int. J. Solids Struct., 21, 1117-1129

[1-32] Gotoh, M., 1985, A class of plastic constitutive equations with vertex effect – III.

Applications to calculation of FLD of metal sheets, Int. J. Solids Struct., 21, 1131-1145

[1-33] Gotoh, M., 1985, A class of plastic constitutive equations with vertex effect – IV.

Applications to prediction of forming limit strains of metal sheets under nonproportional loadings, Int. J. Solids Struct., 21, 1149-1163

[1-34] 後藤学, 天木勇人, 田中光三, 1987, 単軸引張下のくびれ変形の解析, 日本機械 学会論文集, A53-491, 1440-1446

[1-35] 村上大介, 小林誠一, 鳥垣俊和, 志澤一之, 2002, ポリマの粘塑性大変形挙動に 関する熱・力学的モデリングとシミュレーション（第1報, ひずみ速度依存性 に由来する構成式の非共軸性）, 日本機械学会論文集, A68-668, 674-681

[1-36] 村上大介, 小林誠一, 鳥垣俊和, 志澤一之, 2002, ポリマの粘塑性大変形挙動に 関する熱・力学的モデリングとシミュレーション（第2報, 流れ則に基づく尖 り点モデルとそのFEM解析）, 日本機械学会論文集, A68-668, 682-689

[1-37] 小林誠一, 富井大介, 志澤一之, 2004, クレイズの進展・消滅を考慮したポリマ の破断予測モデルおよび大変形シミュレーション, 日本機械学会論文集, A70-694, 810-817

[1-38] Kuroda, M., Tvergaard, V., 2001, A phenomenological plasticity model with non-normality effects representing observations in crystal plasticity, J. Mech. Phys.

Solids, 49, 1239-1263

[1-39] Kuroda, M., Tvergaard, V., Shear band development predicted by a non-normality theory of plasticity and comparison to crystal plasticity predictions, J. Solids. Struct., 38, 8945-8960

[1-40] 鷲津久一郎他, 1981, 有限要素法ハンドブック I 基礎編, 培風館