米田の補題

命題 88. B^が小V-^{豊穣圏のとき全単射}HomV-CAT(A ⊗ B,C)∼= HomV-CAT(A,[B,C]) が存在する．

証明. T: A ⊗ B → C ^を V-関手とする．a ∈ A ^に対して Te(a) := T(a,−) とすれば Te(a)∈[B,C]である．

次にa, a⁰ ∈ A^，b ∈ B ^とするとT(−, b)aa⁰: A(a, a⁰) → C(T(a, b), T(a⁰, b))はb ∈ B について自然である(命題71)．従ってエンドの普遍性により次の点線の射Te_aa0 が得ら

れる．

A(a, a⁰)

Z

b∈BC(T(a, b), T(a⁰, b)) C(T(a, b), T(a⁰, b))

[B,C](Te(a),Te(a⁰)) e

T_aa0

ev_b T(−,b)aa0

これはV-関手Te: A →[B,C]を定める．

...

) まず次の図式を考える．

A(a1, a2)⊗ A(a0, a1) A(a0, a2)

[B,C](T ae ₀,T ae ₂)

[B,C](T ae 1,T ae 2)⊗[B,C](T ae 0,T ae 1) C(T(a0, b), T(a2, b))

ev_{F c}⊗ev_{F c}

[B,C](T ae ₁,T ae ₂)⊗[B,C](T ae ₀,T ae ₁)

T(−,b)⊗T(−,b)

T(−,b)

evb

m

e

Ta0a2

e

Ta1a2⊗^Tea0a1

m

m

この図式の左右の三角は定義より可換である．奥と手前の四角は T(−, b),evb がV -関手だから可換である．従ってエンド[B,C](T ae 0,T ae 2)の普遍性により上面の四角も 可換である．即ちTeは合成と交換する．

恒等射についても同様に

I A(a, a)

[B,C](T a,e T a)e

C(T(a, b), T(a, b))

jT(a,b)

T(−,b)

ev_b j_a

e

T j^Te^(a)

から分かる．

この対応HomV-CAT(A ⊗ B,C)3 T 7→ Te∈ HomV-CAT(A,[B,C])が全単射であるこ

とを示せばよい．そのためにV-関手K: A → [B,C]に対してKe を合成 A ⊗ B −−−→^K⊗id [B,C]⊗ B−→ C^ev

で定める．このときT:A⊗B → C ^に対してTee=T と，K: A →[B,C]に対してKee =K を示せばよい．

a, a⁰ ∈ A^，b, b⁰ ∈ Bとする．まず対象についてはTee(a, b) = ev(Te(a), b) =T(a, b)であ る．またTee_ha,biha0,b⁰i は

A(a, a⁰)⊗ B(b, b⁰) ^Teaa0⊗id

−−−−−→[B,C](T a,e T ae ⁰)⊗ B(b, b⁰)

evhe^{T a,bihT a0,b0i}e

−−−−−−−−−−→ C(T(a, b), T(a⁰, b⁰)) で与えられる．ここでev

h^{T a,b}e ih^{T a}e ^0,b0iは定義より A(a, a⁰)⊗ B(b, b⁰)

(ev_b0)e^{T aT a0}e ^{⊗T(a,−)bb0}

−−−−−−−−−−−−−−−→ C(T(a, b⁰), T(a⁰, b⁰))⊗ C(T(a, b), T(a, b⁰))

−→ Cm (T(a, b), T(a⁰, b⁰)) である．またTe_aa0 の定義より

A(a, a⁰) [B,C](T a,e T ae ⁰)

C(T(a, b⁰), T(a⁰, b⁰)) e

T_aa0

(ev_b0)e^{T a}e^{T a0}

T(−,b⁰)_aa0

は可換である．故にTee_ha,biha0,b⁰iは A(a, a⁰)⊗ B(b, b⁰)

T(−,b⁰)_aa0⊗T(a,−)_bb0

−−−−−−−−−−−−−−→ C(T(a, b⁰), T(a⁰, b⁰))⊗ C(T(a, b), T(a, b⁰))

