1『● 、、㍉ 一一一・
一方，面！10EとOBが垂直になり，四面体0．AjBOが四面体0。40Eと四面体B。4（フEの 和となるように点Eをとると，同様にして，四面体0．4BOは（3．11）の右辺ともなる。した がって，命題は成り立っ。 1 補題3．19
ξ＋η＋ζコπ をみたすように開区間（・・器）の元ξ・堀をとる・
β
14
10
盈
B
o
図3．12：直方体Rこのとき，図3．12のように，頂点0，君，β，0，α，！1 ，．8 ，ぴからなる直方体で，平 面0、4α、4，と平面0β0，B，のなす角がξ，平面0β0 B と平面000 0，のなす角がη，平面 0（70 0 と平面0。40 。4 のなす角がζとなる直方体Rが存在する。
証明α，β，ッを
ξ＋ηニαニπ一ζ，η＋ζ＝β＝＝7r一ξ，ζ＋ξ＝〆γ＝π一η となる数とする。このとき，
だ
一くα，β，ツく7τ 2
より，
cosα〈0，cosβ＜0，cos7＜0
である。
ここで，図3．13のように，平面P上の3っのベクトル言，δ，でを，
圃一1司判ぞ1−1
平面P
了一（ 鋤）
i3
φ
互モ（1，0）iβ
C一（C・Sβ，卜sinβ）
図3．13：平面P上にとった3つのベクトル
をみたすようにとる。さらに，平面に垂直で，長さが1のベクトルヲをとる。このとき，召，
お，鳶を
窃 ・）了＋←血α一響γ）ヲ
お一（sinβ）了＋（sinβ翻寛
鳶一画）オ＋＠摩）窟
とおくと，
召・奄一
師＋
血α｝7）ヲ）・（師＋＠湾罰売）
一sinαS血β了・了＋sinαsinβ厨
＝＝ SinαSinβCOSγ十SinαSinβ（一Cosツ）
＝ 0
より，葡⊥おとなる。同様に，お・奄＝0，奄・訂竺0より，奄⊥奄，奄⊥窃が得られる。
↓鞠
のε2，！
ρ一 ノ
↓負
ノ、、．や
図3．14：直方体
次に，図3．14のように，召，お，奄を用いて直方体をつくる。このとき，
血露＋面＋ で一 、欝錨β）
一e加α＋警（β＋7））
一eぬα＋1蜘））
︵U︵U ＝
より，あるκ∈爬に対し，
窃＋窃＋鳶＝κ完 と表すことができる。
この直方体で，0の反対側の頂点を0 とすると，0 の位置ベクトルはκ需で，線分00 と平面Pは垂直となる。また，召，お，鳶から平面Pへ下ろした垂線の足は，それぞれ0
づ
から言，δ，ぞの方向に進んだところにあるので，題意をみたす。
1
3．3 デーン＝シドレールの定理（2）一証明の代数的部分一
1968年，イェッセンは，シドレールの幾何学的な補題に留意しながら，デーン＝シドレー ルの定理における代数学的な部分の証明を簡略化させた。イェッセンの示した補題は以下の ようなものである。（このうち，補題320，3．21は，補題322の証明に用いるもので，デー ン＝シドレールの定理の証明に直接用いるのは，補題3．22のみである。）
に ll il ：l
l9！−、り ・1 、、
I．．
e3 竃
0
P
補題3．20開区間（0，1）の任意の元の，寮に対し，
F（」り，ツ）＝F（ツ，灘）
F（の，ダ1）＋F（鋤、，蟹2）灘F（の，〃2）＋F（の〃2，91）
をみたす実数値関数Fをとる。このとき，開区間（0，1）で定義され，
F（灘，〃）薫ノ（qg）＋∫（野）一ノ（偲穿）
をみたす実数値関数ノが存在する。
補題3．21Φ（％，妙）を％＞0， ＞0で定義される実数値関数とし，
Φ（脇，u）＝Φ（u，u）
Φ（λ％， ）＝λΦ（u， ）
Φ（U， 1）＋Φ（鋤＋ ・， 2）＝Φ（賜，砂2）＋Φ（％＋ 2， ・）
をみたすものとする。このとき，u＞0で定義される実数値関数gで，
