余極限の交換

通常の圏論では余極限の交換は関手が余極限余錐を保つという形で定式化できた．豊 穣圏においては余錐の代わりになるものとしてcylinder というものを定義することがで

きる．

定義. W: J^op → V^，T: J → C ^をV-関手とするとき，V-自然変換W ⇒ C(T−, c)を T 上のW-cylinder，もしくは単にcylinderという．

余極限colim^WT が存在するとする．即ちa ∈ C ^{について自然な同型}

C(colim^WT, a)∼=Jb(W−,C(T−, a)) が成り立つ．この同型を使って合成

I −−−−−−→ C^{jcolimW T} (colim^WT,colim^WT)∼=Jb(W−,C(T−,colim^WT))

を考えればV-自然変換W ⇒ C(T−,colim^WT)，即ちcylinderが得られる．このcylinder をcolim^WT のunitという．同様に極限lim^WT については合成

I −−−−−→ C^{jlimW T} (lim^WT,lim^WT)∼= [J,V](W−,C(lim^WT, T−)) により得られるV-自然変換W ⇒ C(lim^WT, T−)をlim^WT のcounitという．

θ: W ⇒ C(T−, c)をcylinderとする．補題89より全単射

Hom_Fun(C,V) J(c,□),Jb(W−,C(T−,□)) ∼= HomV I,Jb(W−,C(T−, c))

∼= Hom_UJb(W−,C(T−, c))

が成り立つ．これでθ に対応するV-自然変換をθe: C(c,□) ⇒ Jb(W−,C(T−,□))とす る．この対応を使い次の定義をする．

定義. cylinder θ: W ⇒ C(T−, c)が余極限を与える⇐⇒θeが同型となる

よってcylinder θ: W ⇒ C(T−, c)が余極限を与えるときc∼= colim^WT で，θ がunit である．

colim^WT が存在するとする．即ちV-自然同型

φ: C(colim^WT,□)⇒Jb(W−,C(T−,□)) : C → V が存在する．これにU を適用して自然同型

U φ:U(C(colim^WT,□))⇒U(Jb(W−,C(T−,□))) : UC → V を得る．更にHomV(I,−)^{を適用することで，}a∈UC ^{について自然な全単射}

HomUC(colim^WT, a)→Hom_UJb(W−,C(T−, a)) (130)

が得られる．全単射(130)においてid∈HomUC(colim^WT,colim^WT)に対応する cylin-der η: W ⇒ C(T−,colim^WT)がcolim^WT のunitである．θ: W ⇒ C(T−, c)を cylin-derとして，θに全単射(130)で対応するC ^の射をh: colim^WT −^V→cとすれば，(130)の 自然性から

HomUC(colim^WT,colim^WT)

Hom_UC(colim^WT, c)

Hom_UJb(W−,C(T−,colim^WT))

HomUJb(W−,C(T−, c))

∼

(h◦−)∗−

h◦−

∼

が可換である．従って(h◦ −)∗η =θが得られる．即ちj ∈ J ^に対して(h◦ −)◦η_j =θ_j

である．(130)が全単射だからこのようなhは一意である．

W j C(T j,colim^WT) C(T j, c)

ηj

h◦−

θj

colim^WT c V h

つまり余極限のunit ηはT 上のW-cylinderであって「普遍性」を満たす．(但し，逆に

T 上のW-cylinderが普遍性を持っているからといって余極限を与えるとは限らないこと

に注意する．)

命題 131. η: W ⇒ C(T−, c)，θ: W ⇒ C(T−, c⁰)をcylinderとしてηは余極限を与え るとする．更にηの普遍性から得られる射h: c−^V→c⁰ が同型であるとする．

W j C(T j, c)

C(T j, c⁰)

ηj

h◦−

θj

c

c⁰ V h

このときθも余極限を与える．

証明. まずη, θをJb^{の射とみなしたとき}

I Jb(W−,C(T−, c)) 　　　　　　Jb(W−,C(T−, c⁰))

µ

(h◦−)◦−

ν

が可換である．次に

Hom C(c,□),Jb(W−,C(T−,□))

Hom C(c⁰,□),Jb(W−,C(T−,□))

HomV I,Jb(W−,C(T−, c))

HomV I,Jb(W−,C(T−, c⁰))

∼

((h◦−)◦−)◦−

−◦(−◦h)

∼

が可換だからµの行き先を考えると e η

θe

η

θ

∼

((h◦−)∗−)◦−

−∗(−◦h)

∼

よりηe∗(− ◦h) =θeである．つまりa ∈ C ^に対してηea◦(− ◦h) =θeaとなり，θeaは同型 である．

θ: W ⇒ C(T−, c)をcyliinderとしてF: C → D ^をV-関手とする．このとき命題42, 43, 70より合成

W j −→ C^θj (T j, c)−−−→ D^{FT j,c} (F T j, F c)