−→ Cm (T(a, b), T(a⁰, b⁰))

即ちT_ha,biha0,b⁰iに一致する．以上によりTee =T が分かった．

次に K について考える．まず対象についてはK(a) =ee K(a,e −) = ev(Ka,−) = Ka である．またKeeaa⁰ はKe(−, b)aa⁰: A(a, a⁰) → C(Ka(b), Ka⁰(b)) からエンドの普遍性に よって得られる射である．ここでKe(−, b)aa⁰ は

A(a, a⁰)−−−→^Kaa0 [B,C](Ka, Ka⁰)−−−−−−−→ C^(evb)KaKa0 (Ka(b), Ka⁰(b))

で与えられる．故にエンド[B,C](Ka, Ka⁰)の普遍性からKeeaa⁰ = Kaa⁰ である．従って Kee =K である．

C ^が小V-豊穣圏のときCb:= [C^op,V]と書く．命題88により，全単射

Hom_V-CAT(C^op⊗ C,V)∼= HomV-CAT(C ⊗ C^op,V)∼= HomV-CAT(C,[C^op,V])

= Hom_V-CAT(C,Cb) が得られる．

定義. この全単射でC(−,□) : C^op⊗ C → V ^{に対応する}V-関手をy: C →Cb^{と書き米田埋} 込と呼ぶ．

命題88の証明より，yab: C(a, b)→Cb(y(a), y(b))はエンドの普遍性を使って C(a, b) Cb(y(a), y(b))

[C(c, a),C(c, b)]

y_ab

ev_c C(c,−)ab

によって与えらえる．従ってC ^の射 f: a −^V→ bに対して V-自然変換y(f) : y(a) ⇒ y(b) のc成分はf ◦ −: C(c, a)→ C(c, b)である．

補題 89. C ^を小 V-豊穣圏，G: C^op → V ^をV-関手とする．このときa ∈ C ^{に対して全} 単射Hom_U(Cb)(y(a), G)∼= HomV(I, Ga)^{が成り立つ．}

証明. θ: y(a)⇒G^をV-自然変換とする．このときθa: C(a, a)→Ga^{とみなせる．よっ} てh(θ) := θ_a ◦j_a: I → Gaが定義できる．逆にh: I → Gaとc ∈ C ^に対してV の射 θ(h)c をC(c, a) −−→^Gac [Ga, Gc] −−−→^[h,id] [I, Gc] −−→ⁱ⁻¹ Gc により定めれば，これは命題43, 70, 77 ^によりcについて自然である．よってV-^自然変換θ(h) : y(a)⇒ G^{を定める．こ} れらの対応が互いに逆であることを示せばよい．

まずh: I →Gaとする．V-関手の条件G(ja) =jGaに注意すると

h(θ(h)) =θ(h)a◦ja = (i⁻¹◦[h,id]◦Gaa)◦ja =i⁻¹◦[h,id]◦jGa

だから[h,id]◦jGa=i◦hを示せばよい．それは

I ⊗Ga Ga

I ⊗I I Ga

Gc⊗I Ga

λ

id

id id⊗h

h⊗id

ρ λ=ρ

h

h

が可換であるから，随伴により

I [Ga, Ga]

I [I, Ga]

Gc [I, Ga]

jGa

[h,id]

[id,id]

id

h

i

が可換となり[h,id]◦jGa =i◦hである．

次にθ: y(a)⇒Gに対してθ(h(θ)) =θを示す．その為に次の図式を考える．

C(c, a) [C(a, a),C(c, a)] [I,C(c, a)] C(c, a)

[Ga, Gc] [C(a, a), Gc] [I, Gc] Gc

C(−,a)_ac [j_a,id] i⁻¹

Gac [id,θc] [id,θc] θ_c

[θa,id] [ja,id] i⁻¹

(θ) ([−,□]) (i)

