定義

定義. C,D^をV-豊穣圏，F, G: C → D^をV-関手とする．V-自然変換θ: F ⇒GとはD の射の族θ ={θ_a: F a −^V→Ga}a∈C であって，任意のa, b∈ Cに対して次の図式が可換と なるものである．

C(a, b)

I⊗ C(a, b)

C(a, b)⊗I

D(F b, Gb)⊗ D(F a, F b)

D(Ga, Gb)⊗ D(F a, Ga) D(F a, Gb)

λ⁻¹

θb⊗Fab

m

ρ⁻¹

Gab⊗θa

m

またこのときθa: F a−^V→Gaはa ∈ C について自然であるという．

命題 39. F, G: C → D^をV-関手とする．θ_a: F a −^V→Gaがa ∈ C^{について自然}

⇐⇒^任意のa, b ∈ Cに対して，次の図式が可換となる．

D(F a, F b)

C(a, b) D(F a, Gb)

D(Ga, Gb)

Fab θb◦−

G_ab −◦θa

(♦)

証明. 次の図式を考える．

C(a, b)

I ⊗ C(a, b)

C(a, b)⊗I

I ⊗ D(F a, F b)

D(Ga, Gb)⊗I

D(F b, Gb)⊗ D(F a, F b)

D(Ga, Gb)⊗ D(F a, Ga) D(F a, Gb) D(F a, F b)

D(Ga, Gb)

λ⁻¹

id⊗F θb⊗id

m

ρ⁻¹

G⊗id id⊗θa

m Fab

λ⁻¹

θ_b◦−

Gab

ρ⁻¹

−◦θ_a

(λ) (∗)

(ρ) (∗)

(♦)

(λ)，(ρ)はλ, ρの自然性から可換である．(∗)は− ◦θa，θb◦ −の定義から可換である．

従って「θaがa∈ C ^{について自然}(=^{一番外側が可換}) ⇐⇒(♦)^{が可換」が分かる．}

例 40. V =Cat^{の場合を考える．}C,D^をCat-^豊穣圏，F, G: C → D^をCat-^関手とす る(即ち C,D^はstrict 2-categoryでF, Gはstrict 2-functorである)．この場合D ^の射 とはD^の1-morphismのことであるから，Cat-自然変換θ: F ⇒Gとは1-morphismの 族θ ={θa: F a→Ga}a∈C であって

D(F a, F b)

C(a, b) D(F a, Gb)

D(Ga, Gb)

Fab θb◦−

Gab −◦θa

が可換となるものである．つまりCat-自然変換とはstrict natural transformationであ る．

例 41. F, G: I → C ^をV-関手としてθ: F ⇒ GをV-自然変換とする．この場合V-自 然変換の条件は次の図式の可換性になる．

C(F(∗), F(∗))

I C(F(∗), G(∗))

C(G(∗), G(∗))

jF(∗) θ_∗◦−

j_G(∗) −◦θ_∗

命題29よりこれはθ_∗◦id = id◦θ_∗ を意味するから，常に成り立つ．故にこの場合のV -自然変換とはC ^の射F(∗)→G(∗)のことである．

命題 42. F, G, H: C → D^をV-関手としてθ_a: F a −^V→Ga，τ_a: Ga−^V→Haはa ∈ C ^に ついて自然であるとする．このときτ_a◦θ_a もaについて自然である．

証明. 命題30，31，39により次の図式が可換となるからである．

C(a, b)

D(F a, F b)

D(F a, Gb)

D(Ga, Gb) D(F a, Hb)

D(Ha, Hb)

D(Ga, Hb)

F_ab

G_ab

H_ab

θb◦−

−◦θ_a τ_b◦−

−◦τa

τb◦−

−◦θa

(τb◦θb)◦−

−◦(τa◦θa)

(39)

(39)

(31)

(30)

(30)

よってV-自然変換θ: F ⇒G，τ: G⇒H が与えられたとき，垂直合成τ∗θ: F ⇒H を(τ ∗θ)a:=τa◦θaにより定義することができる．

命題 43. F: A → B^，G, H: B → C^をV-関手とする．C ^の射 θb: Gb−^V→ Hbがb ∈ B について自然ならば，θ_{F a}: GF a−^V→HF aもa∈ A^{について自然である．}

証明. 次の図式から分かる．

C(GF a, GF b)

A(a, b) B(F a, F b) C(GF a, HF b)

C(HF a, HF b)