はj ∈ J について自然である．よってこれはcylinderW ⇒ D(F T−, F c)^{を与える．}(^つ まりV-関手はC ^のcylinderをD^のcylinderに写す．) このcylinderをF ∗θで表すこ とにする．

定義. 余極限colim^WT が存在するとして，そのunitをη: W ⇒ C(T−,colim^WT)とす る．V-関手F: C → D^がcolim^WT と交換する

⇐⇒ cylinder F ∗η: W ⇒ D(F T−, F(colim^WT))が余極限colim^WF T を与える．

命題 132. 余極限colim^WT が存在するとして，そのunitをη: W ⇒ C(T−,colim^WT) とする．このときV-関手F: C → Dに対して以下の条件は同値である．

(1) F がcolim^WT と交換する．

(2) あるcylinder ν: W ⇒ D(F T−, d)が存在して以下が成り立つ．

• ν^が余極限colim^WF T ^{を与える．}

• νの普遍性から得られるDの射h: d −^V→F(colim^WT)が同型になる．

W j D(F T j, d)

C(T j,colim^WT) D(F T j, F(colim^WT))

νj

h◦−

ηj

F

d

F(colim^WT)

V

h

(3) ^{以下が成り立つ．}

• 余極限colim^WF T が存在する．

• cylinder µ: W ⇒ D(F T−, d)が余極限を与えるならば，普遍性から得られる D^の射h:d −^V→F(colim^WT)^{が同型になる．}

W j D(F T j, d)

C(T j,colim^WT) D(F T j, F(colim^WT))

µj

h◦−

ηj

F

d

F(colim^WT)

V

h

証明. (1 =⇒ 2) ν := F ∗ηとすれば仮定 1よりν が余極限colim^WF T を与える．この とき明らかに次の図式が可換である．

W j D(F T j, F(colim^WT)) C(T j,colim^WT) D(F T j, F(colim^WT))

νj

id◦−

ηj

F

F(colim^WT)

F(colim^WT) V id

(2 =⇒ 3) 仮定2よりあるcylinder ν: W ⇒ D(F T−, d)が余極限を与える．そこで別 のcylinder µ: W ⇒ D(F T−, d⁰)が余極限を与えるとしてµの普遍性から得られる射を

hとする．

W j D(F T j, d⁰)

C(T j,colim^WT) D(F T j, F(colim^WT))

µ_j

h◦−

η_j

F

d⁰

F(colim^WT) V h

hが同型であることを示せばよい．まずνの普遍性により次のh⁰, h⁰⁰ が得られる．

W j D(F T j, d)

D(F T j, d⁰)

νj

h⁰◦−

µj

d

d⁰

V

h⁰

W j D(F T j, d)

C(T j,colim^WT) D(F T j, F(colim^WT))

νj

h⁰⁰◦−

ηj

F

d

F(colim^WT)

V

h⁰⁰

νの普遍性から明らかにh◦h⁰ =h⁰⁰である．µの普遍性からh⁰ は同型であり，また仮定 2^よりh^{00 も同型である．故に}h^{も同型である．}

(3 =⇒ 1) 仮 定 3 よ り 余 極 限 colim^WF T が 存 在 す る の で そ の unit を µ: W ⇒ D(F T−,colim^WF T)とする．µの普遍性により次のhを得る．

W j D(F T j,colim^WF T) C(T j,colim^WT) D(F T j, F(colim^WT))

µ_j

h◦−

η_j

F

colim^WF T

F(colim^WT) V h

仮定3よりこのhは同型である．よって命題131よりF ∗ηは余極限を与える．

定理 133. c∈ C ^に対してC(−, c) : C → V^opは任意の余極限と交換する．

証明. W: J^op → V^，T: J → C ^{として余極限}colim^WT が存在するとする．即ちa∈ C について自然な同型

φa: C(colim^WT, a)→Jb(W−,C(T−, a)) が存在するとする．例124より極限lim^W(C(T−, c))は存在し

lim^W(C(T−, c))∼=Jb(W−,C(T−, c)) である．即ちx∈ V ^{について自然な同型}

ξx: [x,Jb(W−,C(T−, c))]→Jb(W−,[x,C(T−, c)])

が存在する．ξx とφc を組み合わせれば[x,C(colim^WT, c)] ∼= Jb(W−,[x,C(T−, c)]) と なるから

lim^W(C(T−, c))∼=C(colim^WT, c)

が分かる．これのcounitをν: W ⇒ [C(colim^WT, c),C(T−, c)]として，また colim^WT のunitをη: W ⇒ C(T−,colim^WT)としたとき

W j [C(colim^WT, c),C(T j, c)]

C(T j,colim^WT) [C(colim^WT, c),C(T j, c)]

ν_j

−◦id η_j

C(−,c)

colim^WT, c)

colim^WT, c) V id

が可換であることを示せばよい．

まずj ∈ J ^に対してν_j は次の図式の左回りの合成で与えられる．

I

[C(colim^WT, c),C(colim^WT, c)]

[C(colim^WT, c),Jb(W−,C(T−, c))]