θ がV-自然変換だから (θ)は可換である．([−,□]) は[−,□] が関手だから可換である．

(i)はiが自然だから可換である．

この図式で射を左回りに合成すると

i⁻¹◦[ja,id]◦[θa,id]◦Gac =i⁻¹◦[h(θ),id]◦Gac =θ(h(θ))c

である．故に右回りがθcになること，つまり

C(c, a)−−−−−−→^C(−,a)ac [C(a, a),C(c, a)]−−−−→^[ja,id] [I,C(c, a)] ⁱ⁻

−−→ C1 (c, a)

= id

を示せばよい．それは次の図式が可換であり(ここでja: I → C(a, a)に対応するV ^の射 をej_a: I −^V→ C(a, a)とする)，

C(c, a)

C(c, a)⊗I

C(c, a)⊗[I,C(a, a)]

C(c, a)⊗ C(a, a)

C(a, a)⊗ C(c, a)

[C(a, a),C(c, a)]

[C(a, a),C(c, a)]⊗I

[C(a, a),C(c, a)]⊗[I,C(a, a)]

[C(a, a),C(c, a)]⊗ C(a, a) C(c, a)

[I,C(c, a)]

ρ⁻¹

id⊗e^ja

id⊗i⁻¹

γ

ρ⁻¹

id⊗e^ja

id⊗i⁻¹

ev C(−,a)ac

C(−,a)ac⊗id

C(−,a)ac⊗id

C(−,a)ac⊗id

m

[ja,id]

m

i⁻¹

(ρ)

(⊗)

(⊗)

(C(−, a))

(− ◦j_a)

(74)

更に左回りの合成が次の図式からidとなり分かる．

C(c, a) C(c, a)⊗I

I⊗ C(c, a)

C(c, a)⊗[I,C(a, a)]

[I,C(a, a)]⊗ C(c, a)

C(c, a)⊗ C(a, a)

C(a, a)⊗ C(c, a)

C(c, a)

γ γ γ

m ρ⁻¹

λ⁻¹

id id⊗e^ja

e^ja⊗id

j_a⊗id

id⊗i⁻¹

i⁻¹⊗id

(V) (γ) (γ)

(ja) (C)

定理 90 (米田の補題). C ^をV-豊穣圏，F: C^op → V ^をV-関手とする．このときa ∈ C に対してV での同型Cb(y(a), F)∼=F aが成り立つ．

証明. まずc∈ C^，x∈V に対して同型

Hom_V(x,[C(c, a), F c])∼= HomV(x⊗ C(c, a), F c)∼= HomV(C(c, a),[x, F c]) (91) が成り立つ．以下この証明の中では，この同型によりf: x→ [C(c, a), F c]に対応する射 をf⁰: C(c, a) → [x, F c]で表す．補題59, 64により，f がcについて自然であることは f⁰がcについて自然であることと同値である．

さて，定義によりCb(y(a), F) = [C^op,V](y(a), F) = Z

c∈C^op

[C(c, a), F c]である．c ∈ C に対してζ_c^aF: F a →[C(c, a), F c]を(ζ_c^aF)⁰ = F_ac となるように取る．命題 70よりF_ac はcについて自然だから，ζ_c^aF もcについて自然である．hF a, ζ^aFi^が[C(−, a), F□]の エンドであることを示せばよい．

そのためにσ_c: x→[C(c, a), F c]がcについて自然とする．このときσ_c⁰ はV-自然変換 σ⁰: y(a)⇒[x, F−]を与える．補題89より，あるh: I → [x, F a]が存在してσ⁰ =θ(h) と書ける．このhに対応するV の射eh: x →F aを取るとζ_c^aF ◦eh=σcとなる．

...