Fab

(GF)_ab

(HF)_ab

GF aF b

θF b◦−

H_{F aF b}

−◦θ_{F a}

故に V-関手F: A → B ^とV-自然変換θ ={θ_b: Gb−^V→ Hb}b∈B: G⇒ H が与えられ たとき，V-自然変換θF: GF ⇒HF を(θF)a :=θF aにより定めることができる．

命題 44. C ^の恒等射ida: a−^V→aはa∈ C ^{について自然である．}

証明. V-豊穣圏の定義より次の図式が可換だからである．

C(a, b)

I⊗ C(a, b)

C(a, b)⊗I

C(b, b)⊗ C(a, b)

C(a, b)⊗ C(a, a) C(a, b)

λ⁻¹

jb⊗id

m

ρ⁻¹

id⊗j_a

m id

命題 45. F: C → D^をV-関手とするときidF a: F a −^V→ F aはa ∈ C ^{について自然であ} る．(^よってV-^自然変換idF: F ⇒F ^{を定める．})

証明. 命題43, 44より明らか．

上で定義した垂直合成とこのid_F により，C ^からD^へのV-関手全体Fun(C,D)は(通 常の)圏となる．また圏Fun(C,D)における同型射をV-自然同型という．

命題 46. F, G: A → B^，H: B → C ^をV-関手とする．B^の射θa: F a −^V→Gaがa ∈ A について自然ならば，H(θa) : HF a−^V→HGa^もa ∈ A^{について自然である．}

証明. 次の図式が可換であることを示せばよい．

B(F a, F b) C(HF a, HF b)

A(a, b) B(F a, Gb) C(HF a, HGb)

B(Ga, Gb) C(HGa, HGb)

Fab

G_ab

θb◦−

−◦θa

H_{F aF b}

Hθb◦−

HGaGb

−◦Hθa

HF aGb

(∗) (θ)

(∗∗)

(θ)はθa がaについて自然だから命題39により可換である．(∗)が可換であることを示

すには次の図式が可換であることを示せばよい．

B(F a, F b)

I⊗ B(F a, F b) B(F b, Gb)⊗ B(F a, F b)

B(F a, Gb)

C(HF a, HF b)

I⊗ C(HF a, HF b) B(F b, Gb)⊗ C(HF a, HF b)

C(HF b, HGb)⊗ C(HF a, HF b)

C(HF a, HGb)

λ⁻¹

θb⊗id

H_{F bGb}⊗id

m λ⁻¹

θb⊗id

m

H_{F aF b}

id⊗HF aF b

id⊗HF aF b

HF aGb

Hθb◦−

θb◦−

(⋆)

(λ)

(⊗)

(H)

(⋆)

(H)^はH ^がV-関手だから可換である．(λ)^はλ の自然性により可換である．(⊗)^は⊗ が関手だから可換である．(⋆)はθ_b◦ −^，Hθ_b◦ −の定義より可換である．以上によりこ の図式は可換である．

同様に，(∗∗)が可換であることは次の図式から分かる．

B(Ga, Gb)

I⊗ B(Ga, Gb) B(F a, Ga)⊗ B(Ga, Gb)

B(Ga, Gb)⊗ B(F a, Ga)

B(F a, Gb)

C(HGa, HGb)

I⊗ C(HGa, HGb) B(F a, Ga)⊗ C(HGa, HGb)

C(HF a, HGa)⊗ C(HGa, HGb)

C(HGa, HGb)⊗ C(HF a, HGa)

C(HF a, HGb)

λ⁻¹

θ_a⊗id

HF aGa⊗id

γ

m λ⁻¹

θ_a⊗id

γ

m

HGaGb

id⊗H_GaGb

id⊗H_GaGb

HGaGb⊗HF aGa

H_{F aGb}

−◦Hθa

−◦θa

(⋆)

(λ)

(⊗)

(γ)

(H)

(⋆)

故にV-^自然変換θ: F ⇒G^に対してV-^自然変換Hθ: HF ⇒HG^を(Hθ)a :=H(θa)

により定めることができる．以上の二つにより，Catの場合と同様に次の定理が証明で きる．

定理 47. V-CAT はA,B ∈V-CATに対してV-CAT(A,B) := Fun(A,B)と定める ことによりstrict 2-categoryとなる．

証明. θ: F ⇒G: A → B^，σ: K ⇒L: B → C^をV-自然変換とする．

A ⇐^θ B ⇐^σ C

F

G

K

L

θ^とσ ^{の水平合成}σ•θ^をσ•θ :=σL∗Kθで定義する．これは関手

•: V-CAT(B,C)×V-CAT(A,B)→V-CAT(A,C) を与える．

...