9（賜）＋9（妙）一9（吻＝0 かつ
Φ（賜，u）剛9（u）＋ 9（u）一（％＋T）9（賜＋ ） となるgが存在する。
補題322．F（コg，穿）を開区間（0，1）で定義される実数値関数とし，（0，1）∋z，ッ， 1，y2に対し，
F（コ9，〃）＝F（Ψ，劣） （3．12）
F（￠，〃・）＋F（鋤，ッ2）＝F（￠，紗2）＋F（耽，Ψ・） （3．13）
∬F のぞ詳働，のぞ馳）＋ッ1F（￠結筆馳・￠筆馳）
一劣F（、，結聖紗、，、，ぞ穿、）＋〃1F（偲講，、，の磐，、）（歌・4）
をみたすものとする。このとき，開区間（0，1）で定義される実数値関数んで，
の十3，＝＝1（（0，1〉∋2ン，ッ）⇒のん（の）十 ん（ッ）＝・0 かっ
F（コ9，〃）＝ん（z）＋ん（〃）一ん（鋤）
となるものが存在する。
補題3．20，3．21，3、22の証明は，イェッセンにより簡略化されたものとはいえ，選択公理 に依存しており，それらの証明内容は非常に多くの代数的な議論を用いることとなる。その ため，証明の詳細は国を参照して頂きたい。
さて，補題322は，デーン＝シドレールの定理の十分条件を示すために用いる加法的関 数を準備するために必要で，その加法的関数を準備するにあたって，いくつかの概念を導入
する。
まず，次の概念を定める。
定義3．23あるPの部分集合｛凡｝ごPがあって，任意の孟∈Pに対し，
［剛一Σλα［圃 ∫伽伽
となるλα∈R−0が唯一つ存在するとき，凡をpolyhedral basisという。
次に，多面体の独立性を，以下のように定める。
定義3．24∬をアの部分集合とする。このとき，∬が独立であるとは，任意の疏∈E，
α誘∈】R（乞＝1，2，…，肌）に対し，
Σα調1−0⇒α2−0（葱一1，2，…，m）
2＝1 であることをいう。
多面体全体の集合に関しては，次のことがいえる。
補題3．25Pにおいて，polyhedral basisとなる｛鑑｝が存在する。
証明 まず，Zomの補題を用いて，極大な 独立な多面体の集合 が存在することを示すた めに， 独立な多面体の集合 から成る全順序集合｛璃1￠∈1｝に対して，その中のどのメン バーよりも大きい独立な集合があることを証明する。すなわち，∪沼璃二H＊とおき，H＊
が独立であることを示丸あるαゴ∈IR，弓∈伊に対し（ゴ＝1，2，・一），Σα班弓］卜0と ∫￠π伽
する。適当な砺に対し，乃∈∬楊であり，また，｛島1￠∈∫｝は全順序集合であるので，恥」
のなかで最も大きい集合を琉とすると，任意のゴに対し，弓∈臨となる。よって，臨は 独立ゆえ，ΣαゴIB】1＝0であればαゴ＝0となるので，H卓も独立である。ゆえに，Zom ∫翻εε
の補題より，ある極大な 独立な多面体の集合 ｛凡｝が存在する。
次に，この｛凡｝がpolyhedral ba崩であることを示す。任意のA∈P一｛1〉α｝をとると，
｛碗｝は極大なので，｛・4，鑑｝は独立でない。すなわち，あるレ≠0に対し，
ン［圃一Σλα［圏】 （3ユ5）
∫伽伽 1となる。（3ユ5）の両辺を一倍すると，
レ
個］一甕λ径【圃（峠）
を得る。ゆえに，任意の1圓1は［1凡1］を用いて表すことができる。
また，【IAl］を，
れ ル
【囚］一Σλα岡1，1囚1一Σμα1團
α＝1 α＝＝1
と2通りに表せるものと仮定する。このとき，2式の差をとって同類項をまとめると，
だ
Σ（λα一μα）【岡卜o α51