) ^{つまり図式}

x [C(c, a), F c]

F a [C(c, a), F c]

σc

[id,id]

e^h

ζ_c^aF

の可換性を示せばよい．そのためには同型(91)により C(c, a) [x, F c]

C(c, a) [F a, F c]

σ⁰_c

[e^h,id]

id

Fac

(92)

の可換性を示せばよい．そこで次の図式を考える．

C(c, a) [x, F c]

[F a, F c] [I,[F a, F c]]

[I,[x, F c]]

[F a, F c] [[x, F a],[x, F c]]

Fac

id

i⁻¹ [id,[e^h,id]]

[h,id]

σ⁰_c

[e^h,id]

i

[x,−]

(92) (i)

(♦)

まずθ(h)の定義とσ⁰ = θ(h)より，一番外側は可換である．(i)はiの自然性により

可換である．(♦)の可換性は，随伴により

[F a, F c]⊗I [F a, F c]

[F a, F c]⊗I [x, F c]

[F a, F c]⊗[x, F a] [x, F c]

ρ

[e^h,id]

id id⊗id

id⊗h

m

の可換性と同値であるが，これは命題38により可換である．以上により(92)^も可換 である．

従ってehの一意性を示せばhF a, ζ^aFi^が[C(−, a), F□]のエンドであると分かる．

そこで ek: x → F a がζ_c^aF ◦ek = σ_c を満たすとする．すると上記と同様の議論により θ(k) =θ(h)が分かる．故にh=k，即ちeh=ek となる．

定理 93. 米田の補題(定理90)で得られた同型をφaF: Cb(y(a), F)→ F a = ev(F, a)と するときφ_aF はa∈ C ^とF ∈Cb^{について自然である．}

証明. ^命題50^よりψaF :=φ⁻¹_aF の自然性を示せばよい．ここでψaF は

F a Cb(y(a), F)

[C(c, a), F c]

ψaF

evc

ζ_c^aF

を可換にする射である．(ζ_c^aF は定理90の証明を参照．) まずaについて自然であることを示す．即ち

[F b, F a] [F b, F a]

C(a, b) [F b,Cb(y(a), F)]

Cb(y(a), y(b)) [Cb(y(b), F),Cb(y(a), F)]

id

[id,ψ_aF]

[ψbF,id]

Fab

yab

b

C(−,F)

の可換性を示す．そのためには随伴により次の図式の可換性を示せばよい．

[F b, F a]⊗F b F a

C(a, b)⊗F b Cb(y(a), F)

Cb(y(a), y(b))⊗Cb(y(b), F) Cb(y(b), F)⊗Cb(y(a), y(b)) Cb(y(a), F)

ev

ψaF

id Fab⊗id

yab⊗ψbF

γ m

(∗)

そのために次の図式を考える．(上面が(∗)である．)

[F b, F a]⊗F b F a

C(a, b)⊗F b Cb(y(a), F)

Cb(y(a), y(b))⊗Cb(y(b), F)

[F b, F a]⊗F b F a

C(a, b)⊗F b [C(c, a), F c]

[C(c, a),C(c, b)]⊗[C(c, b), F c] [C(c, b), F c]⊗[C(c, a),C(c, b)] [C(c, a), F c]

ev

ζ_c^aF

id Fab⊗id

C(c,−)⊗ζ_c^bF

γ m

id

id

evc⊗evc

id

evc

ev

ψaF

F_ab⊗id

yab⊗ψbF

Cb(y(b), F)⊗Cb(y(a), y(b))

m

evc⊗evc

γ

側面の四角はψ,ev, yの定義などから可換である．底面の可換性は随伴により次の図式の 可換性と同値である．

[F b, F a] [F b, F a]

C(a, b) [F b,[C(c, a), F c]]

[C(c, a),C(c, b)] [[C(c, b), F c],[C(c, a), F c]]

id

[id,ζ^aF_c ]

[ζ_c^bF,id]

Fab

C(c,−)

[−,F c]

これはζ_c^{aF が}aについて自然だから可換である．

以上によりエンドの普遍性から上面も可換となり，(∗)が可換であることが分かった．

次にF について自然であることを示す．即ち

[F a, Ga] [F a, Ga]

Cb(F, G) [F a,Cb(y(a), G)]

Cb(F, G) [Cby(a), F),Cb(y(a), G)]

id

[id,ψ_aG]

[ψaF,id]

eva

id

b

C(y(a),−)

の可換性を示す．そのためには随伴により次の図式の可換性を示せばよい．

[F a, Ga]⊗F a Ga

Cb(F, G)⊗F a Cb(y(a), G)