Jb(W−,[C(colim^WT, c),C(T−, c)])

C(colim^WT, c),[W j,C(T j, c)]

W j,[C(colim^WT, c),C(T j, c)]

j_C(colimW T,c)

[id,φc]

ξ_C(colimW T,c) 随伴による同型

[id,ev_j]

ev_j

(ξ)

ξの定義より(ξ)は可換だからνj: W j →[C(colim^WT, c),C(T j, c)]は合成 C(colim^WT, c)−→^φc Jb(W−,C(T−, c))−−→^evj [W j,C(T j, c)]

に対応する射であることが分かる．

一方でη_j は合成

I −−−−−−→ C^{jcolimW T} (colim^WT,colim^WT)−−−−−−→^{φcolimW T} Jb(W−,C(T−,colim^WT))

evj

−−→[W j,C(T j,colim^WT)]

で与えられる．ここで次の図式を考える．

C(colim^WT, c)

C(colim^WT, c)⊗I

C(colim^WT, c)⊗ C(colim^WT,colim^WT)

Jb(C(T−,colim^WT),C(T−, c))⊗Jb(W−,C(T−,colim^WT))

[C(T j,colim^WT),C(T j, c)]⊗[W j,C(T j,colim^WT)]

C(colim^WT, c) Jb(W−,C(T−, c))

[W j,C(T j, c)]

ρ⁻¹

id⊗j_{colimW T}

C(T ,−)⊗φ_{colimW T}

evj⊗evj

φ_c

ev_j id

m

m

m

(j)

(∗)

(evj)

(j)は豊穣圏の条件により可換である．(evj)はevj がV-関手だから可換である．(∗)は φ_aがa∈ C について自然だから，次の図式(の随伴)により可換性が分かる．

C(colim^WT, c)

C(colim^WT, c)

Jb(C(T−,colim^WT),C(T−, c))

[C(colim^WT,colim^WT),C(colim^WT, c)]

[C(colim^WT,colim^WT),Jb(W−,C(T−, c))]

[Jb(W−,C(T−,colim^WT)),Jb(W−,C(T−, c))]

C(colim^WT ,−)

[id,φc]

[φ_{colimW T},id]

id

C(T ,−)

b

J(W,−)

以上によりこの図式は可換であるから，先に示したことと合わせれば次の図式が可換であ ることが分かる．

C(colim^WT, c)

C(colim^WT, c)⊗I

[C(T j,colim^WT),C(T j, c)]⊗[W j,C(T j,colim^WT)]

C(colim^WT, c) Jb(W−,C(T−, c))

[W j,C(T j, c)]

ρ⁻¹

C(T j,−)⊗µj

φc

evj

νj

id

m

この図式と随伴− ⊗W j a[W j,−]により，次の図式の一番外側が可換であることが分か る．(但しs:= colim^WT と書いた．)

C(s, c)⊗W j

(C(s, c)⊗I)⊗W j

([C(T j, s),C(T j, c)]⊗[W j,C(T j, s)])⊗W j

[C(T j, s),C(T j, c)]⊗([W j,C(T j, s)]⊗W j)

[C(T j, s),C(T j, c)]⊗ C(T j, s)

C(s, c)⊗(I⊗W j)

C(s, c)⊗W j

C(T j, c)

ρ⁻¹⊗id

(C(T j,−)⊗µj)⊗id

α

id⊗ev

νjの随伴射 id

id⊗λ⁻¹ α

C(T j,−)⊗(µj⊗id)

C(T j,−)⊗µj

ev

(V)

(α)

(∗)

(∗∗)

(V)はcoherence条件より可換である．(α)はα が自然変換だから可換である．(∗)はV の射とV の射の対応のさせ方により可換である．以上により(∗∗)も可換である．(∗∗)を 整理すると次の図式を得る．

C(colim^WT, c)⊗W j

C(colim^WT, c)⊗ C(T j,colim^WT)

[C(T j,colim^WT),C(T j, c)]⊗ C(T j,colim^WT)

C(colim^WT, c)⊗W j

C(T j, c)

id⊗µj

C(T j,−)⊗id

ν_jの随伴射 id

m

ev

(∗)

(C(T j,−))

(C(T j,−))はevがcounitだから可換である．故に(∗)も可換となる．従って(∗)に随伴 を適用すれば可換図式

W j

C(T j,colim^WT)

W j

[C(colim^WT, c),C(T j, c)]

ηj νj

id

C(−,c)

を得る．従ってν_j =C(−, c)◦η_j である．

定理 134. 左随伴は任意の余極限と交換する．

証明.

定理 135. C ^を小V-^豊穣圏，D,M,N ^をV-^{豊穣圏とする．}F: C → D^，E: C → M^， K: M → N ^をV-関手として各点左Kan拡張F^†E が存在するとする．K が余連続なら ばK はF^†E と交換する．(即ち，余連続関手は各点左Kan拡張と交換する．)

Cb

C M N

F

E K

F^†E

F^†(KE)

証明.