となり，λα一μα≠0とすると，ノ〉αが独立であることに矛盾する。したがって，1〉αはpolyhedral basisである。 口 先に述べたイェッセンの代数学的考察に話題を戻す。
polyhedral basis．B＝｛ノ〉α｝を固定する。このとき，開区間（0，1）の任意の元の， に対し，
IIT（劣，Ψ）トΣ凡（灘，穿）1團 （3。16）
α
となるよう凡：（0，1）×（0，1）→Rを定める。このとき，凡は，補題322の3つの条件式
（3、12），（3．13），（3。14）をみたすことを示そう。
●凡について考える。
1［T（ダ，￠）】］一Σ碗，劣）llNα］］
α
であるが，1［T（の，Ψ）1卜［［T（霧，￠）］1より，
凡（劣，彩）＝凡（〃，￠） （3ユ7）
が成り立っ。
●また，（0，1）∋∬，伍，宮2に対して，
llT（・9，Ψ1）ll＋llT（Z慰・，Ψ2）ll一Σ死（鋤）囲1＋Σ凡（Tび・，穿2）1團 α α
［IT（の，写2）］1＋［IT（耽，紗・）ll一Σ馳，〃2）1團＋Σ凡（瑠2，雪1）ll鑑］］
α α
であるが，補題3．17より，
lT（￠，写、）1＋IT（鋤，ッ2）］ニIT（の，〃2）］＋IT（吻2，Ψ、）］
ゆえ，凡は，
瑞（」9，紗、）＋凡（oβッ、，野2）＝F凌（39，簿2）＋1張（コr馳，ッ、） （3ユ8）
をみたす。
●同様に，補題3．18により，凡は，
鴫（￠結筆写、・の∫穿、）＋畷劣結筆Ψ、・￠摯Ψ1）
一鴫（侶ぞ辞，、，劣∫紗、） 凡（劣結聖z、・、。磐馳）（3・9）
をみたす。
よって，（3・17），（3・18），（3・19）と補題3・22より，
の＋〃写1⇒zんα（￠）＋ψα（〃）＝0 （3，20）
をみたす妬：（0，1）→飛が存在し，任意の∬，ッに対し，
凡（￠，Ψ）＃んα（3P）＋んα（喜）一んα（zΨ） （3，21）
をみたす。
次の補題3．26において，上の妬を用いて，加法的関数を準備する。
補題3．26ψα：］R→盈を
｛野 綱噂 碑）
と定める（κ∈Z）。このとき，ψαは加法的である。
証明まず，
κπ
の＋㌍一⇒ψα（￠）＋ψα（〃）＝0 （323）
2 であることを示す。
ルガ れぜ
たを奇数とし，コr≠一，穿≠一（Z∋m，η）であるとき，
2 2
Sin2 ニC・S2∬，tan 一C・t∬
より，
ψα（詔）＋卯α（Ψ）一tan∬・んα（Sin2諮）＋t剛・んα（Sin2ッ）
1
一 （sin2劣・んα（sin2T）＋c・s2の・んα（c・S2の））
S血￠COS￠
ゆえ，（3。20）より，
1
（sin2コr・んα（sin2￠）＋c・s2￠・んα（c・s2￠））＝O
sin￠COSの
ルア れガとなり，（3．23）は成り立つ。次に，κを偶数とし，の≠一， ≠一であるとき，
2 2 tan￠＝一tan ，Sin2￠＝Sin2み
より，
ψα（の）＋幹α（ッ）＝伽￠・んα（sin2の）＋tan写・んα（sin2穿）
一t㎝￠・んα（sin2∬）一tan￠・んα（sin2￠）
＝ 0
ルガ れガを得るので，（3．23）は成り立つ。また，劣＝一，y＝一のとき，（3．23）は明らかに成り
2 2
立つ。
次に，∠4∈1ρをとり，、4のすべての辺の長さを」1，ε2，…，♂、，14のすぺての二面角の大きさ
をッ1，72，…，％とする。このとき，Σ妙α（第）をψα（孟）と表丸ここでは，まだ悔が加法 ゑコ
的であるかどうか分かっていないので，このψα（君）が不変量であるかどうか分からないこと に注意する。そこで，まず，φα（T（劣，g））について，
のα（T（劣，穿））＝凡（z，ッ） （3．24）
♂1＝
∠4．．
ω（）