Cb(F, G)⊗Cb(y(a), F) Cb(y(a), G)

ev

ψaG

id ev_a⊗id

id⊗ψ_aF

m

(∗∗)

そのために次の図式を考える．(^上面が(∗∗)^である．)

[F a, Ga]⊗F a Ga

Cb(F, G)⊗F a Cb(y(a), G)

Cb(F, G)⊗Cb(y(a), F)

[F a, Ga]⊗F a Ga

Cb(F, G)⊗F a [C(c, a), Gc]

[F c, Gc]⊗[C(c, a), F c] [C(c, a), Gc]

ev

ζ_c^aG

id ev_a⊗id

evc⊗ζ_c^aF

m

id

id

ev_c⊗ev_c

id

evc

ev

ψaG

eva⊗id

id⊗ψaF

Cb(y(a), G)

id

evc

m

側面の四角はψ,evの定義などから可換である．底面の可換性は随伴により次の図式の可

換性と同値である．

[F a, Ga] [F a, Ga]

Cb(F, G) [F a,[C(c, a), Gc]]

[F c, Gc] [[C(c, a), F c],[C(c, a), Gc]]

id

[id,ζ_c^aG]

[ζ_c^aF,id]

ev_a

evc

[C(c,a),−]

これは補題59, 64と命題84よりζ_c^aF がF について自然だから可換である．

以上によりエンドの普遍性から上面も可換となり，(∗∗) が可換であることが分かっ た．

命題 94. 米田の補題(定理90)で得られた同型をφ: Cb(y(a), F)→F aとするとき，次の 図式は可換である．

Cb(y(a), F) [C(a, a), F a]

F a [I, F a]

ev_a

[ja,id]

φ

i

証明. φの定義より

F a [C(a, a), F a]

F a [I, F a]

ζ_a^aF

[j_a,id]

id

i

が可換であることを示せばよい．この可換性は同型91により C(a, a) [F a, F a]

I [F a, F a]

Faa

[id,id]

ja

j_{F a}

の可換性と同値である．これはF がV-関手だから可換である．

命題 95. F: C → D^，G: D^op⊗ C → V ^をV-関手として各c∈ C ^{に対して，}d∈ D^につ いて自然なV の射θ^c_d: D(d, F c)→G(d, c)が与えられているとする．即ちθ^c: y(F c)⇒ G(−, c) は V-自然変換であるから補題 89 により対応するV の射 σ_c := h(θ^c) : I → G(F c, c)が得られる．このとき

θ^c_d がc∈ C ^{について自然}⇐⇒σc がc∈ C ^{について自然．}

証明. (=⇒)σ_c =h(θ^c) = (I −−→ D^{jF c} (F c, F c) ^θ

c

−−→F c G(F c, c))であるから命題58, 54, 43, 52よりσc はc∈ C ^{について自然である．}

(⇐=) ^補題89^{の証明より}θ_d^{c は合成}

D(d, F c)−−−−→^G(−,c) [G(F c, c), G(d, c)]−−−−→^[σc,id] [I, G(d, c)] ⁱ⁻

−−→1 G(d, c)

で与えられる．よって命題71, 77よりθ^c_dはc∈ C ^{について自然である．}

例 96. 単位的環Rを1点Ab-categoryとみなしたとき(例10)，Rb= Mod_R (右R加 群の圏)とみなせる．

...

) F: R^op →AbをAb-関手とする．このときM := F(∗)はアーベル群であり，

r∈R^のM ^{への右作用が}F r: M →M ^{により定まり，}M ^は右R^{加群となる．逆に} M を右R加群とすれば，Ab-関手 R^op →Abが定まることも分かる．

F, G: R^op → AbをAb-関手として Ab-自然変換 θ: F ⇒ G を考える．即ち射 θ_∗: 1 → HomAb(F(∗), G(∗))^{である．これは}R準同型とみなせる．逆に R^準同型 からV-自然変換が定まる．