定理 136. C,D,J ^をV-豊穣圏，W: J^op → V^，T: J → [C,D]をV-関手として，c∈ C に対してTc := evc◦T = ev(T−, c) : J → D^{と定める．任意の}c∈ C^に対してcolim^WTc

が存在するならば，colim^WT ∈ [C,D] も存在して(colim^WT)(c) ∼= colim^WTc となる．

即ち，関手圏の余極限は各点ごとに計算できる．

証明. P(c, d) := Jb(W−,D(T_c−, d))と定めるとP はV-関手C^op⊗ D → V ^{であり，仮} 定よりD(colim^WT_c, d)∼= P(c, d)である．即ちc∈ C ^に対してP(c,−)は表現可能であ る．従って定理101の証明より，F c:= colim^WTc と定めるとV-関手F: C → D^が得ら れて，更にc∈ C^，d∈ D^{について自然な同型}

φcd: D(F c, d)→Jb(W−,D(Tc−, d)) が存在する．このときG∈[C,D]^{について自然に}

[C,D](F, G) = Z

c∈CD(F c, Gc)

∼= Z

c∈C

Jb(W−,D(Tc(−), Gc)) (φから得られる同型)

= Z

c∈C

Z

j∈J^op

[W j,D(T j(c), Gc)]

∼= Z

j∈J^op

Z

c∈C

[W j,D(T j(c), Gc)] (補題113)

∼= Z

j∈J^op

h W j,

Z

c∈CD(T j(c), Gc) i

(命題109)

= Z

j∈J^op

W j,[C,D](T j, G)

=Jb(W−,[C,D](T−, G))

だからF が余極限colim^WT を与える．

系 137. C ^が小V-豊穣圏でD^がV-余完備ならば[C,D]もV-余完備である．

系 138. C ^が小V-豊穣圏でD^がV-余完備ならば，各c ∈ C ^に対して ev_c: [C,D] → D は余連続である．

証明. W: J^op → V^，T: J → [C,D]をV-関手とする．定理136の証明の通り，F c:=

colim^WTc と定義すれば V-^関手 F: C → D ^となり F ^が余極限 colim^WT ^{を与える．}

F,colim^WT_c のunitをη, µ とする．命題132より次の図式が可換であることを示せば

よい．

W j D(T j(c),colim^WTc)

[C,D](T j, F) D(T j(c), F c)

νj

id◦−

η_j

ev_c

colim^WT_c

F(c) V id

そこで次の図式を考える．

I

[C,D](F, F) Z

c

D(F c, F c) Z

c

Jb(W−,D(Tc(−), F c)) Z

c

Z

j

[W j,D(T j(c), F c)]

Z

j

Z

c

[W j,D(T j(c), F c)]

Z

j

h W j,

Z

c

D(T j(c), F c) i

Jb(W−,[C,D](T−, F)]

Z

c

[W j,D(T j(c), F c)]

h W j,

Z

c

D(T j(c), F c) i

[W j,D(T j(c), F c)]

D(F c, F c)

Jb(W−,D(T_c(−), F c)) Z

j

[W j,D(T j(c), F c)]

[W j,D(T j(c), F c)]

jF

∼∼∼

η

∼ ∼

evj

jF c

evc

ev_c

evc

evj

ev_j

ev_j

ν

evc

[id,evc]

[id,evc]

(η)

(ν) (j_F)

(∗)

(∗∗)

(113)

(∗) (109)

(∗∗) (∗∗)

(η)，(ν)はunitの定義より可換である．(jF)はjF の定義より可換である．(∗)は同型 の定め方より可換である．(∗∗)は明らかに可換である．(113) は補題113の証明により 可換である．(109)は命題109より可換である．以上によりこの図式は可換であるから ev_c ◦η⁰_j =ν_j となる．

定理 139. F:C → D^，E: C → M^，T: D → M^をV-関手としてη: E ⇒T F をV-自

然変換とする．

D

C M

η =⇒

F

E T

このときT ^がF ^に沿ったE ^の各点左Kan^{拡張であり}η^がそのunit^である

⇐⇒^任意のd ∈ D^に対してcolim^D(F−,d)E ∼=T dであり，そのunitはV の射 D(F c, d)−−−→ M^{TF c,d} (T F c, T d)−−−→ M^−◦ηc (Ec, T d)

で与えられる．(これは命題70, 43，補題79よりc∈ C ^{について自然である．}) 証明. (=⇒) T がF に沿ったE の各点左Kan拡張だから

M(T d, m)∼=Cb(D(F−, d),M(E−, m))

となる．即ちcolim^D(F−,d)E ∼=T d^{である．この余極限}T d^のunit^をν^{d とすれば}ν^{d は} I −−→ M^{jT d} (T d, T d)∼=Cb(D(F−, d),M(E−, T d))

