♂1＝
∠4．．
ω（）
となり，（3．24）が成り立つ。ゆえに，（3，24），（3．16）より，
llT（刎1一Σのα（T（皿，叙））1圃
を得る。
B
』4 0
α
鴨1iOノ
且
魅B
（3、25）
σ図3．16：直方体R
こ畿駆間（啄）の属腐をとり・
ξ＋η＋ζ＝π
とする。補題3．19において，題意をみたすように直方体Rを6っの四面体に分解したとき，
それぞれの四面体を鱈，覧，…，7もとおく。このとき，鴎（乞＝1，2，…，6）は，適当にλ藪，コg嬉，
銚を与えると，λ茗丁（￠￠，防）と表せるので，（325）より，
囲一Σのα（鑑）1剛 （3・26）
α が成り立つ。一方，処＋乃＋…＋7も＝Rより，
ll四1＋1匿】1＋…＋1隣ll躍0
ゆえ，（326）を代入すると，
・一1四1＋1四1＋…＋II驚1］一霧綱1岡］一写（琴転（男））國
となり，｛鑑｝はpolyhed．ralbasisなので，
ψα（Z）＋φα（乃）＋・一＋ψα（端）＝0 （327）
を得る。
（327）の左辺Σのα（鳴）を定義に戻って考えると，各鴫について，辺00 ，OA OB，0σ，
づコ
ガ
0ノ。4 ，0，B ，0 0 以外の辺に対する二面角の大きさは，すべて一であり，また，男の辺0／1，
2
0β，0σ，0 ／1 ，0 β ，0 0 における二面角をそれぞれ足し合わせると，それぞれの大き なさは一となり，（3．23）より，それらの辺に対応する項は消えるから，辺00 の長さを♂とす
2
ると，（3．27）は，2」ψα（ξ）＋2」卿）＋2 ％（ζ）＋Σ」顧晋）一・
となる。つまり，
ψα（ξ）＋ψα（η）＋幹α（く）＝0 （3。28）
を得る。（3．23）より，
ψα（π一ζ）＝一ψα（ζ）
となるので・（3鋤は・（暢）∋ξ，η，ξ＋η∈（窒・π）に対して・
ψα（ξ）＋ψα（η）＝望α（ξ＋η） （329）
と表せる。さらに，
ガ え ξ ＝一一ξ，η ＝一一η 2 2
ととりなおすと・（・・釜）∋ξ ・η ・ξ ＋η 1こ対しても・（323）・（鋤より・
卯α（ξ ）＋ψα（η ）＝一（幹α（ξ）＋卯α（η））
＝ヤα（ξ＋η）
＝一ψα（π一ξ」ηノ）
＝ψα（ξ ＋η ） となり・（3・29）は・任意の（・，署）∋ξ，ηに対して成立する・
最後に，任意のIR∋ξ，ηに対し，Z∋κ，mを適当に選び，
ぐ考一ξ∈（暢），が一響一η∈（啄）
をとる。このとき，（3。23）より，
ψα（ξ）＋ψα（η）＝一ψα（ξ＊）一卯α（η＊）
＝一ψα（ξホ＋η＊）
一一％（（寧一ξ一η）
＝ψα（ξ＋η）
となり，（3．29）は，任意の聡∋ξ，ηに対して成り立つ。したがって，％は加法的である。墨 補題3．26より，ψαは加法的なので，任意の。4∈1ρに対し，ψαで定まる且の不変量悔（且）
を考えることができる。このとき，補題2．12より，
且＝P＋Q（ア∋P，Q）⇒幹α（孟）＝φα（P）＋ψα（Q） （3．30）
が成り立っ。
補題3．27gαを，補題3．26の加法的関数とする。このとき，任意のA∈Pに対し，
【圓］一Σ幹α（湾）［團 （3・31）
α
が成り立っ。
証明補題3．26の証明（（3．25）参照）より，四面体丁（の， ）に対し，
［IT（の，穿）ll＝Σψα（T（3r，ッ））1［1〉α1］
α が成り立つ。また，λ＞0のとき，
ψα（T（の，紗）（λ））一Σ獅α（％）
一λΣ妙α（％）
＝λψα（T（z，紗）） （3，32〉
より，任意のT（諮，ダ）（λ）（λ＞0）に対しても，
［圧耽）（λ）】］一Σ幹α（T（z，Ψ）（λ））［剛
α
が成り立っ。
ここで，任意の・4∈IPに対し，丑を有限個の四面体に分解する。さらに，図3．17のよう に，分解したそれぞれの四面体に対し，内接球をとり，内接球の中心から各面へ垂線を下ろ
し，その垂線の足から各辺に垂線を下ろし，12個の四面体に分解する。このとき，12個に 分解された四面体はすぺて，そのとり方からλ嬉丁（賜，跳）（λ信＞0）で表せるので，
加ΣT（鰍）（λ歪） （3．33）
憾
と分解できる。また，（3．30）より，
ψα（且）一Σンα（T（轍）（λ・）） （3鋤 諺
6
9
ρ
ρ ゆ
ρ
げフリじロロ ロらロつしし ヨ
● レン
ン轄
岬 ρ 一一 ψ一
クロのゆ き9。．
〆そ・・一
〇一 ρ一
図3．17：四面体の分割
が成り立つので，（3．33），（334）より，
［剛一Σ［【T（徽）（λ ）】1 ゑ
一ΣΣ幹α（T（姻（短））圏1 ゑ
一写（》（丁幅）俵）））團
一Σψα（ハ）1岡］
α
を得る。 編 デーン＝シドレールの定理は，補題327を用いて示される。
証明 （定理3．14の証明）