以上の対応によりRb=ModRとみなせる．

同様にしてR→Abは左R加群であり，R⊗S^op →Abは左R右S 加群である．

y: R→Rbを米田埋込とすればy(∗)∈Rbは右R加群Rである．よってM ∈Rbとすれ ば米田の補題によりR(y(b ∗), M) ∼= M(∗)である．これは言い換えるとHom_R(R, M) ∼=

M である．

次にM: R^op →Ab^，N: R→Ab^をAb-^{関手とする．即ち}M ^は右R-^加群でN ^は左 R-加群である．このときAb-関手T =M ⊗N: R^op⊗R→AbがT(∗,∗) :=M⊗ZN， T(r, s) := M r⊗Z N sにより定まる．

Z _∗∈R

T(∗,∗) = M ⊗RN である．それを示すた め，まず写像f: M ×N →M ⊗RN をf(m, n) :=m⊗Rnで定める．これは双線型で

ある．

M ×N M ⊗RN

M ⊗ZN

f

⊗ ζ_∗

よってテンソル積の普遍性により準同型ζ_∗: M ⊗ZN →M ⊗RN が得られる．m∈M， n∈N，r ∈Rに対して

ζ_∗◦T(id, r)(m⊗Zn) =m⊗Rrn, ζ_∗◦T(r,id)(m⊗Zn) =mr⊗Rn

となる．従って ζ_∗ ◦T(id, r) = ζ_∗ ◦T(r,id) である．故にζ_∗: T(∗,∗) → M ⊗RN は

∗ ∈Rについて自然である．

σ_∗: T(∗,∗)→X ^が∗ ∈Rについて自然であるとする．m∈ M^，n∈N^，r ∈R^に対 して

σ_∗◦T(id, r)(m⊗Z n) =σ_∗(m⊗Z rn), σ_∗◦T(r,id)(m⊗Z n) =σ_∗(mr⊗Zn)

なのでσ_∗(m⊗Z rn) = σ_∗(mr⊗Zn)である．故にf: M ⊗RN → X をf(m⊗Rn) :=

σ_∗(m⊗Z n)で定めればf ◦ζ_∗ = σ_∗ となる．またこのようなf は明らかに一意である．

以上によりM ⊗RN ∼= Z _∗∈R

T(∗,∗)である．

定義. V-関手F: C → D^がV-忠実充満

⇐⇒^各対象a, b ∈ C^{に対して，}V の射Fab: C(a, b)→ D(F a, F b)が同型射．

系 97. 米田埋込y: C →Cb^はV-忠実充満である．

証明. yab:C(a, b)→Cb(y(a), y(b))はエンドの普遍性により C(a, b) Cb(y(a), y(b))

[C(c, a),C(c, b)]

yab

evc

C(c,−)ab

から定まるV の射である．これは定理93でF =C(−, b)としたときのψaF と一致する．

C(a, b) Cb(y(a), y(b))

[C(c, a),C(c, b)]

ψ_aF

evc

C(c,−)_ab=ζ_c^aF

故にyab は同型射である．

V-関手F: C → D^{に対して，}U(F)が与える写像Hom_UC(a, b)→Hom_UD(F a, F b)は HomV(I, Fab) = (Fab ◦ −)で与えられる．故にF がV-忠実充満ならばU(F)は忠実充 満である．

系 98. y(a)∼=y(b)ならばa ∼=bである．

証明. yがV-忠実充満だからunderlying functor U(y)も忠実充満であり，従って成り立 つ．

命題 99. θc: C(c, a)→ C(c, b)^がc∈ C について自然なとき，あるh: a −^V→b^{が存在して} θ_c =h◦ −と書ける．また，このときh= I −→ C^ja (a, a)−→ C^θa (a, b)

である．(従ってこ のようなhは一意である．)

証明. θ: y(a)⇒ y(b)がV-自然変換(即ちCb^の射)で，y: C →Cb^がV-忠実充満だから，

あるC ^の射h: a −^V→bが存在してθ =y(h)と書ける．このときθc =y(h)c =h◦ −^であ る．また命題29より

I −→ C^ja (a, a)−→ C^θa (a, b)

= I −→ C^ja (a, a)−−−→ C^h◦− (a, b)