で与えられる．また(118)よりηc は

I −−−→ M^{jT F c} (T F c, T F c) ^(νf^{F c)}T F c

−−−−−−→Cb(D(F−, F c),M(E−, T F c))

evc

−−→[D(F c, F c),M(Ec, T F c)]−−−−→^{[jF c,id]} [I,M(Ec, T F c)]

i⁻¹

−−→ M(Ec, T F c)

で与えられる．故にη_c = I −→ D^j (F c, F c) ^ν

F c

−−→ Mc (Ec, T F c)

である．そこで次の図式

を考える．

D(F c, d)

M(T F c, T d)

[M(Ec, T F c),M(Ec, T d)]

[D(F c, F c),D(F c, d)]

[D(F c, F c),M(Ec, T d)]

D(F c, d)

[I,D(F c, d)]

[I,M(Ec, T d)]

M(Ec, T d)

T_{F c,d}

M(Ec,−)T F c,T d

[η_c,id]

[id,ν_c^d]

i⁻¹

ν_c^d [id,ν_c^d]

i⁻¹ id

D(F c,−)_{F c,d}

−◦ηc

[ν_c^{F c},id]

[jF c,id]

[j_{F c},id]

(36)

(ν_c^d) ([−,□])

(∗) (36) (i)

(ν_c^d)はν_c^d がdについて自然だから可換である．([−,□])は[−,□]が関手だから可換であ る．(i)はiの自然性により可換である．(36)は命題36より可換である．(∗)は上で述べ たことにより可換である．以上によりこの図式は可換であり，従ってν_c^d が

D(F c, d)−−−→ M^{TF c,d} (T F c, T d)−−−→ M^−◦ηc (Ec, T d) と一致することが分かる．

(⇐=)c∈ C^，d∈ D^に対してν_c^d := (D(F c, d)−−−→ M^{TF c,d} (T F c, T d)−−−→ M^−◦ηc (Ec, T d)) とする．仮定よりν^d: D(F−, d)⇒ M(E−, T d)は余極限T dのunitである．つまり

(fν^d)_m: M(T d, m)→Cb(D(F−, d),M(E−, m))

はm ∈ Mについて自然な同型となる．ν_c^d がd ∈ D について自然だから，命題95より (fν^d)mもd ∈ Dについて自然である．従ってT はF に沿ったEの各点左Kan拡張であ る．そのunitをµとすると，µc は(118)によれば

I −−−→ M^{jT F c} (T F c, T F c) ⁽νf^{F c})T F c

−−−−−−→Cb(D(F−, F c),M(E−, T F c))

ev_c

−−→[D(F c, F c),M(Ec, T F c)]−−−−→^{[jF c,id]} [I,M(Ec, T F c)]

i⁻¹

−−→ M(Ec, T F c)

で与えられる．即ち次の図式は可換である．

I

I

M(Ec, T F c)

M(T F c, T F c) Cb(D(F−, F c),M(E−, T F c))

[D(F c, F c),M(Ec, T F c)]

[I,M(Ec, T F c)]

[I,M(Ec, T F c)]

id

µ_c

[j_{F c},id]

[id,id]

jT F c (^νf^{F c)}T F c

evc

ν_c^{F c}

i

(140)

そこで次の図式を考える．

M(T F c, T F c)

D(F c, F c)

I

I ⊗ D(F c, F c)

I⊗I

M(Ec, T F c)⊗I

M(Ec, T F c)

M(Ec, T F c)

M(Ec, T F c)

jF c id⊗jF c

µc⊗id

id

id ν_c^{F c}

λ⁻¹

λ⁻¹=ρ⁻¹

µ_c

ν_c^{F c}◦λ

ρ T

−◦ηc

j_{T F c}

ηc

(29)

(T) (ν)

(∗)

(λ)

(140)

(ρ)

(T)はT がV-関手だから可換である．(ν)はν_c^d の定義より可換である．(λ)はλの自然 性より可換である．(ρ)^はρ の自然性より可換である．(∗)は明らかに可換である．(29) は命題29より可換である．(140)は(140)の随伴を考えるれば可換性が分かる．以上に よりこの図式は可換であり，µc =ηc が分かる．

7 ^{モノイダル関手}

定義. V, W をモノイダル圏とする．(V, W を一点bicategoryと見た時の) lax 2-functor F: V →W をlax モノイダル関手という．同様にpseudofunctor F: V → W をstrong モノイダル関手，strict2-functor F: V →W をstrictモノイダル関手，oplax 2-functor F: V →W をoplaxモノイダル関手という．

モノイダル圏を積の与えられた圏とみなすとき，lax^{モノイダル関手}F:V →W ^とは，

関手F: V →W であって次の条件をみたすことである．

(1) 次の自然変換φ^F が与えられている．

V ×V

W ×W V

W

F×F

⊗

=⇒

φ^F

⊗

F

即ち，u, v ∈V について自然なW の射φ^F_uv: F u⊗F v →F(u⊗v)が与えられて いる．

(2) W の射ψ^F: I →F(I)が与えられている．

(3) 対象u, v, w ∈V に対して次のW の図式が可換である．

(F u⊗F v)⊗F w F(u⊗v)⊗F w F((u⊗v)⊗w)