) id_idA •id_idA = id_idA だから，•が合成と交換することを示せばよい．即ち

A ^γθ ⇐⇐ B ^στ ⇐⇐ C

F G

H

K L

M

において(τ ∗σ)•(γ ∗θ) = (σ•θ)∗(τ •γ)を示す．まずa ∈ A^に対して (τ ∗σ)•(γ∗θ)

a = (τ ∗σ)_Ha◦K(γ∗θ)_a

= (τ_Ha ◦σ_Ha)◦(Kγ_a◦Kθ_a) (τ •γ)∗(σ•θ)

a = (τ •γ)a◦(σ•θ)a

= (τHa ◦Lγa)◦(σGa◦Kθa)

だからσHa ◦Kγa =Lγa◦σGa を示せばよい．σ: K ⇒LがV-自然変換だから

B(Ga, Ha)

I⊗ B(Ga, Ha)

B(Ga, Ha)⊗I

C(KHa, LHa)⊗ C(KGa, KHa)

C(LGa, LHa)⊗ C(KGa, LGa) C(KGa, LHa)

λ⁻¹

σHa⊗K

m

ρ⁻¹

L⊗σGa

m

が可換である．よってB^の射γa: Ga−^V→Haを考えればσHa◦Kγa=Lγa◦σGaを 得る．

結合律が成り立つことを示す．即ち，次の図式が可換であることを示す．

V-CAT(C,D)×V-CAT(B,C)×V-CAT(A,B)

V-CAT(B,D)×V-CAT(A,B) V-CAT(C,D)×V-CAT(A,C)

V-CAT(A,D)

•×id

•

idו

•

その為に次の状況を考える．

A ⇐^θ B ⇐^σ C ⇐^τ D

F

G

K

L

P

Q

a∈ A^に対して

((τ •σ)•θ)a = (τ •σ)Ga◦P Kθa = (τLGa◦P σGa)◦P Kθa

(τ •(σ•θ))a =τLGa◦P(σ•θ)a =τLGa◦P(σGa◦Kθa) だから(τ •σ)•θ =τ •(σ•θ)となり結合律が成り立つことが分かる．

単位元についても同様に

(θ•idid_A)a =θa◦Fida=θa

(idid_B •θ)a = idGa◦θa=θa

となって成り立つ．

U :=V-CAT(I,−) : V-CAT →CATと定める．V-CATがstrict 2-categoryだか らU はstrict 2-functorである．C ^をV-豊穣圏とすると，定義よりU(C) = Fun(I,C)で ある．今Ob(I) ={∗}^{だったから，}F ∈U(C)に対して対象F(∗)∈ C^{が定まる．逆に対} 象a∈ C ^{に対して，}F(∗) =aとなるF ∈U(C)が一意に存在する．

...

) まずF(∗) :=a，F_∗∗ :=j_aと定義すれば，次の図式は可換である．

I(∗,∗)⊗ I(∗,∗) I(∗,∗)

C(a, a)⊗ C(a, a) C(a, a)

m

F_∗∗

F_∗∗⊗F_∗∗

m

I I(∗,∗) C(a, a)

j_∗

F_∗∗

jF∗

実際右の図式は明らかに可換で，左の図式は次の図式により可換である．

I⊗I

I⊗ C(a, a) C(a, a)⊗ C(a, a)

I

C(a, a)

id⊗ja

ja⊗id

ja

λ

λ

m

従ってこのF はV-関手F: I → C ^{を定める．故に}F(∗) = aとなるF ∈U(C)は存 在する．

逆に F ∈ U(C)がF(∗) =a を満たすとする．このときF_∗∗: I(∗,∗) → C(a, a)は V の射であり，V-関手の条件から次の図式は可換である．

I I(∗,∗) C(a, a)

j_∗

F_∗∗

ja

I ^{の定義から}I(∗,∗) = I，j_∗ = idI である．故に F_∗∗ = ja でなければならない．

よって，a∈ C ^に対してF(∗) =aとなるV-関手F: I → C は唯一つであることがわ かる．

従ってOb(U(C)) = Ob(C)とみなすことができる．

次にHomについては例41より，a, b∈U(C)に対して

Hom_U(C)(a, b) ={f: a −^V→b}= Hom_V(I,C(a, b)) である．即ちU(C)はC ^のunderlying categoryである．

V-関手F: C → D^{に対して関手}U(F) : U(C)→ U(D)をF のunderlying functorと いう．U(F)は次のような関手である．

• a∈U(C)に対してU(F)(a) :=F a．

• a, b∈U(C)に対してU(F)(f) :=F(f) =F_ab◦f．

Hom_U(C)(a, b) Hom_U(D)(F a, F b)

∈ ∈

I −→ C^f (a, b)