=h◦j_a =h である．

命題 100. ^命題99^においてθ ^がV-^自然同型⇐⇒h^が同型．

証明. ^命題99^{の証明より}θ =y(h)^で，y^がV-忠実充満であるから明らか．

定義. V-^関手F: C → V ^{が表現可能}

⇐⇒^あるa∈ C ^とV-自然同型F ∼=C(a,−)が存在する．

このときaはF を表現するという．系98により，表現可能V-関手を表現する対象は 同型を除いて一意である．

定理 101. T: C^op⊗ D → V ^をV-関手として，各c ∈ C^に対してT(c,−)が表現可能で あるとする．このときあるV-関手F: C → D^{が存在して} D(F c,−) ∼= T(c,−)となる．

更にこれはcについて自然である．

証明. c ∈ C ^に対してT(c,−)を表現する対象をF cとし，V-自然同型θ_c: D(F c,−) ⇒ T(c,−)を取る．即ちd ∈ D^に対して(θc)d: D(F c, d)→ T(c, d)はV の同型射である．

ηc := I −−→ D^{jF c} (F c, F c)−−−−→^{(θc)F c} T(c, F c)

と置く．

※ 補題89^{の証明により，}(θc)d は合成

D(F c, d)−−−−→^T(c,−) [T(c, F c), T(c, d)]−−−−→^[ηc,id] [I, T(c, d)]−−→ⁱ⁻¹ T(c, d) (102) と一致する．今から我々はFabをうまく定義することでF をV-関手にするのである が，その時(θ_c)_d がc∈ C について自然になるためには(合成 (102)と命題53，70， 77により)η_c: I →T(c, F c)がcについて自然になればよい．即ち次の図式の一番外 側が可換になればよい．

D(F a, F b)

[T(a, F a), T(a, F b)]

C(a, b) [I, T(a, F b)]

[T(b, F b), T(a, F b)]

F_ab

T(a,−)

[η_a,id]

T(−,F b)ab [η_b,id]

T(a, F b)

(θa)F b

i

(102)

(4)

ここで(102)は上で述べた合成 (102)により可換である．故にF_ab を定義するには

(4)を可換にするようにすればよいと分かる．

a, b ∈ C^に対してV の射Fab を合成

C(a, b)−−−−−−−→^{T(−,F b)ab} [T(b, F b), T(a, F b)]−−−−→^[ηb,id] [I, T(a, F b)]

i⁻¹

−−→T(a, F b) ^(θa)

−1

−−−−→ DF b (F a, F b)

により定める(上の(4)を参照)．これによりF はV-関手C → D^となる．

...

) まず次の図式[A]を考える．

CbcCab

DF bF cCab

DF bF c[T_{bF b}, T_{aF b}]

DF bF c[DF bF b, T_{aF b}]

DF bF c[I, T_{aF b}]

DF bF cT_{aF b} DF bF cDF aF b

CabCbc

CabDF bF c

[T_{aF b}, T_{aF c}][T_{bF b}, T_{aF b}]

[T_{aF b}, T_{aF c}][DF bF b, T_{aF b}]

[T_{aF b}, T_{aF c}][I, T_{aF b}]

[T_{aF b}, T_{aF c}]T_{aF b}

[T_{bF c}, T_{aF c}]Cbc

[T_{bF c}, T_{aF c}]DF bF c

[T_{bF c}, T_{aF c}][T_{bF b}, T_{bF c}]

[T_{bF b}, T_{aF c}]

[DF bF b, T_{aF c}]

[I, T_{aF c}]

T_{aF c}

DF aF c F⊗id

id⊗T(−,F b)

id⊗[(θb)_{F b},id]

id⊗[jF b,id]

id⊗i⁻¹

id⊗(θa)⁻¹ F b

id⊗F

id⊗[(θb)_{F b},id]

id⊗[jF b,id]

id⊗i⁻¹

id⊗F

id⊗T(b,−)

m

[(θ_b)_{F b},id]