F u⊗(F v⊗F w) F u⊗F(v⊗w) F(u⊗(v⊗w))

φ^F_uv⊗id φ^F_u⊗v,w

F(αuvw) αF u,F v,F w

id⊗φ^F_vw φ^F_u,v⊗w

(4) ^対象u∈V ^{に対して次の}W ^{の図式が可換である．}

I⊗F u F u

F I⊗F u F(I⊗u)

λF u

F(λ_u) ψ^F⊗id

φ^F_I,u

F u⊗I F u

F u⊗F I F(u⊗I)

ρ_{F u}

F(ρ_u) id⊗ψ^F

φ^F_u,I

strongモノイダル関手はφ^F, ψ^F が同型な場合であり，strictモノイダル関手はidな場 合である．またoplaxモノイダル関手はφ^F, ψ^F が逆向きの場合である．φ^F, ψ^F の添え 字のF はしばしば省略する．

命題 141. F: V →W をlaxモノイダル関手としてC ^をV-豊穣圏とする．このときFC を次のように定義するとW-豊穣圏になる．

• Ob(FC) := Ob(C)．

• a, b∈ C ^に対してFC(a, b) :=F(C(a, b))^．

• a, b, c∈ C ^に対してW の射m_abc: FC(b, c)⊗FC(a, b)→FC(a, c)を合成 F(C(b, c))⊗F(C(a, b)) ^φ

−−→F F(C(b, c)⊗ C(a, b))−−−−−→^F(mabc) F(C(a, c)) で定める．

• a∈ C ^に対してW の射j_a: I →FC(a, a)を合成 I ^ψ

−−→F F(I)−−−→^F(ja) F(C(a, a)) で定める．

証明. まず

FC(c, d)⊗FC(b, c)

⊗FC(a, b) FC(c, d)⊗ FC(b, c)⊗FC(a, b)

FC(b, d)⊗FC(a, b) FC(c, d)⊗FC(a, c) FC(a, d)

m_bcd⊗id

mabd

α

id⊗m_abc

macd

が可換であることを示す．定義より次の図式が可換であることを示せばよい．(^ここでス

ペースの都合上，C(a, b)をCab と表記した．) (FCcd⊗FCbc)⊗FCab

F(Ccd⊗ Cbc)⊗FCab

FCbd⊗FCab

F((Ccd⊗ Cbc)⊗ Cab)

F(Cbd⊗ Cab)

FCad

F(Ccd⊗(Cbc⊗ Cab))

F(Ccd⊗ Cac)

FCcd⊗(FCbc⊗FCab)

FCcd⊗F(Cbc⊗ Cab)

FCcd⊗FCac φ⊗id

F m⊗id

F(m⊗id) F(id⊗m)

id⊗φ

id⊗F m α

φ

φ

F α

F m F m

φ

φ

(F)

(φ) (φ)

(C)

(F)はlaxモノイダル関手の定義より可換である．(φ)はφが自然変換であるから可換で ある．(C)^はV-豊穣圏の定義より可換である．故に全体も可換である．

次に

I ⊗FC(a, b) FC(a, b)

FC(b, b)⊗FC(a, b)

λ

jb⊗id mabb

が可換であることを示す．その為には

I⊗FC(a, b)

F I⊗FC(a, b)

FC(b, b)⊗FC(a, b)

F(C(b, b)⊗ C(a, b))

FC(a, b) F(I⊗ C(a, b))

ψ⊗id

F jb⊗id φ

F m

φ F(jb⊗id)

λ

(F) F λ

(φ)

(C)

が可換であることを示せばよい．(F)はlax モノイダル関手の定義より可換である．(φ) はφが自然変換であるから可換である．(C)はV-豊穣圏の定義より可換である．故に全

体も可換である．

FC(a, b)⊗I FC(a, b)

FC(a, b)⊗FC(a, a)

ρ

id⊗ja m_aab

についても同様に

FC(a, b)⊗I

FC(a, b)⊗F I

FC(a, b)⊗FC(a, a)

F(C(a, b)⊗ C(a, a))

FC(a, b) F(C(a, b)⊗I)

id⊗ψ

id⊗F j_a φ

F m φ F(id⊗ja)

λ

F ρ

から分かる．

命題 142. F: V →W をlaxモノイダル関手としてK: C → D^をV-関手とする．この ときF K を次のように定義するとW-関手FC → FD^になる．

• a∈ C ^に対してF K(a) :=K(a)．

• a, b∈ C ^に対して(F K)_ab :=F(K_ab) : FC(a, b)→FD(Ka, Kb)． 証明. まず

FC(b, c)⊗FC(a, b) FC(a, c)

FD(F Kb, F Kc)⊗FD(F Ka, F Kb) FD(F Ka, F Kc)

m

F Kac

F Kbc⊗F Kab

m

が可換であることを示す．定義より FC(b, c)⊗FC(a, b)