I −→ C^f (a, b)−−→ D^Fab (F a, F b)

U(F)

例 48. C ^をV-豊穣圏とすると c ∈ C ^に対して C(c,−) : C → V ^はV-関手である．よっ てその underlying functorはF := U(C(c,−)) : UC → UV ^{となる．この} F はC ^の射 f: a−^V→ b^に対してV ^の射C(c, f)を対応させる関手である．つまりF: UC →V ^とみな せばF f = (f ◦ −) : C(c, a)→ C(c, b)となる．従って命題29より

UC V

Set

U(C(c,−))

HomV(I,−) HomUC(c,−)

は可換である．

また特別な場合としてC = V^，c = xの場合を考える．上記の通りV ^の射f: u −^V→ v に対して F f = (f ◦ −) : [x, u] → [x, v] である．よって F: V → V と見なすとき F f = [id_x, f]である．故にU(V(x,−)) = [x,−] : V →V である．

命題 49. F, G: A ⊗ B → C ^をV-関手として a ∈ A^，b ∈ B ^に対して θ_ab: F(a, b) −^V→ G(a, b)をC ^{の射とする．このとき}θ_ab がha, bi ∈ A ⊗ B^{について自然}

⇐⇒^各a∈ A^に対してθab がb∈ B^{について自然かつ，各}b∈ B^に対してθabがa ∈ A について自然．

証明. (=⇒) ^明らか．

(⇐=) 次の図式が可換であることから分かる．

C(Gab⁰, Ga⁰b⁰)⊗(I⊗ B(b, b⁰))

C(Gab⁰, Ga⁰b⁰)⊗(A(a, a)⊗ B(b, b⁰))

C(Gab⁰, Ga⁰b⁰)⊗ C(Gab, Gab⁰)

C(Gab, Ga⁰b⁰)

A(a, a⁰)⊗ B(b, b⁰)

C(Gab⁰, Ga⁰b⁰)⊗ B(b, b⁰) A(a, a⁰)⊗ C(F ab, F ab⁰)

C(Gab⁰, Ga⁰b⁰)⊗ C(F ab, F ab⁰)

C(Gab⁰, Ga⁰b⁰)⊗ C(F ab, Gab⁰) C(F ab⁰, Ga⁰b⁰)⊗ C(F ab, F ab⁰) C(F ab, Ga⁰b⁰)

(A(a, a⁰)⊗I)⊗ C(F ab, F ab⁰)

(A(a, a⁰)⊗ B(b⁰, b⁰))⊗ C(F ab, F ab⁰)

C(F ab⁰, F a⁰b⁰)⊗ C(F ab, F ab⁰)

C(F ab, F a⁰b⁰)

id⊗(ja⊗id)

id⊗G

m

G(−,b⁰)⊗id

id⊗F(a,−)

id⊗F(a,−)

G(−,b⁰)⊗id

id⊗(θ_ab0◦−)

m

(−◦θab0)⊗id

m

(id⊗jb0)⊗id

F⊗id

m id⊗λ⁻¹

id⊗F

id⊗(−◦θab)

−◦θ_ab

ρ⁻¹⊗id

G⊗id

(θ_a0b0◦−)⊗id

θ_a0b0◦−

命題 50. V-自然変換θ: F ⇒G: C → D^がV-自然同型

⇐⇒^各a ∈ C ^についてθa:F a −^V→Gaが同型

証明. (=⇒) θ がV-自然同型だとすると，ある σ: G ⇒ F が存在して σ ∗ θ = idF， θ∗σ = idG となる．このときσa はθaの逆射である．

(⇐=) 各a ∈ C^についてθ_aが逆射θ⁻¹_a を持つとする．θ⁻¹_a がa ∈ C^{について自然であ}

ること，即ち次の図式が可換であることを示せばよい．(命題32も参照．)

D(F a, Gb) C(a, b)

D(Ga, Gb) D(F a, F b)

D(Ga, F b) D(Ga, F b)

D(F a, F b)

D(Ga, F b) D(Ga, Gb)

Gab −◦θ_a

θ_b⁻¹◦−

−◦θ⁻_a¹ F_ab

−◦θ⁻_a¹ θ_b◦−

θb◦−

−◦θa

θ⁻¹

b ◦− −◦θ⁻_a¹

θ_b⁻¹◦−

−◦id_Ga

id_{F b}◦−

(θ)

(31)

(31)

(31)

(30) (30)

(θ)はθ がV-自然変換だから可換である．また (30)と(31)は命題30, 31 により可換で ある．

ドキュメント内 豊穣圏 (ページ 51-61)