[j_{F b},id]

i⁻¹

(θa)⁻¹ F c γ

γ

T(a,−)⊗id

T(a,−)⊗id

T(a,−)⊗id

T(a,−)⊗id

m

T(−,F c)⊗id

T(−,F c)⊗id

m

m

m

ev

(γ) (⊗)

(21)

(⊗) (m)

(⊗) (m)

(⊗) (74)

(∗)

(γ)，(m)はγ，mの自然性により可換である．(⊗)は⊗が関手だから可換である．

(21)，(74) は補題 21，74 により可換である．(∗)については，(θ_a)⁻_d¹: T(a, d) →

D(F a, d)がd ∈ D について自然だから，次の図式が可換となり，従って随伴を考え

れば分かる．

[T(a, F b), T(a, F c)] [T(a, F b), T(a, F c)]

D(F b, F c) [T(a, F b),D(F a, F c)]

D(F b, F c) [D(F a, F b),D(F a, F c)]

id

[id,(θa)⁻¹_{F c}]

[(θa)⁻¹_{F b},id]

T(a,−)

id

D(F a,−)

次に次の図式[B]を考える．

[T_{bF c}, T_{aF c}]Cbc

[T_{bF c}, T_{aF c}][T_{cF c}, T_{bF c}]

[T_{bF c}, T_{aF c}][DF cF c, T_{bF c}]

[T_{bF c}, T_{aF c}][I, T_{bF c}]

[T_{bF c}, T_{aF c}]T_{bF c}

[T_{bF c}, T_{aF c}]DF bF c

[T_{bF c}, T_{aF c}][T_{bF b}, T_{bF c}]

[T_{bF b}, T_{aF c}]

[DF bF b, T_{aF c}]

[I, T_{aF c}]

T_{aF c}

DF aF c

[T_{bF c}, T_{aF c}][DF bF b, T_{bF c}]

[T_{bF c}, T_{aF c}][I, T_{bF c}]

[T_{cF c}, T_{aF c}]

[DF cF c, T_{aF c}]

[I, T_{aF c}]

T_{aF c}

id⊗F

id⊗T(−,F c)

id⊗[(θc)F c,id]

id⊗[ȷF c,id]

id⊗i⁻¹ id⊗(θb)⁻¹_{F c}

id⊗T(b,−)

m

[(θ_b)_{F b},id]

[j_{F b},id]

i⁻¹

(θa)⁻¹ F c

id⊗[j_{F b},id]

[(θc)F c,id]

[ȷF c,id]

i⁻¹ m

m

m

ev

id⊗[(θb)F b,id]

m

m

id⊗i

id

(F)

(∗)

(m)

(m)

(74)

(m)

(m)

(74)

(F)はF の定義である．(m)はmの自然性により可換である．(74)は補題74によ り可換である．(∗)が可換であることを示すには，ηの定義(η_b = (θ_b)_{F b}◦j_{F b})より 次の図式の可換性を示せばよいが，それは上で述べた合成(102)より分かる．

[T_{bF c}, T_{aF c}]DF bF c [T_{bF c}, T_{aF c}]T_{bF c}

[TbF c, TaF c][TbF b, TbF c] [TbF c, TaF c][I, TbF c]

id⊗(θb)⁻_{F c}¹

id⊗i id⊗T(b,−)

id⊗[ηb,id]

これらを組み合わせて次の図式を得る．

CbcCab

DF bF cDF aF b DF aF c

Cac

Fbc⊗Fab

mabc

mF aF bF c

Fac

[A]

(∗)

[B]

ここで(∗)^はT(−, F c)^がV-関手だから可換である．

また次の図式も明らかに可換である．

C(a, a)

[T(a, F a), T(a, F a)]

[I, T(a, F a)]

T(a, F a) D(F a, F a) I

T(−,F a)

[ηa,id]

i⁻¹

(θa)⁻_{F a}¹

F ja

j_{T(a,F a)}

jF a

T(a,−)

故にF ^はV-^{関手である．}

このとき上で述べた通り，Fab の定義からθc: D(F c,−) ⇒ T(c,−)^はc ∈ C^{について自} 然である．

ドキュメント内 豊穣圏 (ページ 90-107)