FD(Kb, Kc)⊗FD(Ka, Kb)

F(C(b, c)⊗ C(a, b))

F(D(Kb, Kc)⊗ D(Ka, Kb))

FC(a, c)

FD(Ka, Kc)

F(K_bc)⊗F(K_ab) F(K_bc⊗K_ab) F(K_ac)

φ

φ

F m

F m

が可換であることを示せばよいが，左の四角はφが自然変換だから可換であり，右の四角 はK がV-関手だから可換である．

次に

I FC(a, a)

FD(F Ka, F Ka)

j_a

F K_aa jF Ka

が可換であることを示す．定義より

I F I

F I

FC(a, a)

FD(Ka, Ka)

ψ j_a

id F K_aa

ψ

jKa

が可換であることを示せばよいが，左の三角は明らかに可換で，右の四角はK^がV-^関手 だから可換である．

命題 143. F: V → W をlax モノイダル関手としてθ: K ⇒L: C → D^をV-自然変換 とする．このときF θ を(F θ)a := I −→^ψ F I −−−−→^F(θa) F(D(Ka, La))

により定義すると，

これはW-自然変換F θ: F K ⇒F L: FC →FD^になる．

証明. 次の図式が可換であることを示せばよい．　

FC(a, b)

I ⊗FC(a, b)

FC(a, b)⊗I

FD(F Kb, F Lb)⊗FD(F Ka, F Kb)

FD(F La, F Lb)⊗FD(F Ka, F La) FD(F Ka, F Lb)

λ⁻¹

(F θ)_b⊗F K_ab

m

ρ⁻¹

F Lab⊗(F θ)a

m

定義より次の図式が可換であることを示せばよい．

I ⊗FC(a, b)

F(C(a, b))

FC(a, b)⊗I

F I⊗FC(a, b)

F(I⊗ C(a, b))

F(C(a, b)⊗I)

FC(a, b)⊗F I

FD(Kb, Lb)⊗FD(Ka, Kb)

F(D(Kb, Lb)⊗ D(Ka, Kb))

FD(Ka, Lb)

F(D(La, Lb)⊗ D(Ka, La))

FD(La, Lb)⊗FD(Ka, La)

λ⁻¹

ρ⁻¹

φ

φ

φ

F m

F m

φ ψ⊗id

F(λ⁻¹) F(ρ⁻¹)

id⊗ψ

F(θ_b)⊗F(K_ab)

F(θb⊗Kab)

F(Lab⊗θa)

F(L_ab)⊗F(θ_a)

(F)

(F)

(φ)

(φ) (θ)

(F)はlaxモノイダル関手の定義より可換である．(φ)はφが自然変換だから可換であ る．(θ)はV-自然変換の定義より可換である．

定理 144. F: V → W を lax モノイダル関手とするとき，命題141 から 143 により strict 2-functor F: V-CAT →W-CATが得られる．

証明. A,B,C ^をV-豊穣圏とする．

まず命題142, 143 のF が，関手V-CAT(A,B) →W-CAT(FA, FB)を与えること を示す．

...

) 関手であることを示すため，まずF が恒等射を保つことを示そう．その為にV -関手K: A → B^を取る．F(id_K)の定義より

F(id_K)_a = I −→^ψ F I −−−−−→^F(jKa) F(B(Ka, Ka)) であるが，一方FB^{の定義より}

idKa= I −→^ψ F I −−−−−→^F(jKa) F(B(Ka, Ka)) なのでF(id_K) = id_{F K} が分かる．

次にF が合成と交換することを示す為，θ: K ⇒L，σ: L⇒H をV-自然変換とす る．F(σ∗θ) =F(σ)∗F(θ)を示す為にはa∈ A^に対してF(σ∗θ)a =F(σ)a◦F(θ)a

を示せばよい．定義より

F(σ∗θ)a = I −→^ψ F I −−−−−−→^{F((σ∗θ)a)} F(B(Ka, Ha))

= I −→^ψ F I −−−−−−→^F(σa◦θa) F(B(Ka, Ha)) であるが，ここでσ_a◦θ_aは合成

I ^λ−

−−→1 I⊗I −−−−→ B^σa⊗θa (La, Ha)⊗ B(Ka, La)−→ B^m (Ka, Ha) である．故にF(σ∗θ)aは合成

I −→^φ F I ^{F λ−}

−−−→1 F(I⊗I)−−−−−−→^F(σa⊗θa) F(B(La, Ha)⊗ B(Ka, La))

−−→F m FB(Ka, Ha) となる．一方F(σ)a◦F(θ)aは合成

I −−→^λ−1 I⊗I −−−→^ψ⊗ψ F I⊗F I −−−−−−→^{F σa⊗F θa} FB(La, Ha)⊗FB(Ka, La)

−→m FB(Ka, Ha)