A鳥Bであるための必要性は，すでにハドヴィゲールの定理で証明している。そこで十分 性を示す。すなわち，∫（π）＝0をみたす任意の加法的関数∫：5→Rに対して，∫（A）＝∫（B）
ごであれば且〜Bであることを証明する。
補題3．26のψαをとると，ψαも加法的なので，
幹α（A）＝ψα（B）
となる。このとき，補題3．27より，
個卜幹α（且）［匹1］＝ψα（B）［匹］］＝［固1
ゆえ，定理3．12より，／1之βである。 量
3．4 デーン不変量
定義3．28A，βをアーベル群とする。このとき，集合。4xβで生成される自由アーベル群 F雷Zく（α，6Mα∈A，6∈β〉
を考える。また，Fの部分群Rを，次のi），ii）で表される形の元で生成される部分群とする。
i）．（α，δ）＋（α ，6）一（α＋α ，わ）
疑）。（α，b）十（α，グ）一（α，δ＋6 ）
このとき，剰余群．F／Rを／⑱Bと表し，鴻とBのテンソル積という。
また，／1⑭Bの元で，（α，δ）で代表されるものを単にα⑭bと表す。
以下において，加法群RとR／πZのテンソル積IR⑭R／πZを考えたい。テンソル積の定義 より，π∈Zに対し，
（η・α）⑭6ニα⑭（η・6）＝π（α⑭わ）
ヂであり，g＝一∈Qについても，
5
（9・α）⑭δ一（芸・α）⑭δ 一r（警⑭わ）
ゆ
：＝ 一⑭（7・δ）
タ
ー呈⑭（3・1・δ）
一←・髪）⑭（9・δ）
＝α⑭（9・δ）
が成り立っ。
定理3．29亀∈R，〃重∈R／πzとする。このとき，璽⑭R／πzにおいて，
Σ⑱鱗一〇 ゑ
仁⇒『ノ（π）ニ0となる任意の加法的関数∫：R→Rに関して，
Σン乞∫（鱗）＝o』
歪 が成り立っ。
証明 まず，（⇒）を示す。
R⑭飛／πZにおいて，Σ沸⑭擁＝0と仮定する。このとき，テンソルの定義，
聡⑭飛／πz諾F／E
で考えると，Σ￠ ⑭鱗はRに含まれることになる。
ぢ
いま，∫（π）駆oとなる加法的関数！：飛→飛に対して，R⑭飛／πz4興を ∫（z⑭夏）＝灘∫（ツ）
へと定めると，∫は準同型で，Rの生成元（α，わ）＋（αノ，δ）一（α＋α ，6），（α，わ）＋（α，δノ）一（α，わ＋の
については，∫の値は0となる。つまり，ノは，R上では0である。よって ノ（Σ（娩⑭跳））＝Σの2∫（齢）ニ0
歪 ￠ となる。
次に，（⇔〉を示す。
コr￠，齢は，∫（π）ニ0となる任意の加法的関数ノ：】R→盈に対して，Σコr￠ノ（ッ￠）瓢0をみた
2
すと仮定する。
いま，飛をQ上のベクトル空間とみて，その基底を僑を含むようにとり，｛π，pα｝とする。
このとき，跳は，Q∋g（￠），gα（鳶）を用いて，
野9（2）π＋Σ9α（2）Pα α
と表すことができる。よって，
Σz6鴎一Σ囎9（信）π＋Σ姻9α（づ）Pα
を づ ち
一Σ（α（￠勾⑭π＋Σ（9α（の偲2）⑭Pα ぜ ぎりぴ
一写（琴％＠）購） （335）
となる。
いま，任意のαoを1つ固定し，Σ％。（￠砺隷0を示す。
嬉 加法的関数IRムRを，
！（Pα。）＝1，ノ（π）＝0，∫ψα）＝0（α≠α。）
とする。このとき，仮定より，
琴耐）一㍗（琴轟＋9￠）・）
＝Σ1吋（劉2）
＝♂
ゆえに，（3．35）より，Σ⊃￠錫⑭跳＝0となる。 1
定理3．30等積な多面体孟，Bをとり，且，βのすべての辺の長さをそれぞれち，物（脳∋乞，ゴ）
で表す。また，長さε￠，mゴの辺に対応する二面角の大きさをα嬉，防とする。このとき，
［レ1］1＝［圧司1伽（7
⇔Σン￠⑭αドΣ物鍋伽R⑭R／πz
乞 ゴ が成り立っ。
証明 ノ（π）＝0をみたす任意の加法的関数ノ：R→IRに対して，
∫（み）一ノ（β）⇔Σ」￠ノ（α歪）一Σmゴノ（防）一〇
2 ∫ であるから，定理3．14の証明と定理3．29より，
個］一［［β］］伽δ⇔Σ⑱α￠一Σ砺鴫一〇 を ゴ
⇔Σ⑱咋Σ㎜ゴ鍋
葛 ゴ
となり，命題が成り立っ。 贋 定義3．31すぺての辺の長さがち，それらの辺における二面角の大きさがα信で表される多面 体且に対して，
P（ハ）一Σ⑱α￠∈R⑭R／πz 6
を対応させる写像
り
P→麗⑭飛／πz
をデーン不変量という。
実は，定理3．30より，PはP：（穿→飛⑭飛／πZを引きおこす。容易に分かるように，こ のD lσ→R⑭R／πZは準同型で，さらに，定理3．30は，このPが単射準同型であること を示している。
はさみ合同群に関して結果をまとめると，
］R∴H⊂σ （同型）
蟹
σ／Eニ∂』→IR⑭R／πz （単射）
となる。
分解合同に関しては，Dを用いると次のようになる。
定理3．32。4，Bを任意の多面体とする。このとき，
づ
．4〜jB⇔媛ハ）＝媛β）かつP（み）＝P（β）
である。
証明定理3．12と定理3．30より明らかである。 曝