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万1
図3．5：四面体丁（z，ッ1）と四面体丁（皿，馴2）（1）
図3．5のように，四面体丁（z，y1），T（の，ッ2）をそれぞれ，辺パβを共通にもつ四面体！招σ1P1，
丑Bσ2P2とする。ここで，
1
∠σ1βP1論∠σ2βP2＝arctan
爾
であるから，ッ1＜馳として，01P1と02、02は交わらず，．βP2⊥0玉．01，β02⊥σ2P2と
ガなるものと仮定する。このとき，∠．0101P2＝∠P1σ2．02＝一より，σ1，P1，σ2，．02は，線分
2
01P2の中点σを中心とする同一円周上にある。さらに，ハ，σ1，D1，σ2，P2を通る球を 3とし，3の中心をHとすると，σEと面β、01P2は垂直になる（図3．6参照）。
A
図3，6：四面体丁（の，y1）と四面体丁（劣，ッ2）（2）
次に，面．4．BPl，五BO2へのHの射影をそれぞれP1，＆とし，多面体・4BP1．02H且＆，
、4H巧01D1，D2Hろ011）1，、4HPIRをとり，それぞれM，P，Q，Rとおく （図3．7，3．8
参照）。このとき，
M＝T（の，野・）＋P＋Q＋E （3．7）
となる。肋，馳の大小関係が変わっても，P，（〜にマイナスがかかるだけで，後の議論に変 化はない。
A 肩
B
q
恥
図3、7：四面体丁（￠，穿1）と四面体丁（の，ダ2）（3）
平面！1BO2とSが交わってできる且を中心とする円をKとすると，み，σ2，P1は，θ上 かつ面・4β02の内部にあるので，κの円周上にある。よって，
i．P1刈＝1且Pli＝lp1（ろi
T（x，y1）
図3，81四面体丁（詔， 1）と四面体丁（の，ッ2）（4）
となる。また，平面。4．8σ1とSが交わってできる乃を中心とする円をLとすると，同様に，
隔刈＝1角σ11−1＆．021 となる。
σEと面、4βσ2は平行なので，σとEは面、4βσ2から等距離にあり，D2と面、4βσ2の踵離 は，その2倍である。ゆえに，Pl11とσ2．02はそれぞれ面Aθσ2に垂直で，1σ21）21＝21PIHi
となる。また，（盟と面盃βσ1は平行なので，同様に，＆1∫と01P1はそれぞれ面Aθσ1に 垂直で，101、011＝21易EIを得る。よって，補題3．15より，P∈Z，Q∈Zとなる。つまり，
1［P］］＝【［9］］＝0 （3．8）
である。
K
P E
孟
B P1 q
図3．9：円κ
最後に，Rについて考える。∠且σ28篇7とし，線分孟EがKの直径となるように点Eを とる。このとき，円周角・4EP1と円周角・4σ21）1は大きさが等しいので，
1 ∠・4EP1ニツ＝arct｛m
傭
となる（図3．9参照〉。
（3．4）より，1、4Pli瓢V願となるので，
lp1EI＝凶Pllcotγ
一傭v廟
となる。
Hに関して湾と対称な点Qをとる。このとき，
岡卜21p、∬1−1σ2021＝V廟
である。よって，
且1）1⊥1）1E⊥EQ⊥ノ4Pl
l且ρ1卜V痴，lp1E卜〉騙，IEQI＝V而
より，四面体。4PIE9はT（3r 1，霧2）となる。四角錐PIHRE9をノ〉とおくと，
T（鋤，ッ2）＝E＋N
であることは明らかである。つまり，
【［T（鋤，92）1卜1［RI］＋［岡 （3。9）
である。また，lR矧罵i月PIlなので，補題3．15より，ノV∈Zである。つまり，
個卜0 （3．10）
である。
ここで，（3．7），（3．8），（3．9），（3．10）より，
1［M］1＝［【T（￠，211）1］十［IT（偲y1，〃2）11
となる。徴，g2を入れかえても同様に，
［1ハ41］ニ［IT（￠，〃2）］］十［IT（コr〃2，舞1）1】
が得られ，
［IT（の，Ψ・）］］＋【IT（鋤，92）］＝1［T（z，野2）】］＋1［T（3r穿2，馴、）］1
ハ
P
ρ
の の
」 R ρ じ
， Q g
P1
図3．10：四面体Rと四角錐！V
となる。
一方，（3。5）より，
1U（T（劣，〃・））＋U（T（の汐1，〃2））諮（ω（灘ダ・）一ω（灘）一ω（〃・）＋卿・〃2）一㈱・）一ω（轡2））
1
㌔（ω（鋤ツ2）一ω（劣）一ω（Ψ・）一ω（ダ2））
凝U（T（の，紗2））＋り（T（灘劉2，Ψ、））
となり，定理3．12より（3．6）が成り立つ。 1 補題3．18任意の￠（＞0）， （＞0），之（＞0）に対し，
z［［T（￠帯之，必畢ッ）1］＋y［［T（劣畢之・z皐ッ）ll
一諮［［T（z筆艀2・の筆之）1卜［［T（必畢詳2，劣辛z）】］（3…）
となる。
証明
四面体α4B（7をとり，
α4⊥0β⊥0σ⊥0！1
io／41＝が，10β1＝侮，1001薫〉珂
と仮定する。このとき，
レ4BI＝V珊，IBq＝〉珊，レ4q藁爾
である。次に，面00Pと、4Bが垂直になり，
（四面体0、4BO）＝（四面体14POO）＋（四面体BPO（フ）
となるように点Pをとると，
βP⊥PO⊥00⊥βP
1『● 、、㍉ 一一一・