である．よってF(σ∗θ)a =F(σ)a◦F(θ)aとなるには次の図式が可換であればよい．

I

I⊗I

F I

I⊗F I

F(I ⊗I)

F I⊗F I

F(B(La, Ha)⊗ B(Ka, La))

FB(La, Ha)⊗FB(Ka, La)

FB(Ka, Ha)

ψ F(λ⁻¹) F(σa⊗θa)

F m

id⊗ψ ψ⊗id F σa⊗F θa

m

λ⁻¹ (λ) λ⁻¹ (F) φ (φ) φ (FB)

(λ)，(φ)はλ, φが自然変換であるから可換である．(F)はF がlaxモノイダル関手 だから可換である．(FB)はFBの合成の定義より可換である．

次にW-関手の等式id_FA=F(id_A)が成り立つことを示す．

...

) まず対象に関しては明らかにid_FA(a) = F(id_A)(a)である．よってa, b ∈ A^に 対して(idFA)ab = F(id_A)ab を示せばよい．まず(idFA)ab = id_FA(a,b) である．一 方F(id_A)ab =F((id_A)ab) =F(id_A(a,b)) = idFA(a,b)である．

よって後は

V-CAT(B,C)×V-CAT(A,B)

W-CAT(FB, FC)×W-CAT(FA, FB) V-CAT(A,C)

V-CAT(FA, FC)

F×F

•

•

F

が可換であることを示せばよい．その為にはθ: K ⇒L: A → B^，σ: P ⇒Q: B → C ^と してF(σ•θ) =F σ•F θを示せばよい．

A ⇐^θ B ⇐^σ C

K

L

P

Q

a∈ A^{とする．まず}(F σ•F θ)a= (F σ)F La◦F P((F θ)a)で F(σ)F La= I −→^ψ F I −−−−−→^F(σLa) F(C(P La, QLa)) F P((F θ)a) =F P I −→^ψ F I −−−−→^F(θa) F(B(Ka, La))

= I −→^ψ F I −−−−→^F(θa) F(B(Ka, La))−−−−−→^{F PKaLa} F(C(P Ka, P La)) だから(F σ•F θ)_aは合成

I ^λ−

−−→1 I ⊗I −−−→^ψ⊗ψ F I ⊗F I

F(σLa)⊗F(θa)

−−−−−−−−−→F(C(P La, QLa))⊗F(B(Ka, La))

F(id)⊗F(P_KaLa)

−−−−−−−−−−−→F(C(P La, QLa))⊗F(C(P Ka, P La))−→ C^m (P Ka, QLa) となる．一方

F(σ•θ)a= I −→^ψ F I −−−−−−→^{F((σ•θ)a)} F(C(P Ka, QLa))

= I −→^ψ F I −−−−−−−−→^{F(σLa◦P θa)} F(C(P Ka, QLa)) でσLa◦P θaは合成

I ^λ−

−−→1 I⊗I −−−−−→ C^σLa⊗θa (P La, QLa)⊗ B(Ka, La)

id⊗PKaLa

−−−−−−−→ C(P La, QLa)⊗ C(P Ka, P La)−→ C^m (P Ka, QLa)

である．よって

I⊗I I

F I I⊗F I

F(I ⊗I) F I⊗F I

F(C(P La, QLa)⊗ B(Ka, La)) FC(P La, QLa)⊗FB(Ka, La)

F(C(P La, QLa)⊗ C(P Ka, P La)) FC(P La, QLa)⊗FC(P Ka, P La)

FC(P Ka, QLa)

ψ

F(λ⁻¹)

F(σLa⊗θa)

F(id⊗PKaLa)

F m id⊗ψ

ψ⊗id

F(σLa)⊗F(θa)

F(id)⊗F(PKaLa)

m λ⁻¹

λ⁻¹

φ

φ

φ

(λ)

(F)

(φ)

(φ)

(FC)

が可換であることを示せばよい．(λ)，(φ)はλ, φが自然変換であるから可換である．(F) はF ^がlaxモノイダル関手だから可換である．(FC)^はFC の合成の定義より可換であ る．

例 145. モノイダル圏V に対して，表現可能関手Hom_V(I,−) : V →Setはlaxモノイ ダル関手である．

...

) まずu, v ∈V に対してφ_uv: Hom_V(I, u)×Hom_V(I, v)→Hom_V(I, u⊗v)を 定義する．

f: I →u^，g: I →v^に対してφuv(f, g)^を合成 I −−→^λ−1 I⊗I −−−→^f⊗g u⊗v で定義する．このφuvはu, v ∈V について自然である．

...

) k: u →u⁰，l: v→v⁰をV の射とする．

Hom_V(I, u)×Hom_V(I, v)

Hom_V(I, u⁰)×Hom_V(I, v⁰)

Hom_V(I, u⊗v)

Hom_V(I, u⁰⊗v⁰)

φuv

(k⊗l)◦−

(k◦−)×(l◦−)

φ_u0v0

ドキュメント内 豊穣圏 (ページ 130-181)